【例】[全国初中数学联赛决赛试题(江西卷)]三个互不相等的有理数,既可以表示为1,$a+b$,$a$的形式,也可以表示为0,$\frac{b}{a}$,$b$的形式,试求$a^{2024}+b^{2023}$的值.
解析：以已知数1和0为突破点,确定$a$,$b$的值,进而求出$a^{2024}+b^{2023}$的值.
答案：由于三个互不相等的有理数,既可以表示为1,$a+b$,$a$的形式,又可以表示为0,$\frac{b}{a}$,$b$的形式,也就是说这两个数组的元素分别对应相等.于是可以判定$a+b与a$中有一个是0,$\frac{b}{a}与b$中有一个是1,但若$a= 0$,会使$\frac{b}{a}$无意义,所以$a≠0$,只能$a+b= 0$,即$a= -b$,于是$\frac{b}{a}= -1$.只能是$b= 1$,于是$a= -1$.
故原式= 2.
解析：以已知数1和0为突破点,确定$a$,$b$的值,进而求出$a^{2024}+b^{2023}$的值.
答案：由于三个互不相等的有理数,既可以表示为1,$a+b$,$a$的形式,又可以表示为0,$\frac{b}{a}$,$b$的形式,也就是说这两个数组的元素分别对应相等.于是可以判定$a+b与a$中有一个是0,$\frac{b}{a}与b$中有一个是1,但若$a= 0$,会使$\frac{b}{a}$无意义,所以$a≠0$,只能$a+b= 0$,即$a= -b$,于是$\frac{b}{a}= -1$.只能是$b= 1$,于是$a= -1$.
故原式= 2.
答案：解：因为三个互不相等的有理数既可以表示为1，$a + b$，$a$的形式，也可以表示为0，$\frac{b}{a}$，$b$的形式，所以这两个数组的元素分别对应相等。
由于$\frac{b}{a}$有意义，所以$a \neq 0$，则在1，$a + b$，$a$中，只能$a + b = 0$，即$a = -b$。
所以$\frac{b}{a} = \frac{b}{-b} = -1$，则在0，$\frac{b}{a}$，$b$中，$\frac{b}{a} = -1$，所以剩下的元素$b$只能为1。
因为$a = -b$，所以$a = -1$。
则$a^{2024} + b^{2023} = (-1)^{2024} + 1^{2023} = 1 + 1 = 2$。
答案：2
由于$\frac{b}{a}$有意义，所以$a \neq 0$，则在1，$a + b$，$a$中，只能$a + b = 0$，即$a = -b$。
所以$\frac{b}{a} = \frac{b}{-b} = -1$，则在0，$\frac{b}{a}$，$b$中，$\frac{b}{a} = -1$，所以剩下的元素$b$只能为1。
因为$a = -b$，所以$a = -1$。
则$a^{2024} + b^{2023} = (-1)^{2024} + 1^{2023} = 1 + 1 = 2$。
答案：2
1. 如果△+△= ※,○=□+□,△= ○+○+○+○,则※÷□= (
A.2
B.4
C.8
D.16
D
).A.2
B.4
C.8
D.16
答案：D ［解析］
∵△+△=※，○=□+□，△=○+○+○+○，
∴※=△+△=2△=2×4○=8×2□=16□.
∴※÷□=16□÷□=16.
∵△+△=※，○=□+□，△=○+○+○+○，
∴※=△+△=2△=2×4○=8×2□=16□.
∴※÷□=16□÷□=16.
2. 已知有理数$a$在数轴上原点的右方,有理数$b$在原点的左方,则(
A.$ab ＜ b$
B.$ab ＞ b$
C.$a + b ＞ 0$
D.$a - b ＞ 0$
D
).A.$ab ＜ b$
B.$ab ＞ b$
C.$a + b ＞ 0$
D.$a - b ＞ 0$
答案：D
解析：
因为有理数$a$在数轴上原点的右方，所以$a＞0$；有理数$b$在原点的左方，所以$b＜0$。
A. 当$a=1$，$b=-1$时，$ab=-1$，$b=-1$，此时$ab=b$，故A错误。
B. 当$a=\frac{1}{2}$，$b=-2$时，$ab=-1$，$b=-2$，此时$ab=-1＞-2=b$；当$a=2$，$b=-1$时，$ab=-2$，$b=-1$，此时$ab=-2＜-1=b$，故B错误。
C. 当$a=1$，$b=-2$时，$a + b=-1＜0$，故C错误。
D. 因为$a＞0$，$b＜0$，所以$-b＞0$，则$a - b=a+(-b)＞0$，故D正确。
D
A. 当$a=1$，$b=-1$时，$ab=-1$，$b=-1$，此时$ab=b$，故A错误。
B. 当$a=\frac{1}{2}$，$b=-2$时，$ab=-1$，$b=-2$，此时$ab=-1＞-2=b$；当$a=2$，$b=-1$时，$ab=-2$，$b=-1$，此时$ab=-2＜-1=b$，故B错误。
C. 当$a=1$，$b=-2$时，$a + b=-1＜0$，故C错误。
D. 因为$a＞0$，$b＜0$，所以$-b＞0$，则$a - b=a+(-b)＞0$，故D正确。
D
3. 如果$a$,$b$,$c$是非零有理数,且$a + b + c = 0$,那么$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}+\frac{abc}{|abc|}$的所有可能的值为(
A.0
B.1或-1
C.2或-2
D.0或-2
A
).A.0
B.1或-1
C.2或-2
D.0或-2
答案：A ［解析］由已知可以推得a，b，c中有两个正数、一个负数，或两个负数、一个正数这两种情形，不妨设a，b是正数，c是负数，此时$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}+\frac{abc}{|abc|}=0$；设a，b是负数，c是正数，此时$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}+\frac{abc}{|abc|}=0$，故$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}+\frac{abc}{|abc|}$所有可能的值为0.
4. [全国初中数学联赛决赛试题(江西卷)]从分数组$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{4}$,$\frac{1}{6}$,$\frac{1}{8}$,$\frac{1}{10}$,$\frac{1}{12}$中删去两个分数,使剩下的数之和为1,则删去的两个数是(
A.$\frac{1}{4}与\frac{1}{8}$
B.$\frac{1}{4}与\frac{1}{10}$
C.$\frac{1}{8}与\frac{1}{10}$
D.$\frac{1}{8}与\frac{1}{12}$
C
).A.$\frac{1}{4}与\frac{1}{8}$
B.$\frac{1}{4}与\frac{1}{10}$
C.$\frac{1}{8}与\frac{1}{10}$
D.$\frac{1}{8}与\frac{1}{12}$
答案：C ［解析］由$\frac{1}{4}+\frac{1}{12}=\frac{1}{3}$，而$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1$，故删去$\frac{1}{8}$与$\frac{1}{10}$后，可使剩下的数之和为1.
5. 救灾指挥部将救灾物资装入34个集装箱:4 t的集装箱3个,3 t的集装箱4个,2.5 t的集装箱5个,1.5 t的集装箱10个,1 t的集装箱12个,那么至少需要多少辆载重量5 t的汽车才能一次将这些救灾物品运走?提出你的运输方案.
答案：为了用载重量5 t的汽车将救灾物品一次运走，我们应将不同规格的集装箱进行有效组合，即尽量使每一节汽车都能装满.由题设可知，物资总重63.5 t，而12＜63.5÷5＜13，由此可知，要把救灾物品一次运走，需要的汽车不能少于13辆.于是我们提出如下设计方案：A类：每辆装4 t集装箱1个和1 t集装箱1个，安排3辆汽车；B类：每辆装3 t集装箱1个和1 t集装箱2个，安排4辆汽车；C类：每辆装2.5 t集装箱2个，安排2辆汽车；D类：每辆装2.5 t，1.5 t，1 t集装箱各1个，安排1辆汽车；E类：每辆装1.5 t集装箱3个，安排3辆汽车，而3+4+2+1+3=13(辆).故至少需要13辆载重量5 t的汽车才能一次将这些救灾物品运走.
解析：
物资总重为：$4×3 + 3×4 + 2.5×5 + 1.5×10 + 1×12 = 12 + 12 + 12.5 + 15 + 12 = 63.5\ t$。
每辆汽车载重量$5\ t$，$63.5÷5 = 12.7$，故需要汽车不少于$13$辆。
运输方案：
A类：每辆装$4\ t$集装箱$1$个和$1\ t$集装箱$1$个，安排$3$辆；
B类：每辆装$3\ t$集装箱$1$个和$1\ t$集装箱$2$个，安排$4$辆；
C类：每辆装$2.5\ t$集装箱$2$个，安排$2$辆；
D类：每辆装$2.5\ t$、$1.5\ t$、$1\ t$集装箱各$1$个，安排$1$辆；
E类：每辆装$1.5\ t$集装箱$3$个，安排$3$辆。
$3 + 4 + 2 + 1 + 3 = 13$辆。
至少需要$13$辆载重量$5\ t$的汽车才能一次将这些救灾物品运走。
每辆汽车载重量$5\ t$，$63.5÷5 = 12.7$，故需要汽车不少于$13$辆。
运输方案：
A类：每辆装$4\ t$集装箱$1$个和$1\ t$集装箱$1$个，安排$3$辆；
B类：每辆装$3\ t$集装箱$1$个和$1\ t$集装箱$2$个，安排$4$辆；
C类：每辆装$2.5\ t$集装箱$2$个，安排$2$辆；
D类：每辆装$2.5\ t$、$1.5\ t$、$1\ t$集装箱各$1$个，安排$1$辆；
E类：每辆装$1.5\ t$集装箱$3$个，安排$3$辆。
$3 + 4 + 2 + 1 + 3 = 13$辆。
至少需要$13$辆载重量$5\ t$的汽车才能一次将这些救灾物品运走。