11. 中考新考法 新定义问题 (2024·东台期末)定义：关于$x的方程ax-b= 0与方程bx-a= 0$($a,b$均为不等于0的常数)互为“伴生方程”,例如：方程$2x-1= 0与方程x-2= 0$互为“伴生方程”.
(1)若关于$x的方程2x-3= 0与方程3x-c= 0$互为“伴生方程”,则$c= $______
(2)若关于$x的方程4x+3m+1= 0与方程5x-n+2= 0$互为“伴生方程”,求$m,n$的值；
(3)若关于$x的方程5x-b= 0$与其“伴生方程”的解都是整数,求整数$b$的值.
(1)若关于$x的方程2x-3= 0与方程3x-c= 0$互为“伴生方程”,则$c= $______
2
；(2)若关于$x的方程4x+3m+1= 0与方程5x-n+2= 0$互为“伴生方程”,求$m,n$的值；
$m=-2$，$n=6$
(3)若关于$x的方程5x-b= 0$与其“伴生方程”的解都是整数,求整数$b$的值.
$\pm 5$
答案：
(1)2 [解析]
∵$2x-3=0$与方程$3x-c=0$互为"伴生方程",$\therefore c=2.$
(2)将$4x+3m+1=0$写成$4x-(-3m-1)=0$的形式,将$5x-n+2=0$写成$5x-(n-2)=0$的形式.
∵$4x+3m+1=0$与方程$5x-n+2=0$互为"伴生方程",$\therefore -3m-1=5,n-2=4,$$\therefore m=-2,n=6,$$\therefore m,n$的值分别是-2,6.
(3)$5x-b=0$的"伴生方程"为$bx-5=0(b≠0).$由$5x-b=0$,得$x=\frac {b}{5},$当$bx-5=0$时,得$x=\frac {5}{b}.$
∵$5x-b=0$与$bx-5=0$的解均为整数,
∴$\frac {b}{5}$与$\frac {5}{b}$都为整数.
∵b也为整数,
∴当$b=5$时,$\frac {b}{5}=1,\frac {5}{b}=1$,都为整数;当$b=-5$时,$\frac {b}{5}=-1,\frac {5}{b}=-1$,都为整数,
∴b的值为±5.
(1)2 [解析]
∵$2x-3=0$与方程$3x-c=0$互为"伴生方程",$\therefore c=2.$
(2)将$4x+3m+1=0$写成$4x-(-3m-1)=0$的形式,将$5x-n+2=0$写成$5x-(n-2)=0$的形式.
∵$4x+3m+1=0$与方程$5x-n+2=0$互为"伴生方程",$\therefore -3m-1=5,n-2=4,$$\therefore m=-2,n=6,$$\therefore m,n$的值分别是-2,6.
(3)$5x-b=0$的"伴生方程"为$bx-5=0(b≠0).$由$5x-b=0$,得$x=\frac {b}{5},$当$bx-5=0$时,得$x=\frac {5}{b}.$
∵$5x-b=0$与$bx-5=0$的解均为整数,
∴$\frac {b}{5}$与$\frac {5}{b}$都为整数.
∵b也为整数,
∴当$b=5$时,$\frac {b}{5}=1,\frac {5}{b}=1$,都为整数;当$b=-5$时,$\frac {b}{5}=-1,\frac {5}{b}=-1$,都为整数,
∴b的值为±5.
12. 能不能从$(a+3)x= b-1得到x= \frac{b-1}{a+3}$,为什么？反之,能不能从$x= \frac{b-1}{a+3}得到等式(a+3)x= b-1$,为什么？
答案：当$a=-3$时,从$(a+3)x=b-1$不能得到$x=\frac {b-1}{a+3},$因为0不能做除数.从$x=\frac {b-1}{a+3}$可以得到等式$(a+3)x=b-1$,这是根据等式的基本性质2,从$x=\frac {b-1}{a+3}$,可知$a+3≠0.$
解析：
不能从$(a + 3)x = b - 1$得到$x = \frac{b - 1}{a + 3}$。因为当$a = - 3$时，$a + 3 = 0$，0不能做除数。反之，能从$x = \frac{b - 1}{a + 3}$得到等式$(a + 3)x = b - 1$。因为从$x = \frac{b - 1}{a + 3}$可知$a + 3 \neq 0$，根据等式的基本性质2，等式两边同时乘$a + 3$，可得$(a + 3)x = b - 1$。
13. 方程思想 小明课后利用方程的知识探索发现,所有纯循环小数都可以化为分数,例如：化$0.\dot{3}$为分数,解决方法是：设$x= 0.\dot{3}$,即$x= 0.333…$,将方程两边都乘10,得$10x= 3.333…$,即$10x= 3+0.333…$. 因为$x= 0.333…$,所以$10x= 3+x$,所以$9x= 3$,即$x= \frac{1}{3}$,所以$0.\dot{3}= \frac{1}{3}$.
尝试解决下列各题：
(1)把$0.\dot{1}$化成分数为
(2)请利用小明的方法,把纯循环小数$0.\dot{1}\dot{6}$化成分数.
尝试解决下列各题：
(1)把$0.\dot{1}$化成分数为
$\frac {1}{9}$
；(2)请利用小明的方法,把纯循环小数$0.\dot{1}\dot{6}$化成分数.
设$x=0.\dot {1}\dot {6}$,即$x=0.1616... ,$将方程两边都乘100,得$100x=16.1616... ,$即$100x=16+0.1616... .$因为$x=0.1616... $,所以$100x=16+x,$所以$99x=16$,即$x=\frac {16}{99}$,所以$0.\dot {1}\dot {6}=\frac {16}{99}.$
答案：
(1)$\frac {1}{9}$[解析]设$x=0.\dot {1}$,即$x=0.111... ,$将方程两边都乘10,得$10x=1.111... ,$即$10x=1+0.111... .$因为$x=0.111... $,所以$10x=1+x,$所以$9x=1$,即$x=\frac {1}{9}$,所以$0.\dot {1}=\frac {1}{9}.$
(2)设$x=0.\dot {1}\dot {6}$,即$x=0.1616... ,$将方程两边都乘100,得$100x=16.1616... ,$即$100x=16+0.1616... .$因为$x=0.1616... $,所以$100x=16+x,$所以$99x=16$,即$x=\frac {16}{99}$,所以$0.\dot {1}\dot {6}=\frac {16}{99}.$归纳总结 本题考查了无限循环小数转化为分数,运用一元一次方程解决实际问题.
(1)$\frac {1}{9}$[解析]设$x=0.\dot {1}$,即$x=0.111... ,$将方程两边都乘10,得$10x=1.111... ,$即$10x=1+0.111... .$因为$x=0.111... $,所以$10x=1+x,$所以$9x=1$,即$x=\frac {1}{9}$,所以$0.\dot {1}=\frac {1}{9}.$
(2)设$x=0.\dot {1}\dot {6}$,即$x=0.1616... ,$将方程两边都乘100,得$100x=16.1616... ,$即$100x=16+0.1616... .$因为$x=0.1616... $,所以$100x=16+x,$所以$99x=16$,即$x=\frac {16}{99}$,所以$0.\dot {1}\dot {6}=\frac {16}{99}.$归纳总结 本题考查了无限循环小数转化为分数,运用一元一次方程解决实际问题.