7.根据如下解方程$\frac{0.3x+0.5}{0.2}= \frac{x-1}{3}$的过程,仿照实例在每个步骤前面的括号内填写该步骤的名称,后面的括号内填写这样变形的依据,在最后的横线上写出方程的解.
原方程可变形为$\frac{3x+5}{2}= \frac{x-1}{3}$.(分数的基本性质)
去分母,得$3(3x + 5)= 2(x - 1)$,( )
去括号,得$9x + 15= 2x - 2$,( )
( ),得$9x - 2x= -15 - 2$,( )
合并同类项,得$7x= -17$,
( ),得$x= $______.
原方程可变形为$\frac{3x+5}{2}= \frac{x-1}{3}$.(分数的基本性质)
去分母,得$3(3x + 5)= 2(x - 1)$,( )
去括号,得$9x + 15= 2x - 2$,( )
( ),得$9x - 2x= -15 - 2$,( )
合并同类项,得$7x= -17$,
( ),得$x= $______.
答案：原方程可变形为$\frac{3x+5}{2}=\frac{x-1}{3}$.(分数的基本性质)去分母,得3(3x + 5)= 2(x - 1),(等式的基本性质)去括号,得9x + 15= 2x - 2,(乘法分配律)(移项),得9x - 2x= -15 - 2,(等式的基本性质)合并同类项,得7x= -17,(系数化为1),得x=$-\frac{17}{7}$.
8.已知关于$x的一元一次方程\frac{5}{2}x - n= \frac{5}{8}x + 142$,当$n$为某些自然数时,方程的解也为自然数.试求最小的自然数$n$.
答案：原方程变形为$5x×\frac{3}{8}=n+142$.因为右端要被 5 整除,所以 n 可取3,8,13,18,23,28,33,…同时右端要被 3 整除,故最小的 n 应取8,此时方程的解为x=80.
解析：
解方程$\frac{5}{2}x - n = \frac{5}{8}x + 142$，
移项得$\frac{5}{2}x - \frac{5}{8}x = n + 142$，
通分计算得$\frac{20}{8}x - \frac{5}{8}x = n + 142$，即$\frac{15}{8}x = n + 142$，
两边同乘$\frac{8}{15}$得$x = \frac{8(n + 142)}{15}$。
因为$x$为自然数，所以$8(n + 142)$能被$15$整除，又因为$8$与$15$互质，所以$n + 142$能被$15$整除，即$n + 142 = 15k$（$k$为自然数），则$n = 15k - 142$。
当$k = 10$时，$n = 15×10 - 142 = 8$，此时$x = \frac{8×(8 + 142)}{15} = 80$，符合题意。
故最小的自然数$n$为$8$。
移项得$\frac{5}{2}x - \frac{5}{8}x = n + 142$，
通分计算得$\frac{20}{8}x - \frac{5}{8}x = n + 142$，即$\frac{15}{8}x = n + 142$，
两边同乘$\frac{8}{15}$得$x = \frac{8(n + 142)}{15}$。
因为$x$为自然数，所以$8(n + 142)$能被$15$整除，又因为$8$与$15$互质，所以$n + 142$能被$15$整除，即$n + 142 = 15k$（$k$为自然数），则$n = 15k - 142$。
当$k = 10$时，$n = 15×10 - 142 = 8$，此时$x = \frac{8×(8 + 142)}{15} = 80$，符合题意。
故最小的自然数$n$为$8$。
9.(2025·福建厦门期末)小玲解方程$\frac{2x-1}{3}= \frac{x+a}{2}-1$,去分母时,忘记将方程右边的“$-1$”乘6,因而求得了方程的解为$x= 2$.请根据上述信息：
(1)求$a$的值；
(2)求方程正确的解.
(1)求$a$的值；
(2)求方程正确的解.
答案：
(1)$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{2}-1$,去分母,得2(2x-1)=3(x+a)-6.由题意,把x=2 代入方程2(2x-1)=3(x+a)-1,得2×(4-1)=3(2+a)-1,解得a=$\frac{1}{3}$.
(2)由
(1)可知,原方程为$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+\frac{1}{3}}{2}-1$,去分母,得2(2x-1)=3$(x+\frac{1}{3})$-6,去括号,得4x-2=3x+1-6,移项,得4x-3x=-6+1+2,合并同类项,得x=-3.归纳总结 本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程的应用,解此题的关键是能得出关于 a 的方程.
(1)$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{2}-1$,去分母,得2(2x-1)=3(x+a)-6.由题意,把x=2 代入方程2(2x-1)=3(x+a)-1,得2×(4-1)=3(2+a)-1,解得a=$\frac{1}{3}$.
(2)由
(1)可知,原方程为$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+\frac{1}{3}}{2}-1$,去分母,得2(2x-1)=3$(x+\frac{1}{3})$-6,去括号,得4x-2=3x+1-6,移项,得4x-3x=-6+1+2,合并同类项,得x=-3.归纳总结 本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程的应用,解此题的关键是能得出关于 a 的方程.
10.(2025·无锡锡山区天一中学期末)已知关于$x的方程\frac{1}{2}(1 - x)= k + 1的解与方程\frac{2}{5}(3x + 2)= \frac{k}{10}+\frac{3}{2}(x - 1)$的解互为相反数,求$k$的值.
答案：解方程$\frac{1}{2}(1-x)=k+1$,得x=-1-2k.解方程$\frac{2}{5}(3x + 2)=\frac{k}{10}+\frac{3}{2}(x - 1)$,得x=$\frac{23 - k}{3}$.根据题意,得(-1-2k)+$\frac{23 - k}{3}$=0,解得k=$\frac{20}{7}$.
解析：
解方程$\frac{1}{2}(1 - x)=k + 1$：
$\begin{aligned}1 - x&=2(k + 1)\\1 - x&=2k + 2\\-x&=2k + 2 - 1\\-x&=2k + 1\\x&=-2k - 1\end{aligned}$
解方程$\frac{2}{5}(3x + 2)=\frac{k}{10}+\frac{3}{2}(x - 1)$：
$\begin{aligned}4(3x + 2)&=k + 15(x - 1)\\12x + 8&=k + 15x - 15\\12x - 15x&=k - 15 - 8\\-3x&=k - 23\\x&=\frac{23 - k}{3}\end{aligned}$
因为两方程的解互为相反数，所以$(-2k - 1)+\frac{23 - k}{3}=0$：
$\begin{aligned}-6k - 3 + 23 - k&=0\\-7k + 20&=0\\-7k&=-20\\k&=\frac{20}{7}\end{aligned}$
$\frac{20}{7}$
$\begin{aligned}1 - x&=2(k + 1)\\1 - x&=2k + 2\\-x&=2k + 2 - 1\\-x&=2k + 1\\x&=-2k - 1\end{aligned}$
解方程$\frac{2}{5}(3x + 2)=\frac{k}{10}+\frac{3}{2}(x - 1)$：
$\begin{aligned}4(3x + 2)&=k + 15(x - 1)\\12x + 8&=k + 15x - 15\\12x - 15x&=k - 15 - 8\\-3x&=k - 23\\x&=\frac{23 - k}{3}\end{aligned}$
因为两方程的解互为相反数，所以$(-2k - 1)+\frac{23 - k}{3}=0$：
$\begin{aligned}-6k - 3 + 23 - k&=0\\-7k + 20&=0\\-7k&=-20\\k&=\frac{20}{7}\end{aligned}$
$\frac{20}{7}$