11.传统文化 折竹问题 (2024·淮安期末)折竹问题：今有竹高九尺,末折抵地,去根三尺,问折者高几何？意思是一根竹子原高9尺,中部有一处折断,竹梢触地面处离竹根3尺,试问折断处离地面多高？即：如图,$AB+AC= 9$尺,$BC= 3$尺,则AC的高为
4
尺.答案：4 [解析]由题意知，AB + AC = 9尺，BC = 3尺.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得$AB^2 = AC^2 + BC^2$，
即$(9 - AC)^2 = AC^2 + 9$，解得AC = 4.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得$AB^2 = AC^2 + BC^2$，
即$(9 - AC)^2 = AC^2 + 9$，解得AC = 4.
12.(2025·黑龙江大庆期末)如图,在数轴上,点A,B分别表示实数$-1$,2,过点B作$BC\perp AB$,且$BC= 2$,连接AC. 若以点A为圆心,AC长为半径画弧,交数轴正半轴于点D,则点D对应的实数是______
$\sqrt{13} - 1$
.答案：$\sqrt{13} - 1$ [解析]
∵点A，B分别表示实数 - 1，2，
∴AB = |2 - (-1)| = |2 + 1| = 3.
∵BC⊥AB，
∴∠ABC = 90°，
∴$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$，
由题意可知，AD = AC = $\sqrt{13}$
∵A点表示的数是 - 1，
设点D表示的数为x，
∴|x - (-1)| = $\sqrt{13}$
|x + 1| = $\sqrt{13}$，$x + 1 = ±\sqrt{13}$，
$x = \sqrt{13} - 1$或$-\sqrt{13} - 1$(不合题意，舍去)，
∴点D表示的数为$\sqrt{13} - 1$.
归纳总结 本题主要考查了实数与数轴、勾股定理，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式和勾股定理.
∵点A，B分别表示实数 - 1，2，
∴AB = |2 - (-1)| = |2 + 1| = 3.
∵BC⊥AB，
∴∠ABC = 90°，
∴$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$，
由题意可知，AD = AC = $\sqrt{13}$
∵A点表示的数是 - 1，
设点D表示的数为x，
∴|x - (-1)| = $\sqrt{13}$
|x + 1| = $\sqrt{13}$，$x + 1 = ±\sqrt{13}$，
$x = \sqrt{13} - 1$或$-\sqrt{13} - 1$(不合题意，舍去)，
∴点D表示的数为$\sqrt{13} - 1$.
归纳总结 本题主要考查了实数与数轴、勾股定理，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式和勾股定理.
13.(2025·南京联合体期末)与$\sqrt{20}$最接近的整数是
4
.答案：4 [解析]
∵$\sqrt{16} ＜ \sqrt{20} ＜ \sqrt{20.25}$，
∴4 ＜ $\sqrt{20} ＜ 4.5$，
∴$\sqrt{20}$最接近的整数是4.
∵$\sqrt{16} ＜ \sqrt{20} ＜ \sqrt{20.25}$，
∴4 ＜ $\sqrt{20} ＜ 4.5$，
∴$\sqrt{20}$最接近的整数是4.
14.(2025·泰州姜堰区期末)若k,b都是实数,且$\sqrt{k-1}+\sqrt{1-k}+b= 3$,则$k+b= $
4
.答案：4 [解析]根据题意，得$\begin{cases}k - 1 \geq 0 \\ 1 - k \geq 0 \end{cases}$，
解得k = 1，
∴0 + 0 + b = 3，
∴b = 3，
∴k + b = 1 + 3 = 4.
解得k = 1，
∴0 + 0 + b = 3，
∴b = 3，
∴k + b = 1 + 3 = 4.
15.若$2a-1$和$5-a$是一个数m的平方根,则$a=$
-4
,$m=$81
.答案：- 4 81 [解析]由题意，得2a - 1 + 5 - a = 0，
解得a = - 4，则$m = (2a - 1)^2 = 81$.
解得a = - 4，则$m = (2a - 1)^2 = 81$.
16.(2024·陕西中考)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,E是边AB上一点,连接CE,在BC的右侧作$BF// AC$,且$BF= AE$,连接CF. 若$AC= 13$,$BC= 10$,则四边形EBFC的面积为______
60
.答案：60 [解析]
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠ACB.
∵BF//AC，
∴∠ACB = ∠CBF，
∴∠ABC = ∠CBF，
∴BC平分∠ABF.
如图，过点C作CM⊥AB于点M，CN⊥BF于点N，则CM = CN.
∵$S_{\triangle ACE} = \frac{1}{2}AE\cdot CM$，$S_{\triangle CBF} = \frac{1}{2}BF\cdot CN$，且BF = AE，
∴$S_{\triangle CBF} = S_{\triangle ACE}$，
∴四边形EBFC的面积 = $S_{\triangle CBF} + S_{\triangle CBE} = S_{\triangle ACE} + S_{\triangle CBE} = S_{\triangle CBA}$.
∵AC = 13，
∴AB = 13.
设AM = x，则BM = 13 - x，
由勾股定理，得$CM^2 = AC^2 - AM^2 = BC^2 - BM^2$，
∴$13^2 - x^2 = 10^2 - (13 - x)^2$，解得$x = \frac{119}{13}$，
∴$CM = \sqrt{13^2 - (\frac{119}{13})^2} = \frac{120}{13}$，
∴$S_{\triangle CBA} = \frac{1}{2}AB\cdot CM = 60$，
∴四边形EBFC的面积为60.
归纳总结 本题考查角平分线的性质、三角形的面积、勾股定理，关键是由三角形的面积得到$S_{\triangle CBF} = S_{\triangle ACE}$.
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠ACB.
∵BF//AC，
∴∠ACB = ∠CBF，
∴∠ABC = ∠CBF，
∴BC平分∠ABF.
如图，过点C作CM⊥AB于点M，CN⊥BF于点N，则CM = CN.
∵$S_{\triangle ACE} = \frac{1}{2}AE\cdot CM$，$S_{\triangle CBF} = \frac{1}{2}BF\cdot CN$，且BF = AE，
∴$S_{\triangle CBF} = S_{\triangle ACE}$，
∴四边形EBFC的面积 = $S_{\triangle CBF} + S_{\triangle CBE} = S_{\triangle ACE} + S_{\triangle CBE} = S_{\triangle CBA}$.
∵AC = 13，
∴AB = 13.
设AM = x，则BM = 13 - x，
由勾股定理，得$CM^2 = AC^2 - AM^2 = BC^2 - BM^2$，
∴$13^2 - x^2 = 10^2 - (13 - x)^2$，解得$x = \frac{119}{13}$，
∴$CM = \sqrt{13^2 - (\frac{119}{13})^2} = \frac{120}{13}$，
∴$S_{\triangle CBA} = \frac{1}{2}AB\cdot CM = 60$，
∴四边形EBFC的面积为60.
归纳总结 本题考查角平分线的性质、三角形的面积、勾股定理，关键是由三角形的面积得到$S_{\triangle CBF} = S_{\triangle ACE}$.
17.为了比较$\sqrt{5}+1与\sqrt{10}$的大小,可以构造如图所示的图形进行推算,其中$\angle C= 90^\circ$,$BC= 3$,点D在BC上且$BD= AC= 1$. 通过计算可得$\sqrt{5}+1$
＞
$\sqrt{10}$.(填“＞”“＜”或“=”)答案：＞ [解析]
∵∠C = 90°，BC = 3，BD = AC = 1，
∴CD = 2，
∴在Rt△ADC中，$AD = \sqrt{CD^2 + AC^2} = \sqrt{5}$，在Rt△ABC中，$AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{10}$
∴BD + AD = $\sqrt{5} + 1$.
在△ABD中，AD + BD＞AB，
∴$\sqrt{5} + 1＞\sqrt{10}$
归纳总结 本题主要考查了实数的大小比较、三角形三边关系以及勾股定理的运用，解题时注意:三角形任意两边之和大于第三边.
∵∠C = 90°，BC = 3，BD = AC = 1，
∴CD = 2，
∴在Rt△ADC中，$AD = \sqrt{CD^2 + AC^2} = \sqrt{5}$，在Rt△ABC中，$AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{10}$
∴BD + AD = $\sqrt{5} + 1$.
在△ABD中，AD + BD＞AB，
∴$\sqrt{5} + 1＞\sqrt{10}$
归纳总结 本题主要考查了实数的大小比较、三角形三边关系以及勾股定理的运用，解题时注意:三角形任意两边之和大于第三边.
18.如图,已知在$\triangle ABC$中,$AB= 6$,$AC= 8$,$BC= 10$,P为边BC上的一个动点,连接AP,$DE\perp AP$,分别交AB,AC于点D,E,垂足为M,点N为DE的中点,若四边形ADPE的面积为18,则AN的最大值为______
$\frac{15}{4}$
.答案：$\frac{15}{4}$ [解析]
∵在△ABC中，AB = 6，AC = 8，BC = 10，
∴$AB^2 + AC^2 = BC^2$，
∴△ABC为直角三角形，且∠BAC = 90°.
∵N为DE的中点，
∴$AN = \frac{1}{2}DE$.
∵四边形ADPE的面积为18，DE⊥AP，
∴$\frac{1}{2}DE\cdot AP = 18$，即AN·AP = 18，
∴当AP取最小值时，AN有最大值，
故当AP⊥BC时，AP值最小，最小值为$\frac{6×8}{10} = \frac{24}{5}$，
此时$AN = 18÷\frac{24}{5} = \frac{15}{4}$.
∵在△ABC中，AB = 6，AC = 8，BC = 10，
∴$AB^2 + AC^2 = BC^2$，
∴△ABC为直角三角形，且∠BAC = 90°.
∵N为DE的中点，
∴$AN = \frac{1}{2}DE$.
∵四边形ADPE的面积为18，DE⊥AP，
∴$\frac{1}{2}DE\cdot AP = 18$，即AN·AP = 18，
∴当AP取最小值时，AN有最大值，
故当AP⊥BC时，AP值最小，最小值为$\frac{6×8}{10} = \frac{24}{5}$，
此时$AN = 18÷\frac{24}{5} = \frac{15}{4}$.
19.(2024·滨州中考)计算：$2^{-1}+(-2)×(-\frac{1}{2})-\sqrt{\frac{9}{4}}$.
答案：原式 = $\frac{1}{2} + 1 - \frac{3}{2} = 0$.
20.在如图所示的数轴上画出表示下列各数的点,并用“＜”号将这些数按从小到大的顺序连接起来.
$-|-3.5|$,$1\frac{1}{2}$,0,$-(-2\frac{1}{2})$,$+(-1)$,$(-2)^2$.
$-|-3.5|$,$1\frac{1}{2}$,0,$-(-2\frac{1}{2})$,$+(-1)$,$(-2)^2$.
答案：- | - 3.5| = - 3.5，$-(-2\frac{1}{2}) = 2\frac{1}{2}$，$+( - 1) = - 1$，$(-2)^2 = 4$，在数轴上画出表示各数的点如图所示:
∴ - | - 3.5| ＜ +( - 1) ＜ 0 ＜ $1\frac{1}{2}$ ＜ $-(-2\frac{1}{2})$ ＜ $(-2)^2$.
∴ - | - 3.5| ＜ +( - 1) ＜ 0 ＜ $1\frac{1}{2}$ ＜ $-(-2\frac{1}{2})$ ＜ $(-2)^2$.
21.(2025·徐州期末)如图,在长方形ABCD中,$AB= 4$,$AD= 5$,E为BC上的点. 将$\triangle ABE$沿AE折叠,使点B落在长方形内的点F处. 连接DF,已知$DF= 3$.
(1)求证：$\triangle ADF$为直角三角形；
(2)求线段BE的长.
(1)求证：$\triangle ADF$为直角三角形；
(2)求线段BE的长.
答案：
(1)
∵将△ABE沿AE折叠，使点B落在长方形内的点F处，AB = 4，
∴AB = AF = 4，
在△ADF中，AD = 5，DF = 3，且$3^2 + 4^2 = 5^2$，
∴$FD^2 + AF^2 = AD^2$，
∴△ADF是直角三角形.
(2)由
(1)知，∠AFD = 90°.
设BE = x，则EF = x，
根据折叠可知，∠AFE = ∠B = 90°.
∵∠AFD = 90°，
∴∠DFE = 180°，
∴D，F，E三点在同一条直线上，
∴DE = 3 + x，
CE = 5 - x，DC = AB = 4，
在Rt△DCE中，根据勾股定理，得$DE^2 = DC^2 + EC^2$，
∴$(3 + x)^2 = 4^2 + (5 - x)^2$，解得x = 2.
故BE的长为2.
(1)
∵将△ABE沿AE折叠，使点B落在长方形内的点F处，AB = 4，
∴AB = AF = 4，
在△ADF中，AD = 5，DF = 3，且$3^2 + 4^2 = 5^2$，
∴$FD^2 + AF^2 = AD^2$，
∴△ADF是直角三角形.
(2)由
(1)知，∠AFD = 90°.
设BE = x，则EF = x，
根据折叠可知，∠AFE = ∠B = 90°.
∵∠AFD = 90°，
∴∠DFE = 180°，
∴D，F，E三点在同一条直线上，
∴DE = 3 + x，
CE = 5 - x，DC = AB = 4，
在Rt△DCE中，根据勾股定理，得$DE^2 = DC^2 + EC^2$，
∴$(3 + x)^2 = 4^2 + (5 - x)^2$，解得x = 2.
故BE的长为2.