22.(2024·连云港海州区期中)意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理,其中图(1)的空白部分由两个正方形和两个直角三角形组成,图(3)的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成. 设图(1)中空白部分的面积为$S_1$,图(3)中空白部分的面积为$S_2$.
(1)请用含a,b,c的代数式分别表示$S_1$,$S_2$；
(2)请利用达·芬奇的方法证明勾股定理.
(1)请用含a,b,c的代数式分别表示$S_1$,$S_2$；
(2)请利用达·芬奇的方法证明勾股定理.
答案：
(1)根据题意，得题图
(1)中空白部分的面积为$S_1 = a^2 + b^2 + 2×\frac{1}{2}ab = a^2 + b^2 + ab$，
题图
(3)中空白部分的面积为$S_2 = c^2 + 2×\frac{1}{2}ab = c^2 + ab$.
(2)由$S_1 = S_2$，得$a^2 + b^2 + ab = c^2 + ab$，
∴$a^2 + b^2 = c^2$.
(1)根据题意，得题图
(1)中空白部分的面积为$S_1 = a^2 + b^2 + 2×\frac{1}{2}ab = a^2 + b^2 + ab$，
题图
(3)中空白部分的面积为$S_2 = c^2 + 2×\frac{1}{2}ab = c^2 + ab$.
(2)由$S_1 = S_2$，得$a^2 + b^2 + ab = c^2 + ab$，
∴$a^2 + b^2 = c^2$.
23.在$\triangle ABC$中,$\angle C= 90^\circ$,$AC= 6$,$BC= 8$,D,E分别是斜边AB和直角边CB上的点,把$\triangle ABC$沿着直线DE折叠,顶点B的对应点是$B'$.
(1)如图(1),如果点$B'$和顶点A重合,求CE的长；
(2)如图(2),如果点$B'$落在AC的中点上,求CE的长.
(1)如图(1),如果点$B'$和顶点A重合,求CE的长；
(2)如图(2),如果点$B'$落在AC的中点上,求CE的长.
答案：
(1)设CE = x，则BE = 8 - x，
由题意，得AE = BE = 8 - x，
在Rt△ACE中，由勾股定理，得$x^2 + 6^2 = (8 - x)^2$，
解得$x = \frac{7}{4}$，即CE的长为$\frac{7}{4}$.
(2)
∵点B'落在AC的中点，
∴$CB' = \frac{1}{2}AC = 3$.
设CE = x，则BE = 8 - x，
由题意，得B'E = BE = 8 - x，
由勾股定理，得$x^2 + 3^2 = (8 - x)^2$，
解得$x = \frac{55}{16}$，即CE的长为$\frac{55}{16}$.
归纳总结 本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题，解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图形中隐含的等量关系，借助勾股定理等几何知识来分析、判断、推理或解答.
(1)设CE = x，则BE = 8 - x，
由题意，得AE = BE = 8 - x，
在Rt△ACE中，由勾股定理，得$x^2 + 6^2 = (8 - x)^2$，
解得$x = \frac{7}{4}$，即CE的长为$\frac{7}{4}$.
(2)
∵点B'落在AC的中点，
∴$CB' = \frac{1}{2}AC = 3$.
设CE = x，则BE = 8 - x，
由题意，得B'E = BE = 8 - x，
由勾股定理，得$x^2 + 3^2 = (8 - x)^2$，
解得$x = \frac{55}{16}$，即CE的长为$\frac{55}{16}$.
归纳总结 本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题，解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图形中隐含的等量关系，借助勾股定理等几何知识来分析、判断、推理或解答.
24.(2025·盐城建湖期中)综合与实践
[问题驱动]如何验证勾股定理及探究勾股数？
[活动操作]小明参照教材用4张全等的直角三角形纸片拼成如图所示的五边形ABEFG.
[探索新知]
(1)从面积的角度思考,请用两种方法计算五边形ABEFG的面积,并写出得到等式$a^2+b^2= c^2$的过程；
(2)如果满足等式$a^2+b^2= c^2$的a,b,c是三个正整数,我们称a,b,c为勾股数. 已知m,n是正整数且$m＞n$,证明：$2mn$,$m^2-n^2$,$m^2+n^2$是勾股数；
[灵活运用]
(3)在如图所示的五边形ABEFG中,若$a= 4$,$b= 8$,则空白部分的面积为______；
(4)请写出任意一组含有85的“勾股数”：______；
(5)小明在他找到的勾股数的表达式中,用$2n^2+4n+4$(n为任意正整数)表示勾股数中的最大的一个数,则另两个数的表达式是______,______.
[问题驱动]如何验证勾股定理及探究勾股数？
[活动操作]小明参照教材用4张全等的直角三角形纸片拼成如图所示的五边形ABEFG.
[探索新知]
(1)从面积的角度思考,请用两种方法计算五边形ABEFG的面积,并写出得到等式$a^2+b^2= c^2$的过程；
如图，延长GM交BE于点D.
方法一：$S_{五边形ABEFG} = S_{正方形ABDN} + S_{正方形MDEF} + S_{\triangle AFG} + S_{\triangle ANG} = b^2 + a^2 + \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}ab = a^2 + b^2 + ab$，
方法二：$S_{五边形ABEFG} = S_{正方形ACFG} + S_{\triangle ABC} + S_{\triangle CEF} = c^2 + \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}ab = c^2 + ab$，
∴$a^2 + b^2 + ab = c^2 + ab$，
∴$a^2 + b^2 = c^2$.
方法一：$S_{五边形ABEFG} = S_{正方形ABDN} + S_{正方形MDEF} + S_{\triangle AFG} + S_{\triangle ANG} = b^2 + a^2 + \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}ab = a^2 + b^2 + ab$，
方法二：$S_{五边形ABEFG} = S_{正方形ACFG} + S_{\triangle ABC} + S_{\triangle CEF} = c^2 + \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}ab = c^2 + ab$，
∴$a^2 + b^2 + ab = c^2 + ab$，
∴$a^2 + b^2 = c^2$.
(2)如果满足等式$a^2+b^2= c^2$的a,b,c是三个正整数,我们称a,b,c为勾股数. 已知m,n是正整数且$m＞n$,证明：$2mn$,$m^2-n^2$,$m^2+n^2$是勾股数；
∵$(2mn)^2 = 4m^2n^2$，$(m^2 - n^2)^2 = m^4 + n^4 - 2m^2n^2$，
∴$(2mn)^2 + (m^2 - n^2)^2 = 4m^2n^2 + m^4 + n^4 - 2m^2n^2 = (m^2 + n^2)^2$.
∵m，n是正整数且m＞n，
∴2mn，$m^2 - n^2$，$m^2 + n^2$都是正整数，
∴2mn，$m^2 - n^2$，$m^2 + n^2$是勾股数.
∴$(2mn)^2 + (m^2 - n^2)^2 = 4m^2n^2 + m^4 + n^4 - 2m^2n^2 = (m^2 + n^2)^2$.
∵m，n是正整数且m＞n，
∴2mn，$m^2 - n^2$，$m^2 + n^2$都是正整数，
∴2mn，$m^2 - n^2$，$m^2 + n^2$是勾股数.
[灵活运用]
(3)在如图所示的五边形ABEFG中,若$a= 4$,$b= 8$,则空白部分的面积为______；
48
(4)请写出任意一组含有85的“勾股数”：______；
85，3612，3613(答案不唯一)
(5)小明在他找到的勾股数的表达式中,用$2n^2+4n+4$(n为任意正整数)表示勾股数中的最大的一个数,则另两个数的表达式是______,______.
$2n^2 + 4n$
$4n + 4$
答案：
(1)如图，延长GM交BE于点D.
方法一：$S_{五边形ABEFG} = S_{正方形ABDN} + S_{正方形MDEF} + S_{\triangle AFG} + S_{\triangle ANG} = b^2 + a^2 + \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}ab = a^2 + b^2 + ab$，
方法二：$S_{五边形ABEFG} = S_{正方形ACFG} + S_{\triangle ABC} + S_{\triangle CEF} = c^2 + \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}ab = c^2 + ab$，
∴$a^2 + b^2 + ab = c^2 + ab$，
∴$a^2 + b^2 = c^2$.
(2)
∵$(2mn)^2 = 4m^2n^2$，$(m^2 - n^2)^2 = m^4 + n^4 - 2m^2n^2$，
∴$(2mn)^2 + (m^2 - n^2)^2 = 4m^2n^2 + m^4 + n^4 - 2m^2n^2 = (m^2 + n^2)^2$.
∵m，n是正整数且m＞n，
∴2mn，$m^2 - n^2$，$m^2 + n^2$都是正整数，
∴2mn，$m^2 - n^2$，$m^2 + n^2$是勾股数.
(3)48 [解析]
∵a = 4，b = 8，
∴由
(1)可知，
$S_{五边形ABEFG} = a^2 + b^2 + ab = 4^2 + 8^2 + 4×8 = 112$.
又$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}×4×8 = 16$，
∴图中空白部分的面积为112 - 4×16 = 48.
(4)85，3612，3613(答案不唯一) [解析]不妨假设$m^2 - n^2 = 85$，m，n是正整数且m＞n，
∴(m + n)(m - n) = 85 = 1×85 = 5×17，
$\begin{cases}m + n = 85 \\ m - n = 1 \end{cases}$ 解得$\begin{cases}m = 43 \\ n = 42 \end{cases}$，
∴2mn = 3612，$m^2 + n^2 = 3613$，
∴85，3612，3613是一组勾股数;
$\begin{cases}m + n = 17 \\ m - n = 5 \end{cases}$ 解得$\begin{cases}m = 11 \\ n = 6 \end{cases}$，
∴2mn = 132，$m^2 + n^2 = 157$，
∴85，132，157是一组勾股数.
(5)$2n^2 + 4n$ $4n + 4$ [解析]$(2n^2 + 4n + 4)^2 = 4n^4 + 16n^2 + 16 + 16n^3 + 16n^2 + 32n = (4n^4 + 16n^3 + 16n^2) + (16n^2 + 32n + 16) = (2n^2 + 4n)^2 + (4n + 4)^2$，
∴另两个表达式为$2n^2 + 4n$，$4n + 4$.
(1)如图，延长GM交BE于点D.
方法一：$S_{五边形ABEFG} = S_{正方形ABDN} + S_{正方形MDEF} + S_{\triangle AFG} + S_{\triangle ANG} = b^2 + a^2 + \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}ab = a^2 + b^2 + ab$，
方法二：$S_{五边形ABEFG} = S_{正方形ACFG} + S_{\triangle ABC} + S_{\triangle CEF} = c^2 + \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}ab = c^2 + ab$，
∴$a^2 + b^2 + ab = c^2 + ab$，
∴$a^2 + b^2 = c^2$.
(2)
∵$(2mn)^2 = 4m^2n^2$，$(m^2 - n^2)^2 = m^4 + n^4 - 2m^2n^2$，
∴$(2mn)^2 + (m^2 - n^2)^2 = 4m^2n^2 + m^4 + n^4 - 2m^2n^2 = (m^2 + n^2)^2$.
∵m，n是正整数且m＞n，
∴2mn，$m^2 - n^2$，$m^2 + n^2$都是正整数，
∴2mn，$m^2 - n^2$，$m^2 + n^2$是勾股数.
(3)48 [解析]
∵a = 4，b = 8，
∴由
(1)可知，
$S_{五边形ABEFG} = a^2 + b^2 + ab = 4^2 + 8^2 + 4×8 = 112$.
又$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}×4×8 = 16$，
∴图中空白部分的面积为112 - 4×16 = 48.
(4)85，3612，3613(答案不唯一) [解析]不妨假设$m^2 - n^2 = 85$，m，n是正整数且m＞n，
∴(m + n)(m - n) = 85 = 1×85 = 5×17，
$\begin{cases}m + n = 85 \\ m - n = 1 \end{cases}$ 解得$\begin{cases}m = 43 \\ n = 42 \end{cases}$，
∴2mn = 3612，$m^2 + n^2 = 3613$，
∴85，3612，3613是一组勾股数;
$\begin{cases}m + n = 17 \\ m - n = 5 \end{cases}$ 解得$\begin{cases}m = 11 \\ n = 6 \end{cases}$，
∴2mn = 132，$m^2 + n^2 = 157$，
∴85，132，157是一组勾股数.
(5)$2n^2 + 4n$ $4n + 4$ [解析]$(2n^2 + 4n + 4)^2 = 4n^4 + 16n^2 + 16 + 16n^3 + 16n^2 + 32n = (4n^4 + 16n^3 + 16n^2) + (16n^2 + 32n + 16) = (2n^2 + 4n)^2 + (4n + 4)^2$，
∴另两个表达式为$2n^2 + 4n$，$4n + 4$.