9. 如图,已知CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,且AB= AC,BE与CD交于点O. 求证：DB= EC.
答案：
∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠ADC=∠AEB=90°.
在△ADC和△AEB中，$\left\{\begin{array}{l} ∠ADC=∠AEB,\\ ∠DAC=∠EAB,\\ AC=AB,\end{array}\right. $
∴△ADC≌△AEB(AAS),
∴AD=AE,
∴AB−AD=AC−AE,即DB=EC.
归纳总结 本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形.
∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠ADC=∠AEB=90°.
在△ADC和△AEB中，$\left\{\begin{array}{l} ∠ADC=∠AEB,\\ ∠DAC=∠EAB,\\ AC=AB,\end{array}\right. $
∴△ADC≌△AEB(AAS),
∴AD=AE,
∴AB−AD=AC−AE,即DB=EC.
归纳总结 本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形.
10. 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,点E,F分别在AD,BC上,AE= CF,过点A,C分别作EF的垂线,垂足为G,H. 求证：△AGE≌△CHF.
答案：
∵AG⊥EF,CH⊥EF,
∴∠G=∠H=90°.
∵AD//BC,
∴∠DEF=∠CFH.
∵∠AEG=∠DEF,
∴∠AEG=∠CFH.
在△AGE和△CHF中，$\left\{\begin{array}{l} ∠G=∠H,\\ ∠AEG=∠CFH,\\ AE=CF,\end{array}\right. $
∴△AGE≌△CHF(AAS).
∵AG⊥EF,CH⊥EF,
∴∠G=∠H=90°.
∵AD//BC,
∴∠DEF=∠CFH.
∵∠AEG=∠DEF,
∴∠AEG=∠CFH.
在△AGE和△CHF中，$\left\{\begin{array}{l} ∠G=∠H,\\ ∠AEG=∠CFH,\\ AE=CF,\end{array}\right. $
∴△AGE≌△CHF(AAS).
11. 中考新考法 操作探究 如图,在Rt△ABC中,∠BAC= 90°,AC= 2AB,点D是AC的中点,将一块锐角为45°的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A,D重合,连接BE,EC. 试猜想线段BE和EC的数量及位置关系,并证明你的猜想.
答案：BE=EC,BE⊥EC.证明如下:
∵AC=2AB,点D是AC的中点,
∴AB=AD=DC.
∵∠EAD=∠EDA=45°,∠BAC=90°,
∴∠EAB=∠EDC=135°.
在△EAB和△EDC中，$\left\{\begin{array}{l} AB=DC,\\ ∠EAB=∠EDC,\\ EA=ED,\end{array}\right. $
∴△EAB≌△EDC(SAS),
∴∠AEB=∠DEC,EB=EC,
∴∠BEC=∠AED=90°,
∴BE=EC,BE⊥EC.
∵AC=2AB,点D是AC的中点,
∴AB=AD=DC.
∵∠EAD=∠EDA=45°,∠BAC=90°,
∴∠EAB=∠EDC=135°.
在△EAB和△EDC中，$\left\{\begin{array}{l} AB=DC,\\ ∠EAB=∠EDC,\\ EA=ED,\end{array}\right. $
∴△EAB≌△EDC(SAS),
∴∠AEB=∠DEC,EB=EC,
∴∠BEC=∠AED=90°,
∴BE=EC,BE⊥EC.
12.(2024·长沙中考)如图,点C在线段AD上,AB= AD,∠B= ∠D,BC= DE.
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)若∠BAC= 60°,求∠ACE的度数.
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)若∠BAC= 60°,求∠ACE的度数.
答案：
(1)在△ABC和△ADE中，$\left\{\begin{array}{l} BC=DE,\\ ∠B=∠D,\\ AB=AD,\end{array}\right. $
∴△ABC≌△ADE(SAS).
(2)由
(1),得△ABC≌△ADE,
∴AC=AE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠AEC=∠ACE.
∵∠AEC+∠ACE=2∠ACE=180°−∠DAE=120°,
∴∠ACE=60°,
∴∠ACE的度数是60°.
归纳总结 本题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明△ABC≌△ADE是解题的关键.
(1)在△ABC和△ADE中，$\left\{\begin{array}{l} BC=DE,\\ ∠B=∠D,\\ AB=AD,\end{array}\right. $
∴△ABC≌△ADE(SAS).
(2)由
(1),得△ABC≌△ADE,
∴AC=AE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠AEC=∠ACE.
∵∠AEC+∠ACE=2∠ACE=180°−∠DAE=120°,
∴∠ACE=60°,
∴∠ACE的度数是60°.
归纳总结 本题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明△ABC≌△ADE是解题的关键.