1. 教材P22练习T1·变式 如图,点E,F在BC上,BE= CF,∠B= ∠C,添加一个条件,不能证明△ABF≌△DCE的是(
A.∠A= ∠D
B.∠AFB= ∠DEC
C.AB= DC
D.AF= DE
D
).A.∠A= ∠D
B.∠AFB= ∠DEC
C.AB= DC
D.AF= DE
答案：D [解析]
∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF,即BF =CE,
∴当∠A=∠D时,利用AAS可得△ABF≌△DCE.故A 不符合题意;
当∠AFB=∠DEC时,利用ASA可得△ABF≌△DCE.故B不符合题意;
当AB=DC时,利用SAS可得△ABF≌△DCE.故C不符合题意;
当AF=DE时,无法证明△ABF≌△DCE.故D符合题意.故选D.
∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF,即BF =CE,
∴当∠A=∠D时,利用AAS可得△ABF≌△DCE.故A 不符合题意;
当∠AFB=∠DEC时,利用ASA可得△ABF≌△DCE.故B不符合题意;
当AB=DC时,利用SAS可得△ABF≌△DCE.故C不符合题意;
当AF=DE时,无法证明△ABF≌△DCE.故D符合题意.故选D.
2. 如图,OB平分∠AOC,D,E,F分别是射线OA,射线OB,射线OC上的点,D,E,F与点O都不重合,连接ED,EF. 若添加下列条件中的某一个,就能使△DOE≌△FOE. 你认为要添加的那个条件是(
A.OD= OE
B.OE= OF
C.∠ODE= ∠OED
D.∠ODE= ∠OFE
D
).A.OD= OE
B.OE= OF
C.∠ODE= ∠OED
D.∠ODE= ∠OFE
答案：D [解析]
∵OB平分∠AOC,
∴∠DOE=∠FOE.
又OE=OE,
∴若添加OD=OE,不能得到△DOE≌△FOE;故选项A不符合题意;若添加OE=OF,不能得到△DOE≌△FOE.故选项B不符合题意;若添加∠ODE=∠OED,不能得到△DOE≌△FOE.故选项C不符合题意;若添加∠ODE=∠OFE,则根据AAS可得△DOE≌△FOE.故选项D符合题意.故选D.
∵OB平分∠AOC,
∴∠DOE=∠FOE.
又OE=OE,
∴若添加OD=OE,不能得到△DOE≌△FOE;故选项A不符合题意;若添加OE=OF,不能得到△DOE≌△FOE.故选项B不符合题意;若添加∠ODE=∠OED,不能得到△DOE≌△FOE.故选项C不符合题意;若添加∠ODE=∠OFE,则根据AAS可得△DOE≌△FOE.故选项D符合题意.故选D.
3.(2023·陕西中考)如图,在△ABC中,∠B= 50°,∠C= 20°. 过点A作AE⊥BC,垂足为E,延长EA至点D. 使AD= AC. 在边AC上截取AF= AB,连接DF. 求证：DF= CB.
答案：在△ABC中,∠B=50°,∠C=20°,
∴∠CAB=180°−∠B−∠C=110°,
∵AE⊥BC,
∴∠AEC=90°,
∴∠DAF=∠AEC+∠C=110°,
∴∠DAF=∠CAB.
在△DAF和△CAB中，$\left\{\begin{array}{l} AD=AC,\\ ∠DAF=∠CAB,\\ AF=AB,\end{array}\right. $
∴△DAF≌△CAB(SAS),
∴DF=CB.
∴∠CAB=180°−∠B−∠C=110°,
∵AE⊥BC,
∴∠AEC=90°,
∴∠DAF=∠AEC+∠C=110°,
∴∠DAF=∠CAB.
在△DAF和△CAB中，$\left\{\begin{array}{l} AD=AC,\\ ∠DAF=∠CAB,\\ AF=AB,\end{array}\right. $
∴△DAF≌△CAB(SAS),
∴DF=CB.
4. 教材P17例1·变式(2025·无锡江阴期中)如图,若AB= AC,则添加下列一个条件后,仍无法判定△ABE≌△ACD的是(
A.∠B= ∠C
B.AE= AD
C.BE= CD
D.∠AEB= ∠ADC
C
).A.∠B= ∠C
B.AE= AD
C.BE= CD
D.∠AEB= ∠ADC
答案：C [解析]A.根据ASA(∠A=∠A,AB=AC,∠C=∠B)能推出△ABE≌△ACD,正确.故本选项不合题意;
B.根据SAS(AB=AC,∠A=∠A,AE=AD)能推出△ABE≌△ACD,正确.故本选项不合题意;C.两边和一角对应相等的两三角形不一定全等,错误.故本选项符合题意;D.根据AAS(∠AEB=∠ADC,∠A=∠A,AB=AC)能推出△ABE≌△ACD,正确.故本选项不合题意.故选C.
B.根据SAS(AB=AC,∠A=∠A,AE=AD)能推出△ABE≌△ACD,正确.故本选项不合题意;C.两边和一角对应相等的两三角形不一定全等,错误.故本选项符合题意;D.根据AAS(∠AEB=∠ADC,∠A=∠A,AB=AC)能推出△ABE≌△ACD,正确.故本选项不合题意.故选C.
5.(2025·南通海安期中)如图,在四边形ABCD中,BD平分∠ABC,CD⊥BD于点D,AC= 10,BC-AB= 4,则△ADC面积的最大值为( ).
A.6
B.10
C.12
D.20
A.6
B.10
C.12
D.20
答案：
B [解析]如图,延长CD,BA交于点E,过点C作CH⊥BE于点H.
∵BD平分∠ABC,
∴∠CBD=∠EBD.
∵CD⊥BD于点D,
∴∠BDC=∠BDE=90°.
∵BD=BD,
∴△BCD≌△BED(ASA).
∴BC=BE,DE=DC,
∴$S_{\triangle ADC}=\frac {1}{2}S_{\triangle EAC}.$
∴当△EAC的面积最大时,△ACD的面积最大.
∵BC−AB=4,
∴AE=BE−AB=BC−AB=4.
∵△EAC的面积=$\frac {1}{2}EA\cdot CH$，CH≤AC=10,
∴△EAC面积的最大值=$\frac {1}{2}×4×10=20$，
∴△ADC面积的最大值为$\frac {1}{2}×20=10.$
故选B.
B [解析]如图,延长CD,BA交于点E,过点C作CH⊥BE于点H.
∵BD平分∠ABC,
∴∠CBD=∠EBD.
∵CD⊥BD于点D,
∴∠BDC=∠BDE=90°.
∵BD=BD,
∴△BCD≌△BED(ASA).
∴BC=BE,DE=DC,
∴$S_{\triangle ADC}=\frac {1}{2}S_{\triangle EAC}.$
∴当△EAC的面积最大时,△ACD的面积最大.
∵BC−AB=4,
∴AE=BE−AB=BC−AB=4.
∵△EAC的面积=$\frac {1}{2}EA\cdot CH$，CH≤AC=10,
∴△EAC面积的最大值=$\frac {1}{2}×4×10=20$，
∴△ADC面积的最大值为$\frac {1}{2}×20=10.$
故选B.
6. 动点问题(2025·扬州期中)如图,AB= 8,BC= 10,CD为射线,∠B= ∠C,点P从点B出发沿BC向点C运动,速度为2个单位/秒,点Q从点C出发沿射线CD运动,速度为x个单位/秒. 若在某时刻,△ABP能与△CPQ全等,则x= ______
2或$\frac{16}{5}$
.答案：2或$\frac{16}{5}$ [解析]设点P,Q的运动时间为t秒，
分两种情形讨论:①当AB=PC,BP=CQ时,△ABP≌△PCQ,即8=10−2t,解得t=1,
∴x=10−8,
∴x=2;
②当BP=PC,AB=CQ时,△ABP≌△QCP,
即$t=\frac {1}{2}×10÷2=\frac {5}{2}$，
∴$\frac {5}{2}x=8$，$x=\frac {16}{5}.$
综上所述,x=2或$\frac{16}{5}$.
分两种情形讨论:①当AB=PC,BP=CQ时,△ABP≌△PCQ,即8=10−2t,解得t=1,
∴x=10−8,
∴x=2;
②当BP=PC,AB=CQ时,△ABP≌△QCP,
即$t=\frac {1}{2}×10÷2=\frac {5}{2}$，
∴$\frac {5}{2}x=8$，$x=\frac {16}{5}.$
综上所述,x=2或$\frac{16}{5}$.
7. 中考新考法 满足结论的条件开放(2023·牡丹江中考)如图,AB//CD,AD与BC交于点O,请添加一个条件
AB=DC
,使△AOB≌△DOC.(只填一种情况即可)答案：AB=DC(答案不唯一) [解析]
∵AB//CD,
∴∠A=∠D,∠B=∠C,
∴添加一个条件AB=DC,由ASA即可证明△AOB≌△DOC.
∵AB//CD,
∴∠A=∠D,∠B=∠C,
∴添加一个条件AB=DC,由ASA即可证明△AOB≌△DOC.
8.(2024·连云港凤凰学校期中)某数学兴趣小组的同学用数学知识测一池塘的长度,他们所绘如图,点B,F,C,E在直线l上(点F,C之间不能直接测量,为池塘的长度),点A,D在l的异侧,且AB//DE,∠A= ∠D,测得AB= DE.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若BE= 100m,BF= 30m,求池塘FC的长.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若BE= 100m,BF= 30m,求池塘FC的长.
答案：
(1)
∵AB//DE,
∴∠ABC=∠DEF.
在△ABC与△DEF中，$\left\{\begin{array}{l} ∠ABC=∠DEF,\\ AB=DE,\\ ∠A=∠D,\end{array}\right. $
∴△ABC≌DEF(ASA).
(2)
∵△ABC≌△DEF,
∴BC=EF,
∴BF+FC=EC+FC,
∴BF=EC.
∵BE=100m,BF=30m,
∴FC=100−30−30=40(m).
故FC的长是40m.
(1)
∵AB//DE,
∴∠ABC=∠DEF.
在△ABC与△DEF中，$\left\{\begin{array}{l} ∠ABC=∠DEF,\\ AB=DE,\\ ∠A=∠D,\end{array}\right. $
∴△ABC≌DEF(ASA).
(2)
∵△ABC≌△DEF,
∴BC=EF,
∴BF+FC=EC+FC,
∴BF=EC.
∵BE=100m,BF=30m,
∴FC=100−30−30=40(m).
故FC的长是40m.