8.(2025·南京期末)如图,点 A,B,C,D 在一条直线上,EA//FB,EC//FD,EA= FB.求证:AB= CD.
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答案：
∵EA//FB,
∴∠A=∠FBD.
∵EC//FD,
∴∠D=∠ECA.在△EAC 和△FBD 中,∠ECA=∠D,∠A=∠FBD,AE=BF,
∴△EAC≌△FBD(AAS).
∴AC=BD,
∴AB+BC=BC+CD,
∴AB=CD.
∵EA//FB,
∴∠A=∠FBD.
∵EC//FD,
∴∠D=∠ECA.在△EAC 和△FBD 中,∠ECA=∠D,∠A=∠FBD,AE=BF,
∴△EAC≌△FBD(AAS).
∴AC=BD,
∴AB+BC=BC+CD,
∴AB=CD.
9.如图,已知 AB//DE,且 AB= DE. 请你只添加一个条件,使△ABC≌△DEF,则添加一个条件是
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∠ACB=∠F
,并给予证明.]
答案：答案不唯一,如∠ACB=∠F.证明如下:
∵AB//DE,
∴∠B=∠DEF.在△ABC 和△DEF 中,∠ACB=∠F,∠B=∠DEF,AB=DE,
∴△ABC≌△DEF(AAS).
∵AB//DE,
∴∠B=∠DEF.在△ABC 和△DEF 中,∠ACB=∠F,∠B=∠DEF,AB=DE,
∴△ABC≌△DEF(AAS).
10.一线三等角模型 教材 P26 例 8·变式 如图,点 C 在 BD 上,AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,AB= CD.求证:△ABC≌△CDE.
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答案：
∵AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,
∴∠B=∠D=∠ACE=90°,
∴∠DCE+∠DEC=90°,∠BCA+∠DCE=90°,
∴∠BCA=∠DEC.在△ABC 和△CDE 中,∠BCA=∠DEC,∠B=∠D,AB=CD,
∴△ABC≌△CDE(AAS).
∵AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,
∴∠B=∠D=∠ACE=90°,
∴∠DCE+∠DEC=90°,∠BCA+∠DCE=90°,
∴∠BCA=∠DEC.在△ABC 和△CDE 中,∠BCA=∠DEC,∠B=∠D,AB=CD,
∴△ABC≌△CDE(AAS).
11.(2024·扬州仪征期中)如图(1),在△ABC 中,∠A= ∠ABC,延长 AC 到 E,过点 E 作 EF⊥AB 交 AB 的延长线于点 F,延长 CB 到 G,过点 G 作 GH⊥AB 交 AB 的延长线于点 H,且 EF= GH.
(1)求证:△AEF≌△BGH;
(2)如图(2),连接 EG 与 FH 相交于点 D,若 AB= 4,求 DH 的长.
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(1)求证:△AEF≌△BGH;
(2)如图(2),连接 EG 与 FH 相交于点 D,若 AB= 4,求 DH 的长.
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答案：
(1)
∵∠A=∠ABC,∠ABC=∠GBH,
∴∠A=∠GBH.
∵EF⊥AB,GH⊥AB,
∴∠AFE=∠BHG.在△AEF 和△BGH 中,∠A=∠GBH,∠AFE=∠H,EF=GH,
∴△AEF≌△BGH(AAS).
(2)
∵△AEF≌△BGH,
∴AF=BH,
∴AB=FH=4.
∵EF⊥AB,GH⊥AB,
∴∠EFD=∠GHD.在△EFD 和△GHD 中,∠EFD=∠GHD,∠EDF=∠GDH,EF=GH,
∴△EFD≌△GHD(AAS),
∴DH=DF=1/2FH=1/2AB=2.
(1)
∵∠A=∠ABC,∠ABC=∠GBH,
∴∠A=∠GBH.
∵EF⊥AB,GH⊥AB,
∴∠AFE=∠BHG.在△AEF 和△BGH 中,∠A=∠GBH,∠AFE=∠H,EF=GH,
∴△AEF≌△BGH(AAS).
(2)
∵△AEF≌△BGH,
∴AF=BH,
∴AB=FH=4.
∵EF⊥AB,GH⊥AB,
∴∠EFD=∠GHD.在△EFD 和△GHD 中,∠EFD=∠GHD,∠EDF=∠GDH,EF=GH,
∴△EFD≌△GHD(AAS),
∴DH=DF=1/2FH=1/2AB=2.
12.(2024·镇江中考)如图,∠C= ∠D= 90°,∠CBA= ∠DAB.
(1)求证:△ABC≌△BAD;
(2)若∠DAB= 70°,则∠CAB= ______°.]
(1)
(2)
(1)求证:△ABC≌△BAD;
(2)若∠DAB= 70°,则∠CAB= ______°.]
(1)
在△ABC 和△BAD 中,∠C=∠D=90°,∠CBA=∠DAB,AB=BA,∴△ABC≌△BAD(AAS).
(2)
20
答案：
(1)在△ABC 和△BAD 中,∠C=∠D=90°,∠CBA=∠DAB,AB=BA,
∴△ABC≌△BAD(AAS).
(2)20 [解析]
∵∠DAB=70°,∠D=90°,
∴∠DBA=90°-70°=20°.由
(1)知△ABC≌△BAD,
∴∠CAB=∠DBA=20°.
(1)在△ABC 和△BAD 中,∠C=∠D=90°,∠CBA=∠DAB,AB=BA,
∴△ABC≌△BAD(AAS).
(2)20 [解析]
∵∠DAB=70°,∠D=90°,
∴∠DBA=90°-70°=20°.由
(1)知△ABC≌△BAD,
∴∠CAB=∠DBA=20°.