8. 如图,在四边形$ABCD$中,$AB = AD$,$CB = CD$,若$E是CD$上任意一点,连接$BE交AC于点F$,连接$DF$. 求证：$\triangle CBF\cong\triangle CDF$.
答案：在△ABC和△ADC中，{AB=AD，CB=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠BCA=∠DCA.在△CBF和△CDF中，{CB=CD，∠BCF=∠DCF，CF=CF，
∴△CBF≌△CDF(SAS).
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠BCA=∠DCA.在△CBF和△CDF中，{CB=CD，∠BCF=∠DCF，CF=CF，
∴△CBF≌△CDF(SAS).
9. 新情境 轮船航行 (2025·辽宁鞍山铁东区期中)如图,$O$为码头,$A$,$B$两个灯塔与码头的距离相等,$OA$,$OB$为海岸线,一轮船离开码头,计划沿$\angle AOB$的平分线航行,在航行途中,测得轮船与灯塔$A和灯塔B$的距离相等,试问轮船航行时是否偏离预定航线,请说明理由.
答案：轮船航行时没有偏离航线. 理由如下：由题意知，假设轮船在D处，则DA=DB，AO=BO.在△ADO和△BDO中，{AD=BD，DO=DO，AO=BO，
∴△ADO≌△BDO(SSS)，
∴∠AOD=∠BOD，即OD为∠AOB的平分线，
∴轮船航行时没有偏离航线.
∴△ADO≌△BDO(SSS)，
∴∠AOD=∠BOD，即OD为∠AOB的平分线，
∴轮船航行时没有偏离航线.
10. 如图,在四边形$ABCD$中,$AD// BC$,$AB = DC = AD$,$BD = AC$,$BD$,$AC相交于点O$.
(1)求证：$\triangle ABO\cong\triangle DCO$；
(2)写出图中所有与$\angle ACB$相等的角.
(1)求证：$\triangle ABO\cong\triangle DCO$；
(2)写出图中所有与$\angle ACB$相等的角.
答案：
(1)在△BDA和△CAD中，{BA=CD，AD=DA，BD=CA，
∴△BDA≌△CAD(SSS)，
∴∠ABD=∠DCA.在△ABO和△DCO中，{∠AOB=∠DOC，∠ABO=∠DCO，AB=DC，
∴△ABO≌△DCO(AAS).
(2)题图中与∠ACB相等的角是∠ABD，∠ADB，∠DAC，∠DBC，∠DCA. 理由如下：
∵AD//BC，
∴∠DAC=∠ACB，∠ADB=∠DBC.
∵AB=AD=DC，
∴∠ABD=∠ADB，∠DAC=∠DCA，
∴∠ACB=∠DAC=∠DCA.由
(1)知，△ABO≌△DCO，
∴OA=OD，
∴∠DAC=∠ADB，
∴∠ACB=∠ABD=∠ADB=∠DAC=∠DBC=∠DCA，即题图中与∠ACB相等的角是∠ABD，∠ADB，∠DAC，∠DBC，∠DCA.
(1)在△BDA和△CAD中，{BA=CD，AD=DA，BD=CA，
∴△BDA≌△CAD(SSS)，
∴∠ABD=∠DCA.在△ABO和△DCO中，{∠AOB=∠DOC，∠ABO=∠DCO，AB=DC，
∴△ABO≌△DCO(AAS).
(2)题图中与∠ACB相等的角是∠ABD，∠ADB，∠DAC，∠DBC，∠DCA. 理由如下：
∵AD//BC，
∴∠DAC=∠ACB，∠ADB=∠DBC.
∵AB=AD=DC，
∴∠ABD=∠ADB，∠DAC=∠DCA，
∴∠ACB=∠DAC=∠DCA.由
(1)知，△ABO≌△DCO，
∴OA=OD，
∴∠DAC=∠ADB，
∴∠ACB=∠ABD=∠ADB=∠DAC=∠DBC=∠DCA，即题图中与∠ACB相等的角是∠ABD，∠ADB，∠DAC，∠DBC，∠DCA.
11.(2024·内江中考)如图,点$A$,$D$,$B$,$E$在同一条直线上,$AD = BE$,$AC = DF$,$BC = EF$.
(1)求证：$\triangle ABC\cong\triangle DEF$；
(2)若$\angle A = 55^{\circ}$,$\angle E = 45^{\circ}$,求$\angle F$的度数.
(1)求证：$\triangle ABC\cong\triangle DEF$；
(2)若$\angle A = 55^{\circ}$,$\angle E = 45^{\circ}$,求$\angle F$的度数.
答案：
(1)
∵AD=BE，
∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE.在△ABC和△DEF中，{AB=DE，AC=DF，BC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SSS).
(2)由
(1)可知△ABC≌△DEF，
∴∠A=∠FDE=55°.
∵∠E=45°，
∴∠F=180°-(∠FDE+∠E)=180°-(55°+45°)=80°.
(1)
∵AD=BE，
∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE.在△ABC和△DEF中，{AB=DE，AC=DF，BC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SSS).
(2)由
(1)可知△ABC≌△DEF，
∴∠A=∠FDE=55°.
∵∠E=45°，
∴∠F=180°-(∠FDE+∠E)=180°-(55°+45°)=80°.
12.(2023·云南中考)如图,$C是BD$的中点,$AB = ED$,$AC = EC$. 求证：$\triangle ABC\cong\triangle EDC$.
答案：
∵C是BD的中点，
∴BC=DC.在△ABC和△EDC中，{AB=ED，AC=EC，BC=DC，
∴△ABC≌△EDC(SSS).
∵C是BD的中点，
∴BC=DC.在△ABC和△EDC中，{AB=ED，AC=EC，BC=DC，
∴△ABC≌△EDC(SSS).