1.(2023·甘孜州中考)如图,AB 与 CD 相交于点 O,AC//BD,只添加一个条件,能判定△AOC≌△BOD 的是(
A.∠A= ∠D
B.AO= BO
C.AC= BO
D.AB= CD
]
B
).A.∠A= ∠D
B.AO= BO
C.AC= BO
D.AB= CD
]
答案：B
解析：
∵AC//BD，
∴∠A=∠B，∠C=∠D，
∵AB与CD相交于点O，
∴∠AOC=∠BOD，
添加条件AO=BO，
在△AOC和△BOD中，
∠A=∠B，
AO=BO，
∠AOC=∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（ASA），
B
2.(2025·无锡宜兴期末)如图,已知 AB//CD,AD//BC,AC 与 BD 交于点 O,AE⊥BD 于点 E,CF⊥BD 于点 F,那么图中全等的三角形有(
A.5对
B.6对
C.7对
D.8对
C
).A.5对
B.6对
C.7对
D.8对
答案：C
解析：
∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，OA=OC，OB=OD。
1. △ABD≌△CDB（SAS，AB=CD，∠BAD=∠BCD，AD=BC）；
2. △ABC≌△CDA（SAS，AB=CD，∠ABC=∠ADC，BC=AD）；
3. △AOB≌△COD（SAS，OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD）；
4. △AOD≌△COB（SAS，OA=OC，∠AOD=∠COB，OD=OB）；
5. △AOE≌△COF（AAS，∠AOE=∠COF，∠AEO=∠CFO=90°，OA=OC）；
6. △ADE≌△CBF（HL，AD=BC，DE=BF，AE=CF）；
7. △ABE≌△CDF（HL，AB=CD，BE=DF，AE=CF）。
共有7对全等三角形。
C
证明:在△DEC 和△ABC 中,
$\begin{cases} CD=
∴△DEC≌△ABC(SAS),∴
$\begin{cases} CD=
CA
, \\ ∠DCE=∠ACB
, \\ CE= CB
, \end{cases} $∴△DEC≌△ABC(SAS),∴
DE=AB
.答案：CA ∠DCE=∠ACB CB DE=AB
解析：
证明:在△DEC 和△ABC 中,
$\begin{cases} CD= CA, \\ ∠DCE=∠ACB, \\ CE= CB, \end{cases} $
∴△DEC≌△ABC(SAS),
∴DE=AB.
$\begin{cases} CD= CA, \\ ∠DCE=∠ACB, \\ CE= CB, \end{cases} $
∴△DEC≌△ABC(SAS),
∴DE=AB.
4. 教材 P30 习题 T2·变式 如图,在△ABC 和△DCB 中,∠ACB= ∠DBC,添加一个条件,不能证明△ABC 和△DCB 全等的是(
A.∠ABC= ∠DCB
B.AB= DC
C.AC= DB
D.∠A= ∠D
]
B
).A.∠ABC= ∠DCB
B.AB= DC
C.AC= DB
D.∠A= ∠D
]
答案：B
5.如图,在△ABC 中,AB= AC,AB＞BC,点 D 在边 BC 上,CD= 2BD,点 E,F 在线段 AD 上,∠1= ∠2= ∠BAC,若△ABC 的面积为 21,则△FAC 与△BDE 的面积之和是(
A.6
B.7
C.8
D.9
B
).A.6
B.7
C.8
D.9
答案：B
解析：
设∠BAC=α，则∠1=∠2=α。
∵∠1=∠BAC，∠ABE=∠ABD，
∴△ABE∽△CBA，
∴∠AEB=∠ACB。
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠AEB=∠ABC。
∵∠AEB=∠EDB+∠1，∠ABC=∠EBD+∠ABE，∠1=∠BAC=α，∠ABE=∠ABD，
∴∠EDB=∠EBD，
∴EB=ED。
同理可得FA=FC。
设S△BDE=x，S△FAC=y。
∵CD=2BD，S△ABC=21，
∴S△ABD=7，S△ADC=14。
设S△AEF=m，S△BEF=n，则S△ABD=S△BDE+S△BEF+S△AEF=x+n+m=7，S△ADC=S△FAC+S△FDC= y + (S△ADC - S△AFC)=14，又
∵∠2=∠BAC，可证△AFE∽△ADC，△BED∽△BAD，
∴$\frac{m}{14}=\left(\frac{AF}{AD}\right)^2$，$\frac{x}{7}=\left(\frac{DE}{AD}\right)^2$。
∵FA=FC，EB=ED，
∴S△FAC=S△FAD=y，S△BDE=S△BED=x，
∴S△FAD=y = m + n + x，S△ADC= y + S△FDC=14，S△FDC=14 - y。
又S△ABD= x + n + m=7，S△FAD= m + n + x = y，
∴y=7，x + y=7。
即△FAC与△BDE的面积之和是7。
7
∵∠1=∠BAC，∠ABE=∠ABD，
∴△ABE∽△CBA，
∴∠AEB=∠ACB。
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠AEB=∠ABC。
∵∠AEB=∠EDB+∠1，∠ABC=∠EBD+∠ABE，∠1=∠BAC=α，∠ABE=∠ABD，
∴∠EDB=∠EBD，
∴EB=ED。
同理可得FA=FC。
设S△BDE=x，S△FAC=y。
∵CD=2BD，S△ABC=21，
∴S△ABD=7，S△ADC=14。
设S△AEF=m，S△BEF=n，则S△ABD=S△BDE+S△BEF+S△AEF=x+n+m=7，S△ADC=S△FAC+S△FDC= y + (S△ADC - S△AFC)=14，又
∵∠2=∠BAC，可证△AFE∽△ADC，△BED∽△BAD，
∴$\frac{m}{14}=\left(\frac{AF}{AD}\right)^2$，$\frac{x}{7}=\left(\frac{DE}{AD}\right)^2$。
∵FA=FC，EB=ED，
∴S△FAC=S△FAD=y，S△BDE=S△BED=x，
∴S△FAD=y = m + n + x，S△ADC= y + S△FDC=14，S△FDC=14 - y。
又S△ABD= x + n + m=7，S△FAD= m + n + x = y，
∴y=7，x + y=7。
即△FAC与△BDE的面积之和是7。
7
6.(广东广州大学附中自主招生)在△ABC 中,高 AD 和高 BE 所在的直线相交于点 F,且 BF= AC,则∠ABC 的度数为
45°或135°
.答案：45°或135°
解析：
情况一：△ABC为锐角三角形
∵AD、BE为高，
∴∠ADB=∠BEC=90°，∠FBD+∠C=∠CAD+∠C=90°，
∴∠FBD=∠CAD
在△FBD和△CAD中，∠FDB=∠CDA=90°，∠FBD=∠CAD，BF=AC
∴△FBD≌△CAD(AAS)，
∴BD=AD
∵∠ADB=90°，
∴∠ABC=45°
情况二：△ABC为钝角三角形
同理可证△FBD≌△CAD(AAS)，得BD=AD
∵∠ADB=90°，
∴∠ABD=45°，
∴∠ABC=180°-45°=135°
∠ABC的度数为45°或135°
∵AD、BE为高，
∴∠ADB=∠BEC=90°，∠FBD+∠C=∠CAD+∠C=90°，
∴∠FBD=∠CAD
在△FBD和△CAD中，∠FDB=∠CDA=90°，∠FBD=∠CAD，BF=AC
∴△FBD≌△CAD(AAS)，
∴BD=AD
∵∠ADB=90°，
∴∠ABC=45°
情况二：△ABC为钝角三角形
同理可证△FBD≌△CAD(AAS)，得BD=AD
∵∠ADB=90°，
∴∠ABD=45°，
∴∠ABC=180°-45°=135°
∠ABC的度数为45°或135°
7.教材 P17 例 2·变式 (2025·淮安期中)如图,在△ABC 和△ADE 中,∠C= ∠E,∠1= ∠2,AC= AE,AD,BC 相交于点 F.
(1)求证:△ABC≌△ADE;
(2)若 AB//DE,∠D= 35°,求∠AFB 的度数.
]
(1)求证:△ABC≌△ADE;
(2)若 AB//DE,∠D= 35°,求∠AFB 的度数.
]
答案：
(1)
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD,
∴∠CAB=∠EAD.在△ABC和△ADE中,$\left\{\begin{array}{l} ∠C=∠E,\\ AC=AE,\\ ∠CAB=∠EAD,\end{array}\right.$
∴△ABC≌△ADE(ASA).
(2)
∵AB//DE,∠D=35°,
∴∠1=∠D=35°,由
(1)可知,∠B=∠D=35°,
∴∠AFB=180°−∠1−∠B=180°−35°−35°=110°.
(1)
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD,
∴∠CAB=∠EAD.在△ABC和△ADE中,$\left\{\begin{array}{l} ∠C=∠E,\\ AC=AE,\\ ∠CAB=∠EAD,\end{array}\right.$
∴△ABC≌△ADE(ASA).
(2)
∵AB//DE,∠D=35°,
∴∠1=∠D=35°,由
(1)可知,∠B=∠D=35°,
∴∠AFB=180°−∠1−∠B=180°−35°−35°=110°.