1. 教材 P8 练习 T2·变式 (2025·福建厦门思明区期中)△ABC 的三条高如图所示,AC 边上的高是(
A.AE
B.AD
C.CE
D.BF
D
).A.AE
B.AD
C.CE
D.BF
答案：D [解析] 线段 BF 是 AC 边上的高. 故选 D.
2. (2024·湖南湘潭期中)如图,AD,AE,AF 分别是△ABC 的中线、角平分线、高,下列结论中错误的是(
A.$ CD= \frac{1}{2}BC $
B.$ 2\angle BAE= \angle BAC $
C.$ \angle C+\angle CAF= 90^{\circ} $
D.AE= AC
D
).A.$ CD= \frac{1}{2}BC $
B.$ 2\angle BAE= \angle BAC $
C.$ \angle C+\angle CAF= 90^{\circ} $
D.AE= AC
答案：D [解析] A.
∵AD 是△ABC 的中线,
∴CD=$\frac{1}{2}$BC. 故此选项不符合题意;
B.
∵AE 是△ABC 的角平分线,
∴2∠BAE=∠BAC. 故此选项不符合题意;
C.
∵AF 是△ABC 的高,
∴∠AFC=90°,
∴∠C+∠CAF=90°. 故此选项不符合题意;
D. 无法证得 AE=AC. 故此选项符合题意. 故选 D.
∵AD 是△ABC 的中线,
∴CD=$\frac{1}{2}$BC. 故此选项不符合题意;
B.
∵AE 是△ABC 的角平分线,
∴2∠BAE=∠BAC. 故此选项不符合题意;
C.
∵AF 是△ABC 的高,
∴∠AFC=90°,
∴∠C+∠CAF=90°. 故此选项不符合题意;
D. 无法证得 AE=AC. 故此选项符合题意. 故选 D.
3. 教材 P7 例 2·变式 (2025·广东珠海斗门区期末)三角形一边上的中线把原三角形分成两个(
A.形状相同的三角形
B.面积相等的三角形
C.直角三角形
D.周长相等的三角形
B
).A.形状相同的三角形
B.面积相等的三角形
C.直角三角形
D.周长相等的三角形
答案：B
4. (2025·北京顺义区期中)如图,AD 是△ABC 的中线,已知△ABD 的周长为 25 cm,AB 比 AC 长 6 cm,则△ACD 的周长为______cm.
19
答案：19 [解析]
∵AD 是 BC 边上的中线,
∴BD=CD,
∴△ABD 和△ACD 周长的差=(AB+BD+AD)-(AC+AD+CD)=AB - AC.
∵△ABD 的周长为 25 cm,AB 比 AC 长 6 cm,
∴△ACD 的周长为 25 - 6 = 19 cm.
∵AD 是 BC 边上的中线,
∴BD=CD,
∴△ABD 和△ACD 周长的差=(AB+BD+AD)-(AC+AD+CD)=AB - AC.
∵△ABD 的周长为 25 cm,AB 比 AC 长 6 cm,
∴△ACD 的周长为 25 - 6 = 19 cm.
5. (2025·北京海淀区期中)如图的四个图形中,线段 BE 是△ABC 的高的是
③
. (填序号)答案：③
6. 如图,AD 为△ABC 的中线,BE 为△ABD 的中线.
(1)作图：在△BED 中作出 BD 边上的高 EF,BE 边上的高 DG；
(2)若△ABC 的面积为 40,BD= 5,则△BED 中 BD 边上的高 EF 为多少?
(1)作图：在△BED 中作出 BD 边上的高 EF,BE 边上的高 DG；
(2)若△ABC 的面积为 40,BD= 5,则△BED 中 BD 边上的高 EF 为多少?
答案：
(1)如图,EF,DG 即为所求作.
(2)
∵AD 为△ABC 的中线,BE 为△ABD 的中线,
∴S_{△ABD}=$\frac{1}{2}$S_{△ABC},S_{△BDE}=$\frac{1}{2}$S_{△ABD},
∴S_{△BDE}=$\frac{1}{4}$S_{△ABC}.
∵△ABC 的面积为 40,BD=5,
∴S_{△BDE}=$\frac{1}{2}$BD·EF=$\frac{1}{2}$×5EF=$\frac{1}{4}$×40 = 10,
∴EF = 4,即△BED 中 BD 边上的高 EF 为 4.
(1)如图,EF,DG 即为所求作.
(2)
∵AD 为△ABC 的中线,BE 为△ABD 的中线,
∴S_{△ABD}=$\frac{1}{2}$S_{△ABC},S_{△BDE}=$\frac{1}{2}$S_{△ABD},
∴S_{△BDE}=$\frac{1}{4}$S_{△ABC}.
∵△ABC 的面积为 40,BD=5,
∴S_{△BDE}=$\frac{1}{2}$BD·EF=$\frac{1}{2}$×5EF=$\frac{1}{4}$×40 = 10,
∴EF = 4,即△BED 中 BD 边上的高 EF 为 4.
7. 下列说法错误的是(
A.锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点
B.钝角三角形有两条高线在三角形外部
C.直角三角形只有一条高线
D.任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线
C
).A.锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点
B.钝角三角形有两条高线在三角形外部
C.直角三角形只有一条高线
D.任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线
答案：C [解析] A. 锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点. 故本选项说法正确;
B. 钝角三角形有两条高线在三角形的外部. 故本选项说法正确;
C. 直角三角形也有三条高线. 故本选项说法错误;
D. 任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线. 故本选项说法正确. 故选 C.
B. 钝角三角形有两条高线在三角形的外部. 故本选项说法正确;
C. 直角三角形也有三条高线. 故本选项说法错误;
D. 任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线. 故本选项说法正确. 故选 C.
8. 等积法 (2025·福建福州仓山区期末)如图,在△ABC 中,AD,AE 分别是 BC 边的中线、高线,过点 D 作 DF⊥AB 于点 F,若$\frac{AB}{BC}= \frac{2}{3}$,则$\frac{DF}{AE}$的值是(
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{5}$
C
).A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{5}$
答案：C [解析]
∵AD 是 BC 边的中线,
∴BD=DC.
∵$\frac{AB}{BC}$=$\frac{2}{3}$,
∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{4}{3}$.
∵S_{△ABD}=$\frac{1}{2}$AB·DF=$\frac{1}{2}$BD·AE,
∴$\frac{DF}{AE}$=$\frac{3}{4}$. 故选 C.
∵AD 是 BC 边的中线,
∴BD=DC.
∵$\frac{AB}{BC}$=$\frac{2}{3}$,
∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{4}{3}$.
∵S_{△ABD}=$\frac{1}{2}$AB·DF=$\frac{1}{2}$BD·AE,
∴$\frac{DF}{AE}$=$\frac{3}{4}$. 故选 C.