9. (2024·上海崇明区期末)如图,AD 为△ABC 的角平分线,DE//AB 交 AC 于点 E,若$\angle BAC= 100^{\circ}$,则$\angle ADE= $
50
°.答案：50 [解析]
∵AD 为△ABC 的角平分线,∠BAC = 100°,
∴∠BAD = ∠CAD = $\frac{1}{2}$×100° = 50°.
∵DE//AB,
∴∠ADE = ∠BAD = 50°.
∵AD 为△ABC 的角平分线,∠BAC = 100°,
∴∠BAD = ∠CAD = $\frac{1}{2}$×100° = 50°.
∵DE//AB,
∴∠ADE = ∠BAD = 50°.
10. (2025·北京朝阳区期中)在△ABC 中,AB＞AC,D,E 是 BC 边上的两点,且 BD＜BE,有下列四个推断：
①若 AD 是△ABC 的高,则 AE 可能是△ABC 的中线；
②若 AD 是△ABC 的中线,则 AE 可能是△ABC 的高；
③若 AD 是△ABC 的角平分线,则 AE 可能是△ABC 的中线；
④若 AD 是△ABC 的高,则 AE 不可能是△ABC 的角平分线.
上述推断中所有正确结论的序号是______
①若 AD 是△ABC 的高,则 AE 可能是△ABC 的中线；
②若 AD 是△ABC 的中线,则 AE 可能是△ABC 的高；
③若 AD 是△ABC 的角平分线,则 AE 可能是△ABC 的中线；
④若 AD 是△ABC 的高,则 AE 不可能是△ABC 的角平分线.
上述推断中所有正确结论的序号是______
②④
.答案：②④ [解析] ①
∵AB＞AC,AD 是△ABC 的高,
∴AE 不可能是△ABC 的中线,此推断错误;
②AD 是△ABC 的中线,则 AE 可能是△ABC 的高,此推断正确;
③AD 是△ABC 的角平分线,则 AE 不可能是△ABC 的中线,此推断错误;
④AD 是△ABC 的高,则 AE 不可能是△ABC 的角平分线,此推断正确.
故所有正确结论的序号为②④.
∵AB＞AC,AD 是△ABC 的高,
∴AE 不可能是△ABC 的中线,此推断错误;
②AD 是△ABC 的中线,则 AE 可能是△ABC 的高,此推断正确;
③AD 是△ABC 的角平分线,则 AE 不可能是△ABC 的中线,此推断错误;
④AD 是△ABC 的高,则 AE 不可能是△ABC 的角平分线,此推断正确.
故所有正确结论的序号为②④.
11. 在△ABC 中,D 是 BC 的中点,AB= 12,AC= 8. 用剪刀从点 D 入手进行裁剪,若沿 DA 剪成两个三角形,则它们周长的差为______；若点 E 在 AB 上,沿 DE 剪开得到两部分周长差为 2,则 AE= ______.
答案：
4 1 或 3 [解析] 如图
(1),
∵D 是 BC 的中点,
∴BD = CD,
∴△ABD 的周长 - △ACD 的周长 = AB + BD + AD - (AC + CD + AD)=AB - AC = 4.
如图
(2),设 AE = x,则 BE = 12 - x.
①当四边形 ACDE 的周长 - △BDE 的周长 = 2 时,即 AE + ED + CD + AC - (BE + BD + DE)=2,整理,得 AE + AC - BE = 2,
∴x + 8 - (12 - x)=2,解得 x = 3;
②当△BDE 的周长 - 四边形 ACDE 的周长 = 2 时,即 BE + BD + DE - (AE + ED + CD + AC)=2,整理,得 BE - AE - AC = 2,
∴12 - x - x - 8 = 2,解得 x = 1.
综上所述,AE = 1 或 3.
4 1 或 3 [解析] 如图
(1),
∵D 是 BC 的中点,
∴BD = CD,
∴△ABD 的周长 - △ACD 的周长 = AB + BD + AD - (AC + CD + AD)=AB - AC = 4.
如图
(2),设 AE = x,则 BE = 12 - x.
①当四边形 ACDE 的周长 - △BDE 的周长 = 2 时,即 AE + ED + CD + AC - (BE + BD + DE)=2,整理,得 AE + AC - BE = 2,
∴x + 8 - (12 - x)=2,解得 x = 3;
②当△BDE 的周长 - 四边形 ACDE 的周长 = 2 时,即 BE + BD + DE - (AE + ED + CD + AC)=2,整理,得 BE - AE - AC = 2,
∴12 - x - x - 8 = 2,解得 x = 1.
综上所述,AE = 1 或 3.
12. (2025·广东珠海香洲区期末)如图,点 A,B,C 分别是线段 BD,CE,AF 的中点,若△DEF 的面积为 a,则△ABC 的面积为______.(用含 a 的式子表示)
答案：
$\frac{1}{7}$a [解析] 如图,连接 AE,CD,令△ABC 的面积为 x,
∵点 B 为 CE 的中点,
∴S_{△ABE}=S_{△ABC}=x.
同理可得 S_{△ADE}=x,S_{△ACD}=S_{△FCD}=x,S_{△FCE}=2x,
∴S_{△DEF}=7x.
又△DEF 的面积为 a,
∴7x = a,则 x = $\frac{1}{7}$a.
∴△ABC 的面积为$\frac{1}{7}$a.
$\frac{1}{7}$a [解析] 如图,连接 AE,CD,令△ABC 的面积为 x,
∵点 B 为 CE 的中点,
∴S_{△ABE}=S_{△ABC}=x.
同理可得 S_{△ADE}=x,S_{△ACD}=S_{△FCD}=x,S_{△FCE}=2x,
∴S_{△DEF}=7x.
又△DEF 的面积为 a,
∴7x = a,则 x = $\frac{1}{7}$a.
∴△ABC 的面积为$\frac{1}{7}$a.
13. 在△ABC 中,AB∶AC= 3∶2,BC= AC+1,若△ABC 的中线 BD 把△ABC 的周长分成两部分的比是 8∶7,求边 AB,AC 的长.
答案：设 AB = 3x,则 AC = 2x,AD = CD = x,BC = 2x + 1. 分两种情况讨论:
①当(AB + AD):(BC + CD)=8:7,即 7AB = 8BC + CD 时,由题意,得 7×3x = 8(2x + 1)+x,解得 x = 2,则 AB = 6,AC = 4;
②当(BC + CD):(AB + AD)=8:7,即 7BC = 8AB + AD 时,由题意,得 7(2x + 1)=8×3x + x,解得 x = $\frac{7}{11}$,则 AB = $\frac{21}{11}$,AC = $\frac{14}{11}$.
综上所述,AB = 6,AC = 4 或 AB = $\frac{21}{11}$,AC = $\frac{14}{11}$.
①当(AB + AD):(BC + CD)=8:7,即 7AB = 8BC + CD 时,由题意,得 7×3x = 8(2x + 1)+x,解得 x = 2,则 AB = 6,AC = 4;
②当(BC + CD):(AB + AD)=8:7,即 7BC = 8AB + AD 时,由题意,得 7(2x + 1)=8×3x + x,解得 x = $\frac{7}{11}$,则 AB = $\frac{21}{11}$,AC = $\frac{14}{11}$.
综上所述,AB = 6,AC = 4 或 AB = $\frac{21}{11}$,AC = $\frac{14}{11}$.
14. 整体思想 中考新考法 满足条件的结论开放 如图,在△ABC 中,AD⊥BC,AE 平分$\angle BAC$,$\angle B= 70^{\circ}$,$\angle C= 30^{\circ}$.
(1)求$\angle BAE$的度数.
(2)求$\angle DAE$的度数.
(3)探究：如果条件$\angle B= 70^{\circ}$,$\angle C= 30^{\circ}改成\angle B-\angle C= 40^{\circ}$,是否也能得出$\angle DAE$的度数？若能,请你写出求解过程；若不能,请说明理由.
(1)求$\angle BAE$的度数.
(2)求$\angle DAE$的度数.
(3)探究：如果条件$\angle B= 70^{\circ}$,$\angle C= 30^{\circ}改成\angle B-\angle C= 40^{\circ}$,是否也能得出$\angle DAE$的度数？若能,请你写出求解过程；若不能,请说明理由.
答案：
(1)
∵∠B + ∠C + ∠BAC = 180°,
∴∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 70° - 30° = 80°.
∵AE 平分∠BAC,
∴∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = 40°.
(2)
∵AD⊥BC,
∴∠ADB = 90°.又∠ADB + ∠B + ∠BAD = 180°,
∴∠BAD = 180° - 90° - 70° = 20°,
∴∠DAE = ∠BAE - ∠BAD = 40° - 20° = 20°.
(3)能. 理由如下:
∵∠B + ∠C + ∠BAC = 180°,
∴∠BAC = 180° - ∠B - ∠C.
∵AE 平分∠BAC,
∴∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×(180° - ∠B - ∠C)=90° - $\frac{1}{2}$(∠B + ∠C).
∵AD⊥BC,
∴∠ADB = 90°.又∠ADB + ∠B + ∠BAD = 180°,
∴∠BAD = 90° - ∠B,
∴∠DAE = ∠BAE - ∠BAD = 90° - $\frac{1}{2}$(∠B + ∠C)-(90° - ∠B) = $\frac{1}{2}$(∠B - ∠C).
∵∠B - ∠C = 40°,
∴∠DAE = $\frac{1}{2}$×40° = 20°.
(1)
∵∠B + ∠C + ∠BAC = 180°,
∴∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 70° - 30° = 80°.
∵AE 平分∠BAC,
∴∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = 40°.
(2)
∵AD⊥BC,
∴∠ADB = 90°.又∠ADB + ∠B + ∠BAD = 180°,
∴∠BAD = 180° - 90° - 70° = 20°,
∴∠DAE = ∠BAE - ∠BAD = 40° - 20° = 20°.
(3)能. 理由如下:
∵∠B + ∠C + ∠BAC = 180°,
∴∠BAC = 180° - ∠B - ∠C.
∵AE 平分∠BAC,
∴∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×(180° - ∠B - ∠C)=90° - $\frac{1}{2}$(∠B + ∠C).
∵AD⊥BC,
∴∠ADB = 90°.又∠ADB + ∠B + ∠BAD = 180°,
∴∠BAD = 90° - ∠B,
∴∠DAE = ∠BAE - ∠BAD = 90° - $\frac{1}{2}$(∠B + ∠C)-(90° - ∠B) = $\frac{1}{2}$(∠B - ∠C).
∵∠B - ∠C = 40°,
∴∠DAE = $\frac{1}{2}$×40° = 20°.
15. (2024·浙江温州期中)如图,AD 是△ABC 的高,CE 是△ACB 的角平分线,F 是 AC 的中点,$\angle ACB= 50^{\circ}$,$\angle BAD= 70^{\circ}$.
(1)求$\angle AEC$的度数.
(2)若△BCF 与△BAF 的周长差为 3,AB= 7,能否求出 BC 的值？若能,请写出理由和结果；若不能,请你补充条件并解答.
(1)求$\angle AEC$的度数.
(2)若△BCF 与△BAF 的周长差为 3,AB= 7,能否求出 BC 的值？若能,请写出理由和结果；若不能,请你补充条件并解答.
答案：
(1)
∵AD 是△ABC 的高,
∴∠ADC = 90°.
∵∠ACB = 50°,
∴∠CAD = 40°.
又∠BAD = 70°,
∴∠BAC = 70° + 40° = 110°.
∵CE 为∠ACB 的平分线,
∴∠ACE = $\frac{1}{2}$∠ACB = 25°,
∴∠AEC = 180° - ∠BAC - ∠ACE = 180° - 110° - 25° = 45°.
(2)能求出 BC 的值. 理由如下:
∵F 是 AC 中点,
∴AF = FC.
∵△BCF 与△BAF 的周长差为 3,
∴(BC + CF + BF)-(AB + AF + BF)=3,
∴BC - AB = 3.
∵AB = 7,
∴BC = 3 + 7 = 10.
(1)
∵AD 是△ABC 的高,
∴∠ADC = 90°.
∵∠ACB = 50°,
∴∠CAD = 40°.
又∠BAD = 70°,
∴∠BAC = 70° + 40° = 110°.
∵CE 为∠ACB 的平分线,
∴∠ACE = $\frac{1}{2}$∠ACB = 25°,
∴∠AEC = 180° - ∠BAC - ∠ACE = 180° - 110° - 25° = 45°.
(2)能求出 BC 的值. 理由如下:
∵F 是 AC 中点,
∴AF = FC.
∵△BCF 与△BAF 的周长差为 3,
∴(BC + CF + BF)-(AB + AF + BF)=3,
∴BC - AB = 3.
∵AB = 7,
∴BC = 3 + 7 = 10.