1. 手拉手模型(教材 P50 习题 T6·变式)如图,△ABC 和△DEC 都是等边三角形,D 是 BC 延长线上一点,AD 与 BE 相交于点 P,AC,BE 相交于点 M,AD,CE 相交于点 N,则下列五个结论：①AD= BE；②∠BMC= ∠ANC；③∠APM= 60°；④AN= BM；⑤△CMN 是等边三角形. 其中,正确的有(
A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
]
D
).A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
]
答案：D ［解析］
∵△ABC 和△DEC 都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∠ACE=60°，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD=BE. 故结论①正确；
∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBE=∠CAD.
∵∠ACB=∠ACE=60°，
∴∠BMC=∠ANC. 故结论②正确；
∵∠APM 是△PBD 的外角，
∴∠APM=∠CBE+∠ADC=∠CAD+∠ADC=∠ACB=60°. 故结论③正确；在△ACN 和△BCM 中，$\left\{\begin{array}{l} ∠CAN=∠CBM,\\ AC=BC,\\ ∠ACN=∠BCM=60^{\circ },\end{array}\right. $
∴△ACN≌△BCM（ASA），
∴AN=BM. 故结论④正确；
∵△ACN≌△BCM，
∴CM=CN.
∵∠MCN=60°，
∴△CMN 是等边三角形，故结论⑤正确. 故选 D.
∵△ABC 和△DEC 都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∠ACE=60°，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD=BE. 故结论①正确；
∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBE=∠CAD.
∵∠ACB=∠ACE=60°，
∴∠BMC=∠ANC. 故结论②正确；
∵∠APM 是△PBD 的外角，
∴∠APM=∠CBE+∠ADC=∠CAD+∠ADC=∠ACB=60°. 故结论③正确；在△ACN 和△BCM 中，$\left\{\begin{array}{l} ∠CAN=∠CBM,\\ AC=BC,\\ ∠ACN=∠BCM=60^{\circ },\end{array}\right. $
∴△ACN≌△BCM（ASA），
∴AN=BM. 故结论④正确；
∵△ACN≌△BCM，
∴CM=CN.
∵∠MCN=60°，
∴△CMN 是等边三角形，故结论⑤正确. 故选 D.
2.(2025·常州金坛期中)如图,BD 是等边三角形 ABC 的边 AC 上的高,以点 D 为圆心,DB 长为半径作弧交 BC 的延长线于点 E,则∠DEC= (
A.20°
B.25°
C.30°
D.35°
]
C
).A.20°
B.25°
C.30°
D.35°
]
答案：C ［解析］在等边三角形 ABC 中，∠ABC=60°，
∵BD 是 AC 边上的高，
∴BD 平分∠ABC，
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°.
∵BD=ED，
∴∠DEC=∠CBD=30°. 故选 C.
∵BD 是 AC 边上的高，
∴BD 平分∠ABC，
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°.
∵BD=ED，
∴∠DEC=∠CBD=30°. 故选 C.
3. 教材 P46 例 3·变式(2024·无锡锡山区期中)如图,在等边三角形 ABC 中,点 D,E 分别在边 BC,AC 上,且 DE//AB,过点 E 作 EF⊥DE,交 BC 的延长线于点 F.
(1)求∠F 的度数；
(2)若 CD= 2,求 DF 的长.
(1)求∠F 的度数；
(2)若 CD= 2,求 DF 的长.
答案：
(1)
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°.
∵DE//AB，
∴∠B=∠EDC=60°，∠A=∠CED=60°，
∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°.
∵EF⊥ED，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°−60°=30°.
(2)
∵∠F+∠FEC=∠ECD=60°，
∴∠F=∠FEC=30°，
∴CE=CF.
∵∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，
∴CE=DC=2，
∴CF=2，
∴DF=DC+CF=2+2=4.
(1)
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°.
∵DE//AB，
∴∠B=∠EDC=60°，∠A=∠CED=60°，
∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°.
∵EF⊥ED，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°−60°=30°.
(2)
∵∠F+∠FEC=∠ECD=60°，
∴∠F=∠FEC=30°，
∴CE=CF.
∵∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，
∴CE=DC=2，
∴CF=2，
∴DF=DC+CF=2+2=4.
4. 等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为( ).
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
答案：
C ［解析］如图，△ABC 为等边三角形，BD，CE 分别为边 AC，AB 上的中线，交于点 O，
∴CE⊥AB，BD 平分∠ABC，
∴∠OEB=90°，∠EBO=$\frac{1}{2}$∠ABC =30°，
∴∠BOE=90°−30°=60°. 故选 C.
C ［解析］如图，△ABC 为等边三角形，BD，CE 分别为边 AC，AB 上的中线，交于点 O，
∴CE⊥AB，BD 平分∠ABC，
∴∠OEB=90°，∠EBO=$\frac{1}{2}$∠ABC =30°，
∴∠BOE=90°−30°=60°. 故选 C.
5.(2024·宿迁宿城区期末)如图,∠AOB= 120°,OP 平分∠AOB,且 OP= 1. 若点 M,N 分别在 OA,OB 上,且△PMN 为等边三角形,则满足上述条件的△PMN 有( ).
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.无数个
]
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.无数个
]
答案：
D ［解析］如图，过点 P 作 PM⊥OA 于 M，PN⊥OB 于 N.
∵OP 平分∠AOB，PM⊥OA 于 M，PN⊥OB 于 N，
∴PM=PN，∠PMO=90°，∠PNO=90°.
∴∠MPN=360°−∠AOB−∠PMO−∠PNO=60°，此时，△PMN 是等边三角形. 当 M 向 MO 方向移动，N 向 NB 方向移动，∠MPM₁=∠NPN₁时，
∴∠M₁PN₁=∠M₁PN+∠NPN₁=∠M₁PN+∠MPM₁=∠MPN=60°. 在△PMM₁和△PNN₁中，$\left\{\begin{array}{l} ∠PMM_{1}=∠PNN_{1},\\ PM=PN,\\ ∠MPM_{1}=∠NPN_{1},\end{array}\right. $
∴△PMM₁≌△PNN₁（ASA），
∴PM₁=PN₁，
∴△M₁PN₁是等边三角形.
∴当 M 向 MO 方向移动，N 向 NB 方向移动，∠MPM₁=∠NPN₁时，△M₁PN₁是等边三角形. 同理：当 M 向 MA 方向移动，N 向 NO 方向移动，也存在无数个满足条件的等边三角形 PMN. 综上所述，满足条件的△PMN 有无数个. 故选 D.
D ［解析］如图，过点 P 作 PM⊥OA 于 M，PN⊥OB 于 N.
∵OP 平分∠AOB，PM⊥OA 于 M，PN⊥OB 于 N，
∴PM=PN，∠PMO=90°，∠PNO=90°.
∴∠MPN=360°−∠AOB−∠PMO−∠PNO=60°，此时，△PMN 是等边三角形. 当 M 向 MO 方向移动，N 向 NB 方向移动，∠MPM₁=∠NPN₁时，
∴∠M₁PN₁=∠M₁PN+∠NPN₁=∠M₁PN+∠MPM₁=∠MPN=60°. 在△PMM₁和△PNN₁中，$\left\{\begin{array}{l} ∠PMM_{1}=∠PNN_{1},\\ PM=PN,\\ ∠MPM_{1}=∠NPN_{1},\end{array}\right. $
∴△PMM₁≌△PNN₁（ASA），
∴PM₁=PN₁，
∴△M₁PN₁是等边三角形.
∴当 M 向 MO 方向移动，N 向 NB 方向移动，∠MPM₁=∠NPN₁时，△M₁PN₁是等边三角形. 同理：当 M 向 MA 方向移动，N 向 NO 方向移动，也存在无数个满足条件的等边三角形 PMN. 综上所述，满足条件的△PMN 有无数个. 故选 D.
6. 如图,等边三角形纸片 ABC 的边长为 6,E,F 是边 BC 上的三等分点. 分别过点 E,F 沿着平行于 BA,CA 方向各剪一刀,则剪下的△DEF 的周长是______
6
.答案：6
解析：
∵△ABC是等边三角形，边长为6，
∴BC=6，∠B=∠C=60°。
∵E，F是边BC上的三等分点，
∴BE=EF=FC=2。
∵DE//BA，DF//CA，
∴∠DEF=∠B=60°，∠DFE=∠C=60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴DE=EF=FD=2，
∴△DEF的周长是2+2+2=6。
6
7. 以正方形 ABCD 的一边 CD 为边作等边三角形 CDE. 连接 AE,BE.
(1)画出图形；
(2)求∠AEB 的度数.
(1)画出图形；
(2)求∠AEB 的度数.
答案：
(1)当点 E 在正方形 ABCD 外时，如图(1)；当点 E 在正方形 ABCD 内时，如图(2).
(2)在图(1)中，
∵∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°+60°=150°，AD=CD=DE，
∴∠DEA=∠DAE=15°. 同理∠CEB=15°.
∴∠AEB=∠DEC−∠DEA−∠CEB=60°−15°−15°=30°. 在图
(2)中，
∵AD=CD=DE，∠ADE=∠ADC−∠CDE=90°−60°=30°，
∴∠AED=∠DAE=75°. 同理∠CEB=75°.
∴∠AEB=360°−∠AED−∠CEB−∠CED=360°−75°−75°−60°=150°. 综上所述，∠AEB 的度数为 30°或 150°.
(1)当点 E 在正方形 ABCD 外时，如图(1)；当点 E 在正方形 ABCD 内时，如图(2).
(2)在图(1)中，
∵∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°+60°=150°，AD=CD=DE，
∴∠DEA=∠DAE=15°. 同理∠CEB=15°.
∴∠AEB=∠DEC−∠DEA−∠CEB=60°−15°−15°=30°. 在图
(2)中，
∵AD=CD=DE，∠ADE=∠ADC−∠CDE=90°−60°=30°，
∴∠AED=∠DAE=75°. 同理∠CEB=75°.
∴∠AEB=360°−∠AED−∠CEB−∠CED=360°−75°−75°−60°=150°. 综上所述，∠AEB 的度数为 30°或 150°.
8.(2025·扬州广陵区期中)已知：如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC= ∠ADC= 90°,点 E 是 AC 的中点.
(1)求证：△BED 是等腰三角形；
(2)当∠BCD= ______°时,△BED 是等边三角形.
(1)∵∠ABC=∠ADC=90°，点 E 是 AC 边的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$AC，DE=$\frac{1}{2}$AC，
∴BE=DE，
∴△BED 是等腰三角形.
(2)当∠BCD=
(1)求证：△BED 是等腰三角形；
(2)当∠BCD= ______°时,△BED 是等边三角形.
(1)∵∠ABC=∠ADC=90°，点 E 是 AC 边的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$AC，DE=$\frac{1}{2}$AC，
∴BE=DE，
∴△BED 是等腰三角形.
(2)当∠BCD=
150
°时,△BED 是等边三角形.答案：
(1)
∵∠ABC=∠ADC=90°，点 E 是 AC 边的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$AC，DE=$\frac{1}{2}$AC，
∴BE=DE，
∴△BED 是等腰三角形.
(2)150 ［解析］
∵AE=ED，
∴∠DAE=∠EDA.
∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA.
∵∠DAE+∠EDA=∠DEC，∠EAB+∠EBA=∠BEC，
∴∠DAB=$\frac{1}{2}$∠DEB.
∵△BED 是等边三角形，
∴∠DEB=60°，
∴∠BAD=30°，
∴∠BCD=360°−90°−90°−30°=150°.
(1)
∵∠ABC=∠ADC=90°，点 E 是 AC 边的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$AC，DE=$\frac{1}{2}$AC，
∴BE=DE，
∴△BED 是等腰三角形.
(2)150 ［解析］
∵AE=ED，
∴∠DAE=∠EDA.
∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA.
∵∠DAE+∠EDA=∠DEC，∠EAB+∠EBA=∠BEC，
∴∠DAB=$\frac{1}{2}$∠DEB.
∵△BED 是等边三角形，
∴∠DEB=60°，
∴∠BAD=30°，
∴∠BCD=360°−90°−90°−30°=150°.