12. 中考新考法 操作探究 [问题情境]小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图(1),利用此图,可以验证勾股定理吗？
[初步运用](1)如图(1),若b= 2a,则小正方形面积：大正方形面积=
(2)现将图(1)中上方的两直角三角形向内折叠,如图(2),若a= 4,b= 6,则此时空白部分的面积为
[迁移运用]用三张含60°角的全等三角形纸片,能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问,小丽拼出图(3)的等边三角形,你能否仿照勾股定理的验证,发现含60°角的三角形三边a,b,c之间的关系,写出此等量关系式及其推导过程.(知识补充：如图(4),含60°角的直角三角形的对边长y：斜边长x= 定值k)
结论:a²+b²−ab=c².理由如下:
由题意，得大正三角形的面积=3个全等三角形的面积+小正三角形的面积,
∴$\frac{1}{2}$(a+b)·k(a+b)=3×$\frac{1}{2}$b·ka+$\frac{1}{2}$c·ck,
∴(a+b)²=3ab+c²,
∴a²+b²−ab=c².
[初步运用](1)如图(1),若b= 2a,则小正方形面积：大正方形面积=
5:9
.(2)现将图(1)中上方的两直角三角形向内折叠,如图(2),若a= 4,b= 6,则此时空白部分的面积为
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.[迁移运用]用三张含60°角的全等三角形纸片,能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问,小丽拼出图(3)的等边三角形,你能否仿照勾股定理的验证,发现含60°角的三角形三边a,b,c之间的关系,写出此等量关系式及其推导过程.(知识补充：如图(4),含60°角的直角三角形的对边长y：斜边长x= 定值k)
结论:a²+b²−ab=c².理由如下:
由题意，得大正三角形的面积=3个全等三角形的面积+小正三角形的面积,
∴$\frac{1}{2}$(a+b)·k(a+b)=3×$\frac{1}{2}$b·ka+$\frac{1}{2}$c·ck,
∴(a+b)²=3ab+c²,
∴a²+b²−ab=c².
答案：[初步运用]
(1)5:9
(2)28
[迁移运用]结论:a²+b²−ab=c².理由如下:
由题意，得大正三角形的面积=3个全等三角形的面积+小正三角形的面积,
∴$\frac{1}{2}$(a+b)·k(a+b)=3×$\frac{1}{2}$b·ka+$\frac{1}{2}$c·ck,
∴(a+b)²=3ab+c²,
∴a²+b²−ab=c².
(1)5:9
(2)28
[迁移运用]结论:a²+b²−ab=c².理由如下:
由题意，得大正三角形的面积=3个全等三角形的面积+小正三角形的面积,
∴$\frac{1}{2}$(a+b)·k(a+b)=3×$\frac{1}{2}$b·ka+$\frac{1}{2}$c·ck,
∴(a+b)²=3ab+c²,
∴a²+b²−ab=c².
13. 中考新考法 类比探究 (2025·南通海门区期末)在△ABC中,BC= a,AC= b,AB= c,且c≥b≥a.
(1)当△ABC是锐角三角形时,小明猜想：$a^{2}+b^{2}＞c^{2}$. 以下是他的证明过程：
如图(1),过点A作AD⊥CB,垂足为D.
设CD= x.
∵在Rt△ADC中,$AD^{2}= b^{2}-x^{2}$,
在Rt△ADB中,$AD^{2}= $①______,
∴$b^{2}-x^{2}= $①______.
化简,得$a^{2}+b^{2}-c^{2}= 2ax$.
∵a＞0,x＞0,∴②______＞0,
∴$a^{2}+b^{2}-c^{2}＞0$,
∴$a^{2}+b^{2}＞c^{2}$.
其中,①是______,②是______.
(2)如图(2),当△ABC是钝角三角形时,猜想$a^{2}+b^{2}与c^{2}$之间的关系并证明.
(1)当△ABC是锐角三角形时,小明猜想：$a^{2}+b^{2}＞c^{2}$. 以下是他的证明过程：
如图(1),过点A作AD⊥CB,垂足为D.
设CD= x.
∵在Rt△ADC中,$AD^{2}= b^{2}-x^{2}$,
在Rt△ADB中,$AD^{2}= $①______,
∴$b^{2}-x^{2}= $①______.
化简,得$a^{2}+b^{2}-c^{2}= 2ax$.
∵a＞0,x＞0,∴②______＞0,
∴$a^{2}+b^{2}-c^{2}＞0$,
∴$a^{2}+b^{2}＞c^{2}$.
其中,①是______,②是______.
(2)如图(2),当△ABC是钝角三角形时,猜想$a^{2}+b^{2}与c^{2}$之间的关系并证明.
答案：
(1)c²−(a−x)² 2ax [解析]如题图
(1),过点A作AD⊥CB,垂足为D.设CD=x,则DB=a−x,
∵在Rt△ADC中,AD²=b²−x²,
在Rt△ADB中,AD²=c²−(a−x)²,
∴b²−x²=c²−(a−x)²,
化简,得a²+b²−c²=2ax.
∵a＞0,x＞0,
∴2ax＞0,
∴a²+b²−c²＞0,
∴a²+b²＞c².
(2)a²+b²＜c².证明如下:
如图,过点A作AD⊥BC的延长线，垂足为D.
设CD=x.
∵在Rt△ADC中,AD²=b²−x²,
在Rt△ADB中,AD²=c²−(a+x)²,
∴b²−x²=c²−(a+x)²,
化简,得a²+b²−c²=−2ax.
∵a＞0,x＞0,
∴−2ax＜0,
∴a²+b²−c²＜0,
∴a²+b²＜c².
(1)c²−(a−x)² 2ax [解析]如题图
(1),过点A作AD⊥CB,垂足为D.设CD=x,则DB=a−x,
∵在Rt△ADC中,AD²=b²−x²,
在Rt△ADB中,AD²=c²−(a−x)²,
∴b²−x²=c²−(a−x)²,
化简,得a²+b²−c²=2ax.
∵a＞0,x＞0,
∴2ax＞0,
∴a²+b²−c²＞0,
∴a²+b²＞c².
(2)a²+b²＜c².证明如下:
如图,过点A作AD⊥BC的延长线，垂足为D.
设CD=x.
∵在Rt△ADC中,AD²=b²−x²,
在Rt△ADB中,AD²=c²−(a+x)²,
∴b²−x²=c²−(a+x)²,
化简,得a²+b²−c²=−2ax.
∵a＞0,x＞0,
∴−2ax＜0,
∴a²+b²−c²＜0,
∴a²+b²＜c².