10.(2025·徐州期末)如图,在长方形 ABCD 中,AB = 4,AD = 5,E 为 BC 上的点.将△ABE 沿 AE 折叠,使点 B 落在长方形内的点 F 处.连接 DF,已知 DF = 3.
(1)求证:△ADF 为直角三角形；
(2)求线段 BE 的长.
(1)求证:△ADF 为直角三角形；
(2)求线段 BE 的长.
答案：
(1)
∵将△ABE沿AE折叠，使点B落在长方形内的点F处,AB = 4,
∴AB = AF = 4.
在△ADF中,AD = 5,DF = 3,且3² + 4² = 5²,
∴FD² + AF² = AD²,
∴△ADF是直角三角形.
(2)由
(1)知∠AFD = 90°,
设BE = x,则EF = x.
根据折叠可知∠AFE = ∠B = 90°,
又∠AFD = 90°,
∴∠DFE = 180°,
∴D,F,E三点在同一条直线上,
∴DE = 3 + x,
CE = 5 - x,DC = AB = 4,
在Rt△DCE中,根据勾股定理,得DE² = DC² + EC²,
∴(3 + x)² = 4² + (5 - x)²,解得x = 2,
∴BE的长为2.
(1)
∵将△ABE沿AE折叠，使点B落在长方形内的点F处,AB = 4,
∴AB = AF = 4.
在△ADF中,AD = 5,DF = 3,且3² + 4² = 5²,
∴FD² + AF² = AD²,
∴△ADF是直角三角形.
(2)由
(1)知∠AFD = 90°,
设BE = x,则EF = x.
根据折叠可知∠AFE = ∠B = 90°,
又∠AFD = 90°,
∴∠DFE = 180°,
∴D,F,E三点在同一条直线上,
∴DE = 3 + x,
CE = 5 - x,DC = AB = 4,
在Rt△DCE中,根据勾股定理,得DE² = DC² + EC²,
∴(3 + x)² = 4² + (5 - x)²,解得x = 2,
∴BE的长为2.
11. 类比思想 中考新考法 规律探究 (2024·宿迁宿城区期中)寻求某些勾股数的规律.
(1)对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后,就得到了一组新的勾股数.例如:$3^2 + 4^2 = 5^2$,若把它扩大 2 倍、3 倍,就分别得到$6^2 + 8^2 = 10^2和9^2 + 12^2 = 15^2$,…,若把它扩大 11 倍,就得到
(2)对于任意一个大于 1 的奇数,存在下列勾股数:
若勾股数为 3,4,5,因为$3^2 = 5^2 - 4^2$,则有$3^2 = 4 + 5$；
若勾股数为 5,12,13,则有$5^2 = 12 + 13$.
①若勾股数为 7,24,25,则有
②若勾股数为 17,a,b(a ＜ b),根据以上的规律,求 a,b 的值.
∵3²=4+5，5²=12+13，7²=24+25，以此类推，对于奇数2n+1，有(2n+1)²=m+(m+1)，其中m和m+1为另两个勾股数。
∴17²=a+b，且b=a+1，
∴17²=289=2a+1，
解得a=144，
则b=a+1=145。
答：a=144，b=145。
(1)对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后,就得到了一组新的勾股数.例如:$3^2 + 4^2 = 5^2$,若把它扩大 2 倍、3 倍,就分别得到$6^2 + 8^2 = 10^2和9^2 + 12^2 = 15^2$,…,若把它扩大 11 倍,就得到
33² + 44² = 55²
,若把它扩大 n 倍(n 为正整数),就得到(3n)² + (4n)² = (5n)²
；(2)对于任意一个大于 1 的奇数,存在下列勾股数:
若勾股数为 3,4,5,因为$3^2 = 5^2 - 4^2$,则有$3^2 = 4 + 5$；
若勾股数为 5,12,13,则有$5^2 = 12 + 13$.
①若勾股数为 7,24,25,则有
7² = 24 + 25
；②若勾股数为 17,a,b(a ＜ b),根据以上的规律,求 a,b 的值.
∵3²=4+5，5²=12+13，7²=24+25，以此类推，对于奇数2n+1，有(2n+1)²=m+(m+1)，其中m和m+1为另两个勾股数。
∴17²=a+b，且b=a+1，
∴17²=289=2a+1，
解得a=144，
则b=a+1=145。
答：a=144，b=145。
答案：
(1)33² + 44² = 55² (3n)² + (4n)² = (5n)²
[解析]
∵3,4,5分别扩大11倍得到33,44,55,
∴33² + 44² = 55²,
又3,4,5分别扩大n倍得到3n,4n,5n,
∴(3n)² + (4n)² = (5n)².
(2)①17² = 25 + 24
②3² = 5² - 4²,3² = 4 + 5,
5² = 13² - 12²,5² = 12 + 13,
7² = 25² - 24²,7² = 49 = 24 + 25,
以此类推,(2n + 1)² = m + m + 1,(2n + 1)² = (m + 1)² - m²(m,n都为正整数),
∴17² = a + b,b = a + 1,
∴17² = 289 = 2a + 1,
∴a = 144,
∴b = a + 1 = 145.
(1)33² + 44² = 55² (3n)² + (4n)² = (5n)²
[解析]
∵3,4,5分别扩大11倍得到33,44,55,
∴33² + 44² = 55²,
又3,4,5分别扩大n倍得到3n,4n,5n,
∴(3n)² + (4n)² = (5n)².
(2)①17² = 25 + 24
②3² = 5² - 4²,3² = 4 + 5,
5² = 13² - 12²,5² = 12 + 13,
7² = 25² - 24²,7² = 49 = 24 + 25,
以此类推,(2n + 1)² = m + m + 1,(2n + 1)² = (m + 1)² - m²(m,n都为正整数),
∴17² = a + b,b = a + 1,
∴17² = 289 = 2a + 1,
∴a = 144,
∴b = a + 1 = 145.
12.(2023·济宁中考)如图,在正方形方格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,点 A,B,C,D,E 均在小正方形方格的顶点上,线段 AB,CD 交于点 F,若∠CFB = α,则∠ABE 等于( ).
A.$180^\circ - \alpha$
B.$180^\circ - 2\alpha$
C.$90^\circ + \alpha$
D.$90^\circ + 2\alpha$
A.$180^\circ - \alpha$
B.$180^\circ - 2\alpha$
C.$90^\circ + \alpha$
D.$90^\circ + 2\alpha$
答案：
C [解析]如图,过点B作BG//CD,连接EG.
∵BG//CD,
∴∠ABG = ∠CFB = α,
∵BG² = 1² + 4² = 17,BE² = 1² + 4² = 17,EG² = 3² + 5² = 34,
∴BG² + BE² = EG²,
∴△BEG是直角三角形,
∴∠GBE = 90°,
∴∠ABE = ∠GBE + ∠ABG = 90° + α.故选C;
C [解析]如图,过点B作BG//CD,连接EG.
∵BG//CD,
∴∠ABG = ∠CFB = α,
∵BG² = 1² + 4² = 17,BE² = 1² + 4² = 17,EG² = 3² + 5² = 34,
∴BG² + BE² = EG²,
∴△BEG是直角三角形,
∴∠GBE = 90°,
∴∠ABE = ∠GBE + ∠ABG = 90° + α.故选C;