1.(2025·宿迁宿城区期中)如图,以Rt△ABC的两直角边为边向外作正方形,其面积分别为$S_1,S_2,$若斜边AB的长为10,则$S_1+S_2$的值为(
A.8
B.32
C.64
D.100
D
).A.8
B.32
C.64
D.100
答案：1.D [解析]
∵以Rt△ABC的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为S₁,S₂，
∴S₁=BC²，S₂=AC²，BC²+AC²=AB²，
∴S₁+S₂的值为AB²=100.故选D
归纳总结 本题考查了正方形的面积、勾股定理的知识，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用。
∵以Rt△ABC的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为S₁,S₂，
∴S₁=BC²，S₂=AC²，BC²+AC²=AB²，
∴S₁+S₂的值为AB²=100.故选D
归纳总结 本题考查了正方形的面积、勾股定理的知识，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用。
2.(2024·泰州兴化期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,BC= 3,AC= 4,CD⊥AB于点D,E是AB的中点,则DE的长为(
A.0.6
B.0.7
C.0.8
D.0.9
B
).A.0.6
B.0.7
C.0.8
D.0.9
答案：2.B [解析]
∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=√(AC²+BC²)=5.
∵CD⊥AB于点D，
∴△ABC的面积=1/2BC·CA=1/2AB·CD，
∴3×4=5CD，解得CD=2.4，
∴BD=√(BC²−CD²)=1.8.
∵E是AB的中点，
∴BE=1/2AB=2.5，
∴DE=BE−BD=0.7.故选B。
∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=√(AC²+BC²)=5.
∵CD⊥AB于点D，
∴△ABC的面积=1/2BC·CA=1/2AB·CD，
∴3×4=5CD，解得CD=2.4，
∴BD=√(BC²−CD²)=1.8.
∵E是AB的中点，
∴BE=1/2AB=2.5，
∴DE=BE−BD=0.7.故选B。
3.(2025·盐城东台期中)如图,正方形网格的每个小方格边长均为1,△ABC的顶点在格点上.
(1)直接写出$AB^2=$
(2)判断△ABC的形状,并说明理由.
(2)△ABC是直角三角形.理由如下:
∵AB²+BC²=20+5=25=AC²，
∴△ABC是直角三角形.
(1)直接写出$AB^2=$
20
$,BC^2=$5
$,AC^2=$25
；(2)判断△ABC的形状,并说明理由.
(2)△ABC是直角三角形.理由如下:
∵AB²+BC²=20+5=25=AC²，
∴△ABC是直角三角形.
答案：3.
(1)20 5 25
(2)△ABC是直角三角形.理由如下:
∵AB²+BC²=20+5=25=AC²，
∴△ABC是直角三角形.
(1)20 5 25
(2)△ABC是直角三角形.理由如下:
∵AB²+BC²=20+5=25=AC²，
∴△ABC是直角三角形.
4.(2025·扬州江都区期中)如图,在△ABC中,AB= AC,点E在AC上,CE= 5,BC= 13,BE= 12.
(1)判断△ABE的形状,并说明理由；
(2)求线段AB的长.
(1)判断△ABE的形状,并说明理由；
(2)求线段AB的长.
答案：4.
(1)△ABE是直角三角形，理由如下:
在△BCE中，BE²+EC²=12²+5²=13²=BC²，
∴△BCE是以BC为斜边的直角三角形，
∴∠BEC=90°，
∴∠AEB=90°，
∴△ABE是直角三角形.
(2)设AB=x，则AE=x−5，
在Rt△ABE中，由勾股定理，得x²=12²+(x−5)²，
解得x=16.9.
(1)△ABE是直角三角形，理由如下:
在△BCE中，BE²+EC²=12²+5²=13²=BC²，
∴△BCE是以BC为斜边的直角三角形，
∴∠BEC=90°，
∴∠AEB=90°，
∴△ABE是直角三角形.
(2)设AB=x，则AE=x−5，
在Rt△ABE中，由勾股定理，得x²=12²+(x−5)²，
解得x=16.9.
5.(2024·苏州昆山期中)如图,在△ABC中,E为AB边上的一点,连接CE并延长,过点A作AD⊥CE,垂足为D,若AD= 7,AB= 20,BC= 15,DC= 24.
(1)试说明∠B为直角；
(2)记△ADE的面积为$S_1,△BCE$的面积为$S_2,$则$S_2-S_1$的值为______.
(1)∵AD⊥CE，
∴∠D=90°.
∵AD=7，DC=24，
∴AC²=AD²+DC²=625.
又AB=20，BC=15，20²+15²=625，
∴AB²+BC²=AC²，
∴△ABC是直角三角形，且∠B为直角.
(2)
(1)试说明∠B为直角；
(2)记△ADE的面积为$S_1,△BCE$的面积为$S_2,$则$S_2-S_1$的值为______.
(1)∵AD⊥CE，
∴∠D=90°.
∵AD=7，DC=24，
∴AC²=AD²+DC²=625.
又AB=20，BC=15，20²+15²=625，
∴AB²+BC²=AC²，
∴△ABC是直角三角形，且∠B为直角.
(2)
66
答案：5.
(1)
∵AD⊥CE，
∴∠D=90°.
∵AD=7，DC=24，
∴AC²=AD²+DC²=625.
又AB=20，BC=15，20²+15²=625，
∴AB²+BC²=AC²，
∴△ABC是直角三角形，且∠B为直角.
(2)66 [解析]
∵S₁+S△ACE=S△ACD，S₂+S△ACE=S△ABC，
∴S₁=S△ACD−S△ACE，S₂=S△ABC−S△ACE，
∴S₂−S₁=(S△ABC−S△ACE)−(S△ACD−S△ACE)=S△ABC−S△ACD
∵S△ABC=1/2BC·AB=1/2×15×20=150，S△ACD=1/2AD·CD=1/2×7×24=84，
∴S₂−S₁=150−84=66.
(1)
∵AD⊥CE，
∴∠D=90°.
∵AD=7，DC=24，
∴AC²=AD²+DC²=625.
又AB=20，BC=15，20²+15²=625，
∴AB²+BC²=AC²，
∴△ABC是直角三角形，且∠B为直角.
(2)66 [解析]
∵S₁+S△ACE=S△ACD，S₂+S△ACE=S△ABC，
∴S₁=S△ACD−S△ACE，S₂=S△ABC−S△ACE，
∴S₂−S₁=(S△ABC−S△ACE)−(S△ACD−S△ACE)=S△ABC−S△ACD
∵S△ABC=1/2BC·AB=1/2×15×20=150，S△ACD=1/2AD·CD=1/2×7×24=84，
∴S₂−S₁=150−84=66.