1. (2025·苏州太仓期末)如图,在 Rt△ACB 中,BC= 3,AB= 5,∠BCA= 90°,在 AC 上取一点 E,连接 BE,将△ABE 沿 BE 翻折得到△A'BE,使得点 A'落在直线 BC 上,则 AE 的长度为(
A.1.5
B.2
C.2.5
D.3
C
).A.1.5
B.2
C.2.5
D.3
答案：1.C [解析]在Rt△ACB中,
由勾股定理可得AC= $\sqrt{AB²−BC²}$ = $\sqrt{5²−3²}$ =4,
设AE=x,则CE=4−x,
由折叠的性质可得A'B=AB=5,A'E=AE=x,
∴CA'=BA'−BC=5−3=2.
∵CA'²+CE²=A'E²,
∴2²+(4−x)²=x²,
∴x=2.5.故选C.
由勾股定理可得AC= $\sqrt{AB²−BC²}$ = $\sqrt{5²−3²}$ =4,
设AE=x,则CE=4−x,
由折叠的性质可得A'B=AB=5,A'E=AE=x,
∴CA'=BA'−BC=5−3=2.
∵CA'²+CE²=A'E²,
∴2²+(4−x)²=x²,
∴x=2.5.故选C.
2. 如图,在长方形 ABCD 中,BC= 6,CD= 3,将△BCD 沿对角线 BD 翻折,点 C 落在点 C'处,BC'交 AD 于点 E,则线段 DE 的长为(
A.3
B.$\frac{15}{4}$
C.5
D.$\frac{15}{2}$
B
).A.3
B.$\frac{15}{4}$
C.5
D.$\frac{15}{2}$
答案：2.B [解析]设ED=x,则AE=6−x,
∵四边形ABCD为长方形，
∴AD//BC,
∴∠EDB=∠DBC.
由折叠的性质,得∠EBD=∠DBC,
∴∠EDB=∠EBD,
∴EB=ED=x.
在Rt△BAE中,由勾股定理,得BE²=AB²+AE²,即x²=9+(6−x)²,解得x=$\frac{15}{4}$.
∴ED=$\frac{15}{4}$.故选B.
∵四边形ABCD为长方形，
∴AD//BC,
∴∠EDB=∠DBC.
由折叠的性质,得∠EBD=∠DBC,
∴∠EDB=∠EBD,
∴EB=ED=x.
在Rt△BAE中,由勾股定理,得BE²=AB²+AE²,即x²=9+(6−x)²,解得x=$\frac{15}{4}$.
∴ED=$\frac{15}{4}$.故选B.
3. 某班开展了手工制作竞赛,每个同学都在规定时间内完成一件手工作品.小莉同学制作手工作品的步骤是:
①如图,先裁下了一张长 BC= 20 cm,宽 AB= 16 cm 的长方形纸片 ABCD;
②将纸片沿着直线 AE 折叠,点 D 恰好落在边 BC 上的点 F 处.
请你根据①②步骤解答下列问题:计算 FC,EF 的长.
①如图,先裁下了一张长 BC= 20 cm,宽 AB= 16 cm 的长方形纸片 ABCD;
②将纸片沿着直线 AE 折叠,点 D 恰好落在边 BC 上的点 F 处.
请你根据①②步骤解答下列问题:计算 FC,EF 的长.
答案：3.由折叠的性质,得△ADE≌△AFE,
所以DE=FE,AD=AF.
因为BC=20cm,AB=16cm,
所以CD=16cm,AD=AF=20cm.
在Rt△ABF中,由勾股定理,得BF²=AF²−AB²=20²−16²=144,即BF=12cm,所以CF=BC−BF=20−12=8(cm).
因为四边形ABCD是长方形,所以∠C=90°.
设EF=DE=xcm,则CE=(16−x)cm,
在Rt△CEF中,由勾股定理,得(16−x)²+64=x²,解得x=10,所以EF=10cm.
故FC=8cm,EF=10cm.
所以DE=FE,AD=AF.
因为BC=20cm,AB=16cm,
所以CD=16cm,AD=AF=20cm.
在Rt△ABF中,由勾股定理,得BF²=AF²−AB²=20²−16²=144,即BF=12cm,所以CF=BC−BF=20−12=8(cm).
因为四边形ABCD是长方形,所以∠C=90°.
设EF=DE=xcm,则CE=(16−x)cm,
在Rt△CEF中,由勾股定理,得(16−x)²+64=x²,解得x=10,所以EF=10cm.
故FC=8cm,EF=10cm.
4. (2025·无锡江阴期中)如图,长方体的底面边长分别为 3 cm 和 9 cm,高为 7 cm.若一只蚂蚁从 P 点开始经过 4 个侧面爬行一圈到达 Q 点,则蚂蚁爬行的最短路径长为( ).
A.20 cm
B.22 cm
C.24 cm
D.25 cm
A.20 cm
B.22 cm
C.24 cm
D.25 cm
答案：
4.D [解析]如图所示.
∵长方体的底面边长分别为9cm和3cm，高为7cm,
∴PA=9+9+3+3=24(cm),QA=7cm,
∴PQ= $\sqrt{PA²+AQ²}$ = $\sqrt{24²+7²}$ =25(cm).
∴蚂蚁爬行的最短路径长为25cm.故选D.
4.D [解析]如图所示.
∵长方体的底面边长分别为9cm和3cm，高为7cm,
∴PA=9+9+3+3=24(cm),QA=7cm,
∴PQ= $\sqrt{PA²+AQ²}$ = $\sqrt{24²+7²}$ =25(cm).
∴蚂蚁爬行的最短路径长为25cm.故选D.
5. 如图,圆柱形玻璃杯高为 12 cm,底面周长为 18 cm,在杯内离杯底 4 cm 的点 C 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿 4 cm 与蜂蜜相对的点 A 处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为
15
cm.答案：5.15
解析：
将圆柱侧面展开，得到一个长方形，长方形的长为底面周长$18\,cm$，宽为圆柱的高$12\,cm$。
点$A$在杯外壁离上沿$4\,cm$处，其对称点$A'$在杯内壁离上沿$4\,cm$处，此时$A'$到上沿的距离为$4\,cm$，则$A'$到底面的距离为$12 - 4=8\,cm$。
点$C$在杯内离杯底$4\,cm$处，所以$A'$与$C$在竖直方向上的距离为$8 - 4=4\,cm$，水平方向上的距离为底面周长的一半$\frac{18}{2}=9\,cm$。
根据勾股定理，蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为$\sqrt{9^{2}+12^{2}} = 15\,cm$。
15
点$A$在杯外壁离上沿$4\,cm$处，其对称点$A'$在杯内壁离上沿$4\,cm$处，此时$A'$到上沿的距离为$4\,cm$，则$A'$到底面的距离为$12 - 4=8\,cm$。
点$C$在杯内离杯底$4\,cm$处，所以$A'$与$C$在竖直方向上的距离为$8 - 4=4\,cm$，水平方向上的距离为底面周长的一半$\frac{18}{2}=9\,cm$。
根据勾股定理，蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为$\sqrt{9^{2}+12^{2}} = 15\,cm$。
15
6. 新情境 用彩带装饰礼盒 一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒.长方体高 6 cm,底面是边长为 4 cm 的正方形,从顶点 A 到顶点 C'如何贴彩带用的彩带最短? 最短长度是多少厘米?
答案：
6.如图，把长方体的面DCC'D'沿棱CD展开至面ABCD上,构成长方形ABC'D',则点A到点C'的最短距离为AC'的长度,连接AC'交DC于点O,易证△AOD≌△C'OC.
∴OD=OC,即O为DC的中点
在Rt△AD'C'中,由勾股定理,得AC'²=AD'²+D'C'²=8²+6²=100,
∴AC'=10cm.即从顶点A沿直线到DC的中点O,再沿直线到顶点C',所用的彩带最短，最短长度为10cm.
6.如图，把长方体的面DCC'D'沿棱CD展开至面ABCD上,构成长方形ABC'D',则点A到点C'的最短距离为AC'的长度,连接AC'交DC于点O,易证△AOD≌△C'OC.
∴OD=OC,即O为DC的中点
在Rt△AD'C'中,由勾股定理,得AC'²=AD'²+D'C'²=8²+6²=100,
∴AC'=10cm.即从顶点A沿直线到DC的中点O,再沿直线到顶点C',所用的彩带最短，最短长度为10cm.