【例1】(第七届“学用杯”全国数学知识应用竞赛初赛)如图所示的徽标,是我国古代弦图的变形,该图是由其中的一个Rt△ABC绕中心点O顺时针连续旋转3次,每次旋转90°得到的,如果中间小正方形的面积为1cm^2,这个图形的总面积为113cm^2,且AD= 2cm,请问徽标的外围周长为______
解析：设Rt△ABC的较长直角边为a,较短直角边为b,斜边为c。
依题意,得a - b= 3,$\frac{1}{2}ab= \frac{113 - 1}{4}$。
又由勾股定理,得$c^2= a^2 + b^2= (a - b)^2 + 2ab= 3^2 + 112= 121$,
所以c= 11cm。
所以徽标的外围周长= 4×(11 + 2)= 52(cm)。
答案：52
52
cm。解析：设Rt△ABC的较长直角边为a,较短直角边为b,斜边为c。
依题意,得a - b= 3,$\frac{1}{2}ab= \frac{113 - 1}{4}$。
又由勾股定理,得$c^2= a^2 + b^2= (a - b)^2 + 2ab= 3^2 + 112= 121$,
所以c= 11cm。
所以徽标的外围周长= 4×(11 + 2)= 52(cm)。
答案：52
答案：【解析】：本题可先根据中间小正方形的面积得出边长，进而得到$a - b$的值，再结合图形总面积求出$\frac{1}{2}ab$的值，最后利用勾股定理求出斜边$c$的值，从而计算出徽标的外围周长。
1. 求$a - b$的值：
已知中间小正方形的面积为$1cm^2$，根据正方形面积公式$S = 边长×边长$，可得中间小正方形的边长为$1cm$，由图可知$AD$的长度等于较长直角边$a$减去较短直角边$b$，即$a - b = AD = 2 + 1 = 3cm$。
2. 求$\frac{1}{2}ab$的值：
已知该图形的总面积为$113cm^2$，中间小正方形面积为$1cm^2$，那么四个直角三角形的面积之和为$113 - 1 = 112cm^2$，所以一个直角三角形的面积为$\frac{113 - 1}{4}cm^2$，又因为直角三角形面积公式为$S = \frac{1}{2}ab$，所以$\frac{1}{2}ab = \frac{113 - 1}{4}$。
3. 求斜边$c$的值：
根据勾股定理$c^2 = a^2 + b^2$，而$a^2 + b^2$可变形为$(a - b)^2 + 2ab$，将$a - b = 3$，$\frac{1}{2}ab = \frac{113 - 1}{4}$代入可得：
$c^2 = (a - b)^2 + 2ab = 3^2 + 112 = 121$，
因为$c$为三角形的边长，即$c\gt0$，所以对$c^2 = 121$两边同时开平方可得$c = 11cm$。
4. 计算徽标的外围周长：
观察图形可知，徽标的外围由$4$条长度为$c$的线段和$4$条长度为$AD$的线段组成，已知$c = 11cm$，$AD = 2cm$，所以徽标的外围周长为$4×(11 + 2) = 52cm$。
【答案】：52
1. 求$a - b$的值：
已知中间小正方形的面积为$1cm^2$，根据正方形面积公式$S = 边长×边长$，可得中间小正方形的边长为$1cm$，由图可知$AD$的长度等于较长直角边$a$减去较短直角边$b$，即$a - b = AD = 2 + 1 = 3cm$。
2. 求$\frac{1}{2}ab$的值：
已知该图形的总面积为$113cm^2$，中间小正方形面积为$1cm^2$，那么四个直角三角形的面积之和为$113 - 1 = 112cm^2$，所以一个直角三角形的面积为$\frac{113 - 1}{4}cm^2$，又因为直角三角形面积公式为$S = \frac{1}{2}ab$，所以$\frac{1}{2}ab = \frac{113 - 1}{4}$。
3. 求斜边$c$的值：
根据勾股定理$c^2 = a^2 + b^2$，而$a^2 + b^2$可变形为$(a - b)^2 + 2ab$，将$a - b = 3$，$\frac{1}{2}ab = \frac{113 - 1}{4}$代入可得：
$c^2 = (a - b)^2 + 2ab = 3^2 + 112 = 121$，
因为$c$为三角形的边长，即$c\gt0$，所以对$c^2 = 121$两边同时开平方可得$c = 11cm$。
4. 计算徽标的外围周长：
观察图形可知，徽标的外围由$4$条长度为$c$的线段和$4$条长度为$AD$的线段组成，已知$c = 11cm$，$AD = 2cm$，所以徽标的外围周长为$4×(11 + 2) = 52cm$。
【答案】：52
【例2】(第二十一届省初中数学竞赛)一个直角三角形三边的长a,b,c都是整数,且满足a ＜ b ＜ c,a + c= 49,则这个直角三角形的面积为______
210
。答案：解：∵直角三角形三边的长a,b,c都是整数，且满足a ＜ b ＜ c，a + c= 49，
∴由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2$，
$a^2 + b^2 = (49 - a)^2$，
展开得$a^2 + b^2 = 2401 - 98a + a^2$，
化简得$b^2 = 2401 - 98a = 49×(49 - 2a)$。
∵b为整数，∴49 - 2a必为完全平方数，设$49 - 2a = k^2$（k为正整数），
则$k^2$的值可能为1,4,9,16,25,36，
当$k^2 = 1$时，49 - 2a = 1，解得a=24，c=49 - 24=25，此时b²=49×1=49，b=7，∵24＜7不成立，舍去；
当$k^2 = 4$时，49 - 2a = 4，解得a=22.5，不是整数，舍去；
当$k^2 = 9$时，49 - 2a = 9，解得a=20，c=49 - 20=29，b²=49×9=441，b=21，∵20＜21＜29，成立；
当$k^2 = 16$时，49 - 2a = 16，解得a=16.5，不是整数，舍去；
当$k^2 = 25$时，49 - 2a = 25，解得a=12，c=49 - 12=37，b²=49×25=1225，b=35，∵12＜35＜37，成立；
当$k^2 = 36$时，49 - 2a = 36，解得a=6.5，不是整数，舍去。
综上，a=20,b=21,c=29或a=12,b=35,c=37，
面积为$\frac{1}{2}×20×21=210$或$\frac{1}{2}×12×35=210$。
答：这个直角三角形的面积为210。
∴由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2$，
$a^2 + b^2 = (49 - a)^2$，
展开得$a^2 + b^2 = 2401 - 98a + a^2$，
化简得$b^2 = 2401 - 98a = 49×(49 - 2a)$。
∵b为整数，∴49 - 2a必为完全平方数，设$49 - 2a = k^2$（k为正整数），
则$k^2$的值可能为1,4,9,16,25,36，
当$k^2 = 1$时，49 - 2a = 1，解得a=24，c=49 - 24=25，此时b²=49×1=49，b=7，∵24＜7不成立，舍去；
当$k^2 = 4$时，49 - 2a = 4，解得a=22.5，不是整数，舍去；
当$k^2 = 9$时，49 - 2a = 9，解得a=20，c=49 - 20=29，b²=49×9=441，b=21，∵20＜21＜29，成立；
当$k^2 = 16$时，49 - 2a = 16，解得a=16.5，不是整数，舍去；
当$k^2 = 25$时，49 - 2a = 25，解得a=12，c=49 - 12=37，b²=49×25=1225，b=35，∵12＜35＜37，成立；
当$k^2 = 36$时，49 - 2a = 36，解得a=6.5，不是整数，舍去。
综上，a=20,b=21,c=29或a=12,b=35,c=37，
面积为$\frac{1}{2}×20×21=210$或$\frac{1}{2}×12×35=210$。
答：这个直角三角形的面积为210。
1.(“学用杯”全国数学知识应用竞赛初赛)为了美化环境,净化城市的天空,某市要将建在西里(城中村)的一座高50m的烟囱拆除,由于烟囱附近的房子密集,拆除只能采取分段拆除,若烟囱折断时,顶端下来正好砸在距烟囱底部10m的地方最安全,那么按以上要求该烟囱应从底部向上
24
m处折断。答案：1. 24 [解析]设应从底部向上x米处折断,则另外两边分别为(50-x)米,10米,由勾股定理,得$10^{2}+x^{2}=(50-x)^{2}$,解得x=24.故烟囱应从底部向上24米处折断.
解析：
设应从底部向上$x$米处折断，则折断部分长度为$(50 - x)$米。由勾股定理，得$10^{2} + x^{2} = (50 - x)^{2}$，展开等式右边：$2500 - 100x + x^{2}$，则方程为$100 + x^{2} = 2500 - 100x + x^{2}$，移项化简得$100x = 2400$，解得$x = 24$。
24
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2.(时代学习报数学文化复赛)如图(1)是一面长方形彩旗完全展平时的示意图(单位:cm),其中长方形ABCD是由白布缝制的穿旗杆用的旗裤,阴影部分CDEF为长方形绸缎旗面,如图(2),将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上,旗杆顶端到地面的高度为220cm,在无风的天气里,求彩旗自然下垂时最低处离地面的高度h。
答案：
2. 如图,连接DF.
在Rt△DEF中,
∵EF=90cm,ED=120cm,
∴$DF^{2}=EF^{2}+DE^{2}=90^{2}+120^{2}=22500$,
∴DF=150cm,
∴h=220-150=70(cm).故在无风的天气里,彩旗自然下垂时最低处离地面的高度h为70cm.
2. 如图,连接DF.
在Rt△DEF中,
∵EF=90cm,ED=120cm,
∴$DF^{2}=EF^{2}+DE^{2}=90^{2}+120^{2}=22500$,
∴DF=150cm,
∴h=220-150=70(cm).故在无风的天气里,彩旗自然下垂时最低处离地面的高度h为70cm.