1. 《九章算术》是中国古代的一部数学专著,其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海,七日至北海；雁起北海,九日至南海. 今凫雁俱起,问何日相逢?”大意是：今有野鸭从南海起飞,7天到北海；大雁从北海起飞,9天到南海. 现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞,问经过多少天相遇?设经过x天相遇,根据题意可列方程为(
A.$(\frac {1}{7}+\frac {1}{9})x= 1$
B.$(\frac {1}{7}-\frac {1}{9})x= 1$
C.$(9-7)x= 1$
D.$(9+7)x= 1$
A
)A.$(\frac {1}{7}+\frac {1}{9})x= 1$
B.$(\frac {1}{7}-\frac {1}{9})x= 1$
C.$(9-7)x= 1$
D.$(9+7)x= 1$
答案：A
解析：
设经过$x$天相遇。
将南海到北海的路程看作单位“1”，野鸭的速度为$\frac{1}{7}$，大雁的速度为$\frac{1}{9}$。
根据相遇时两者路程之和等于总路程，可列方程：$(\frac{1}{7} + \frac{1}{9})x = 1$。
答案：A
将南海到北海的路程看作单位“1”，野鸭的速度为$\frac{1}{7}$，大雁的速度为$\frac{1}{9}$。
根据相遇时两者路程之和等于总路程，可列方程：$(\frac{1}{7} + \frac{1}{9})x = 1$。
答案：A
2. 一项工程,甲单独做需10天完成,乙单独做需6天完成,现由甲先做2天,乙再加入合作,完成这项工程共需(
A.3天
B.4天
C.5天
D.6天
C
)A.3天
B.4天
C.5天
D.6天
答案：C
解析：
解：设完成这项工程共需$x$天。
甲的工作效率为$\frac{1}{10}$，乙的工作效率为$\frac{1}{6}$。
甲先做2天，完成的工作量为$\frac{1}{10} × 2$；
甲乙合作$(x-2)$天，完成的工作量为$(\frac{1}{10} + \frac{1}{6})(x-2)$。
依题意列方程：
$\frac{1}{10} × 2 + (\frac{1}{10} + \frac{1}{6})(x - 2) = 1$
化简得：$\frac{1}{5} + (\frac{3}{30} + \frac{5}{30})(x - 2) = 1$
$\frac{1}{5} + \frac{8}{30}(x - 2) = 1$
$\frac{8}{30}(x - 2) = \frac{4}{5}$
$x - 2 = 3$
$x = 5$
C
甲的工作效率为$\frac{1}{10}$，乙的工作效率为$\frac{1}{6}$。
甲先做2天，完成的工作量为$\frac{1}{10} × 2$；
甲乙合作$(x-2)$天，完成的工作量为$(\frac{1}{10} + \frac{1}{6})(x-2)$。
依题意列方程：
$\frac{1}{10} × 2 + (\frac{1}{10} + \frac{1}{6})(x - 2) = 1$
化简得：$\frac{1}{5} + (\frac{3}{30} + \frac{5}{30})(x - 2) = 1$
$\frac{1}{5} + \frac{8}{30}(x - 2) = 1$
$\frac{8}{30}(x - 2) = \frac{4}{5}$
$x - 2 = 3$
$x = 5$
C
3. 一条山洞长500m,甲、乙两个工程队从两头同时施工,甲队每天钻山洞15m,20天后甲、乙两队会合,则乙队每天钻山洞
10
m.答案：10
解析：
解：设乙队每天钻山洞$x$米。
根据题意，得$20×(15 + x)=500$
解得$x = 10$
10
根据题意，得$20×(15 + x)=500$
解得$x = 10$
10
4. 甲每天做10个零件,乙每天做16个零件,甲做了30个零件后,乙才开始做,则乙工作
5
天后两人所做的零件一样多.答案：5
解析：
解：设乙工作$x$天后两人所做的零件一样多。
甲先做了30个零件，之后又做了$10x$个零件，所以甲一共做了$30 + 10x$个零件。
乙每天做16个零件，$x$天做了$16x$个零件。
根据两人所做零件一样多，可列方程：$30 + 10x = 16x$
解方程得：$16x - 10x = 30$，$6x = 30$，$x = 5$
5
甲先做了30个零件，之后又做了$10x$个零件，所以甲一共做了$30 + 10x$个零件。
乙每天做16个零件，$x$天做了$16x$个零件。
根据两人所做零件一样多，可列方程：$30 + 10x = 16x$
解方程得：$16x - 10x = 30$，$6x = 30$，$x = 5$
5
5. 为了进一步缓解交通拥堵,某市决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨,为使工程能提前3个月完成,需要将原定的工作效率提高12%,问原计划完成这项工程用多少个月?
答案：解:设原计划完成这项工程用 x 个月,则实际用$(x - 3)$个月,记原工作效率为 1,根据题意,得$1\cdot x=(1 + 12\%)(x - 3)$,解得$x = 28$.
答:原计划完成这项工程用 28 个月.
答:原计划完成这项工程用 28 个月.
6. 有一个水池,只打开进水管,2h可把空水池注满；只打开出水管,3h可把满池水放空. 若两管同时打开,则把空水池注满到水池的$\frac {5}{6}$需要的时间是(
A.3h
B.4h
C.5h
D.6h
C
)A.3h
B.4h
C.5h
D.6h
答案：C
解析：
解：设水池总量为1，进水管效率为$\frac{1}{2}$/h，出水管效率为$\frac{1}{3}$/h。
两管同时打开，净效率为$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$/h。
设注满到$\frac{5}{6}$需要时间为$t$h，可得$\frac{1}{6}t=\frac{5}{6}$，解得$t=5$。
答案：C
两管同时打开，净效率为$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$/h。
设注满到$\frac{5}{6}$需要时间为$t$h，可得$\frac{1}{6}t=\frac{5}{6}$，解得$t=5$。
答案：C
7. 一项工程,A单独做10天完成,B单独做15天完成,若A先做5天,A,B再一起做,共完成全部工程的$\frac {2}{3}$,剩下的由B单独完成,则完成这项工程共耗时(
A.8天
B.7天
C.6天
D.11天
D
)A.8天
B.7天
C.6天
D.11天
答案：D
解析：
解：设总工程量为1，A的工作效率为$\frac{1}{10}$，B的工作效率为$\frac{1}{15}$。
A先做5天的工作量：$5×\frac{1}{10}=\frac{1}{2}$。
设A、B一起做$x$天，完成全部工程的$\frac{2}{3}$，则：
$\frac{1}{2}+(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})x=\frac{2}{3}$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}x=\frac{2}{3}$
$\frac{1}{6}x=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$
$x=1$
此时已耗时：$5+1=6$天，剩余工程量：$1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$。
剩下由B单独完成需：$\frac{1}{3}÷\frac{1}{15}=5$天。
总耗时：$6+5=11$天。
答案：D
A先做5天的工作量：$5×\frac{1}{10}=\frac{1}{2}$。
设A、B一起做$x$天，完成全部工程的$\frac{2}{3}$，则：
$\frac{1}{2}+(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})x=\frac{2}{3}$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}x=\frac{2}{3}$
$\frac{1}{6}x=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$
$x=1$
此时已耗时：$5+1=6$天，剩余工程量：$1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$。
剩下由B单独完成需：$\frac{1}{3}÷\frac{1}{15}=5$天。
总耗时：$6+5=11$天。
答案：D
8. 有9人用14天完成了一件工作的$\frac {3}{5}$,而剩下的工作要在4天内完成,则需增加的人数是(
A.12
B.11
C.10
D.8
A
)A.12
B.11
C.10
D.8
答案：A
解析：
解：设每人每天的工作量为1。
1. 9人14天的总工作量：$9×14×1 = 126$，对应工作总量的$\frac{3}{5}$，则工作总量为$126÷\frac{3}{5} = 210$。
2. 剩余工作量：$210 - 126 = 84$。
3. 设需增加$x$人，剩下工作需在4天内完成，可得$(9 + x)×4×1 = 84$，解得$x = 12$。
答案：A
1. 9人14天的总工作量：$9×14×1 = 126$，对应工作总量的$\frac{3}{5}$，则工作总量为$126÷\frac{3}{5} = 210$。
2. 剩余工作量：$210 - 126 = 84$。
3. 设需增加$x$人，剩下工作需在4天内完成，可得$(9 + x)×4×1 = 84$，解得$x = 12$。
答案：A