7. 已知点$A$，$B$，$C$在同一条直线上，若$AC = 8$，$BC = 6$，$D$是$AC$的中点，则$BD$的长为
10 或 2
。答案：10 或 2
解析：
解：
情况一：点B在AC的延长线上
∵D是AC的中点，AC=8
∴CD=AC/2=4
∴BD=CD+BC=4+6=10
情况二：点B在AC上
∵D是AC的中点，AC=8
∴CD=AC/2=4
∵BC=6，AC=8，6＜8
∴点B在AC上且靠近C点
∴BD=BC-CD=6-4=2
综上，BD的长为10或2。
情况一：点B在AC的延长线上
∵D是AC的中点，AC=8
∴CD=AC/2=4
∴BD=CD+BC=4+6=10
情况二：点B在AC上
∵D是AC的中点，AC=8
∴CD=AC/2=4
∵BC=6，AC=8，6＜8
∴点B在AC上且靠近C点
∴BD=BC-CD=6-4=2
综上，BD的长为10或2。
8. 如图，$∠AOB = 150^{\circ}$，$∠COD = 40^{\circ}$，$OE$平分$∠AOC$，则$2∠BOE - ∠BOD =$
$110^{\circ}$
。答案：$ 110^{\circ} $
解析：
设∠BOC = x，
∵∠AOB = 150°，
∴∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 150° - x，
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE = 1/2∠AOC = 1/2(150° - x) = 75° - x/2，
∵∠COD = 40°，
∴∠BOD = ∠COD - ∠BOC = 40° - x，
∠BOE = ∠COE + ∠BOC = 75° - x/2 + x = 75° + x/2，
2∠BOE - ∠BOD = 2(75° + x/2) - (40° - x) = 150° + x - 40° + x = 110° + 2x - x = 110°。
110°
∵∠AOB = 150°，
∴∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 150° - x，
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE = 1/2∠AOC = 1/2(150° - x) = 75° - x/2，
∵∠COD = 40°，
∴∠BOD = ∠COD - ∠BOC = 40° - x，
∠BOE = ∠COE + ∠BOC = 75° - x/2 + x = 75° + x/2，
2∠BOE - ∠BOD = 2(75° + x/2) - (40° - x) = 150° + x - 40° + x = 110° + 2x - x = 110°。
110°
9. 如图，如果$∠1 = ∠EDF$，那么可得
AB
$//$DF
；如果$∠2 = ∠EDF$，那么可得BC
$//$ED
。答案：AB DF BC ED
解析：
如果$∠1 = ∠EDF$，那么可得$AB// DF$；如果$∠2 = ∠EDF$，那么可得$BC// ED$。
10. 如图，以$O$为端点画六条射线$OA$，$OB$，$OC$，$OD$，$OE$，$OF$，再从射线$OA$上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线上所描的点依次记为$1$，$2$，$3$，$4$，$5$，$6$，$7$，$8$，$\cdots$，那么所描的第$2025$个点在射线
OC
上。答案：OC
解析：
解：由题意可知，点的序号按逆时针方向在六条射线上循环排列，周期为6。
计算 $2025 ÷ 6$，得商为337，余数为3。
因为余数为3，所以第2025个点与第3个点在同一条射线上。
由图可知，第3个点在射线OC上。
故第2025个点在射线OC上。
OC
计算 $2025 ÷ 6$，得商为337，余数为3。
因为余数为3，所以第2025个点与第3个点在同一条射线上。
由图可知，第3个点在射线OC上。
故第2025个点在射线OC上。
OC
11.（25分）如图，$AB// CD$，$EF$，$CG$分别是$∠AEC$，$∠ECD$的平分线。试说明：$EF// CG$。
答案：解: 因为 $ AB // CD $ (已知),
所以 $ \angle AEC = \angle DCE $ (两直线平行, 内错角相等).
又因为 EF 平分 $ \angle AEC $ (已知),
所以 $ \angle FEC = \frac{1}{2} \angle AEC $ (角平分线的定义).
同理 $ \angle ECG = \frac{1}{2} \angle ECD $,
所以 $ \angle FEC = \angle ECG $ (等量代换),
所以 $ EF // CG $ (内错角相等, 两直线平行).
所以 $ \angle AEC = \angle DCE $ (两直线平行, 内错角相等).
又因为 EF 平分 $ \angle AEC $ (已知),
所以 $ \angle FEC = \frac{1}{2} \angle AEC $ (角平分线的定义).
同理 $ \angle ECG = \frac{1}{2} \angle ECD $,
所以 $ \angle FEC = \angle ECG $ (等量代换),
所以 $ EF // CG $ (内错角相等, 两直线平行).
12.（25分）如图，$∠MON = 140^{\circ}$，$∠AOC$与$∠BOC$互余，$OC$平分$∠MOB$。
（1）在图①中，若$∠AOC = 40^{\circ}$，则$∠BOC =$
（2）在图①中，设$∠AOC = \alpha$，$∠BON = \beta$，请探究$\alpha$与$\beta$之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）中的条件不变的前提下，$∠AOB$绕着点$O$顺时针转动到如图②的位置，此时（2）中$\alpha$与$\beta$之间的数量关系是否还成立？请说明理由。
（1）在图①中，若$∠AOC = 40^{\circ}$，则$∠BOC =$
$50^{\circ}$
，$∠NOB =$$40^{\circ}$
；（2）在图①中，设$∠AOC = \alpha$，$∠BON = \beta$，请探究$\alpha$与$\beta$之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）中的条件不变的前提下，$∠AOB$绕着点$O$顺时针转动到如图②的位置，此时（2）中$\alpha$与$\beta$之间的数量关系是否还成立？请说明理由。
（2）解: $ \beta = 2\alpha - 40^{\circ} $, 理由如下:
因为 $ \angle AOC = \alpha $, $ \angle AOC $ 与 $ \angle BOC $ 互余,
所以 $ \angle BOC = 90^{\circ} - \alpha $.
因为 OC 平分 $ \angle MOB $,
所以 $ \angle MOB = 2 \angle BOC = 2(90^{\circ} - \alpha) = 180^{\circ} - 2\alpha $.
又因为 $ \angle MON = \angle BOM + \angle BON $, $ \angle BON = \beta $,
所以 $ 140^{\circ} = 180^{\circ} - 2\alpha + \beta $, 即 $ \beta = 2\alpha - 40^{\circ} $.
（3）解: 不成立, 此时 $ \alpha $ 与 $ \beta $ 之间的数量关系为 $ 2\alpha + \beta = 40^{\circ} $.
理由: 因为 $ \angle AOC = \alpha $, $ \angle AOC $ 与 $ \angle BOC $ 互余,
所以 $ \angle BOC = 90^{\circ} - \alpha $.
因为 OC 平分 $ \angle MOB $,
所以 $ \angle MOB = 2 \angle BOC = 2(90^{\circ} - \alpha) = 180^{\circ} - 2\alpha $.
因为 $ \angle BOM = \angle MON + \angle BON $, $ \angle BON = \beta $,
所以 $ 180^{\circ} - 2\alpha = 140^{\circ} + \beta $, 即 $ 2\alpha + \beta = 40^{\circ} $.
因为 $ \angle AOC = \alpha $, $ \angle AOC $ 与 $ \angle BOC $ 互余,
所以 $ \angle BOC = 90^{\circ} - \alpha $.
因为 OC 平分 $ \angle MOB $,
所以 $ \angle MOB = 2 \angle BOC = 2(90^{\circ} - \alpha) = 180^{\circ} - 2\alpha $.
又因为 $ \angle MON = \angle BOM + \angle BON $, $ \angle BON = \beta $,
所以 $ 140^{\circ} = 180^{\circ} - 2\alpha + \beta $, 即 $ \beta = 2\alpha - 40^{\circ} $.
（3）解: 不成立, 此时 $ \alpha $ 与 $ \beta $ 之间的数量关系为 $ 2\alpha + \beta = 40^{\circ} $.
理由: 因为 $ \angle AOC = \alpha $, $ \angle AOC $ 与 $ \angle BOC $ 互余,
所以 $ \angle BOC = 90^{\circ} - \alpha $.
因为 OC 平分 $ \angle MOB $,
所以 $ \angle MOB = 2 \angle BOC = 2(90^{\circ} - \alpha) = 180^{\circ} - 2\alpha $.
因为 $ \angle BOM = \angle MON + \angle BON $, $ \angle BON = \beta $,
所以 $ 180^{\circ} - 2\alpha = 140^{\circ} + \beta $, 即 $ 2\alpha + \beta = 40^{\circ} $.
答案：(1) $ 50^{\circ} $ $ 40^{\circ} $
(2) 解: $ \beta = 2\alpha - 40^{\circ} $, 理由如下:
因为 $ \angle AOC = \alpha $, $ \angle AOC $ 与 $ \angle BOC $ 互余,
所以 $ \angle BOC = 90^{\circ} - \alpha $.
因为 OC 平分 $ \angle MOB $,
所以 $ \angle MOB = 2 \angle BOC = 2(90^{\circ} - \alpha) = 180^{\circ} - 2\alpha $.
又因为 $ \angle MON = \angle BOM + \angle BON $, $ \angle BON = \beta $,
所以 $ 140^{\circ} = 180^{\circ} - 2\alpha + \beta $, 即 $ \beta = 2\alpha - 40^{\circ} $.
(3) 解: 不成立, 此时 $ \alpha $ 与 $ \beta $ 之间的数量关系为 $ 2\alpha + \beta = 40^{\circ} $.
理由: 因为 $ \angle AOC = \alpha $, $ \angle AOC $ 与 $ \angle BOC $ 互余,
所以 $ \angle BOC = 90^{\circ} - \alpha $.
因为 OC 平分 $ \angle MOB $,
所以 $ \angle MOB = 2 \angle BOC = 2(90^{\circ} - \alpha) = 180^{\circ} - 2\alpha $.
因为 $ \angle BOM = \angle MON + \angle BON $, $ \angle BON = \beta $,
所以 $ 180^{\circ} - 2\alpha = 140^{\circ} + \beta $, 即 $ 2\alpha + \beta = 40^{\circ} $.
(2) 解: $ \beta = 2\alpha - 40^{\circ} $, 理由如下:
因为 $ \angle AOC = \alpha $, $ \angle AOC $ 与 $ \angle BOC $ 互余,
所以 $ \angle BOC = 90^{\circ} - \alpha $.
因为 OC 平分 $ \angle MOB $,
所以 $ \angle MOB = 2 \angle BOC = 2(90^{\circ} - \alpha) = 180^{\circ} - 2\alpha $.
又因为 $ \angle MON = \angle BOM + \angle BON $, $ \angle BON = \beta $,
所以 $ 140^{\circ} = 180^{\circ} - 2\alpha + \beta $, 即 $ \beta = 2\alpha - 40^{\circ} $.
(3) 解: 不成立, 此时 $ \alpha $ 与 $ \beta $ 之间的数量关系为 $ 2\alpha + \beta = 40^{\circ} $.
理由: 因为 $ \angle AOC = \alpha $, $ \angle AOC $ 与 $ \angle BOC $ 互余,
所以 $ \angle BOC = 90^{\circ} - \alpha $.
因为 OC 平分 $ \angle MOB $,
所以 $ \angle MOB = 2 \angle BOC = 2(90^{\circ} - \alpha) = 180^{\circ} - 2\alpha $.
因为 $ \angle BOM = \angle MON + \angle BON $, $ \angle BON = \beta $,
所以 $ 180^{\circ} - 2\alpha = 140^{\circ} + \beta $, 即 $ 2\alpha + \beta = 40^{\circ} $.