8. 若x是不等于1的数,我们把$\frac {1}{1-x}$称为x的差倒数,如2的差倒数是$\frac {1}{1-2}= -1,-1$的差倒数是$\frac {1}{1-(-1)}= \frac {1}{2}.$已知$x_{1}= -\frac {1}{3},x_{2}$是x_{1}的差倒数,x_{3}是x_{2}的差倒数,x_{4}是x_{3}的差倒数,…,依此类推,则x_{2025}=
4
.答案：4
解析：
解：由题意得，
$x_{1}=-\frac{1}{3}$，
$x_{2}=\frac{1}{1 - (-\frac{1}{3})}=\frac{3}{4}$，
$x_{3}=\frac{1}{1 - \frac{3}{4}}=4$，
$x_{4}=\frac{1}{1 - 4}=-\frac{1}{3}$，
$\cdots$
可发现该数列以$-\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$，4 为周期循环，周期为 3。
因为$2025÷3 = 675$，余数为 0，
所以$x_{2025}=x_{3}=4$。
4
$x_{1}=-\frac{1}{3}$，
$x_{2}=\frac{1}{1 - (-\frac{1}{3})}=\frac{3}{4}$，
$x_{3}=\frac{1}{1 - \frac{3}{4}}=4$，
$x_{4}=\frac{1}{1 - 4}=-\frac{1}{3}$，
$\cdots$
可发现该数列以$-\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$，4 为周期循环，周期为 3。
因为$2025÷3 = 675$，余数为 0，
所以$x_{2025}=x_{3}=4$。
4
9. 计算:
(1)$-5+8÷(-2)^{2}+(\frac {1}{2^{3}}+\frac {1}{4}-\frac {1}{2})×(-16)$; (2)$99\frac {16}{17}×(-17)$;
(3)$-|8×(-2)^{3}|-[(-\frac {1}{2})^{4}×16]^{3}$; (4)$(\frac {3}{5}-\frac {1}{2}-\frac {7}{12})×(60×\frac {1}{7}-60×\frac {3}{7}-60×\frac {5}{7})$.
(1)$-5+8÷(-2)^{2}+(\frac {1}{2^{3}}+\frac {1}{4}-\frac {1}{2})×(-16)$; (2)$99\frac {16}{17}×(-17)$;
(3)$-|8×(-2)^{3}|-[(-\frac {1}{2})^{4}×16]^{3}$; (4)$(\frac {3}{5}-\frac {1}{2}-\frac {7}{12})×(60×\frac {1}{7}-60×\frac {3}{7}-60×\frac {5}{7})$.
答案：解: (1)原式$=-5+8÷4+\frac{1}{8}×(-16)+\frac{1}{4}×(-16)-\frac{1}{2}×(-16)=-5+2-2-4+8=-1$。(2)原式$=(100-\frac{1}{17})×(-17)=100×(-17)-\frac{1}{17}×(-17)=-1700+1=-1699$。(3)原式$=-|8×(-8)|-(\frac{1}{16}×16)^{3}=-64-1=-65$。(4)原式$=(\frac{3}{5}-\frac{1}{2}-\frac{7}{12})×60×(\frac{1}{7}-\frac{3}{7}-\frac{5}{7})=(\frac{3}{5}-\frac{1}{2}-\frac{7}{12})×(-60)=\frac{3}{5}×(-60)-\frac{1}{2}×(-60)-\frac{7}{12}×(-60)=-36+30+35=29$。
10. (2024·苏州期中)(1)知识探究:$2^{1}-2^{0}= 2^{(\quad)}$,$2^{2}-2^{1}= 2^{(\quad)}$,$2^{3}-2^{2}= 2^{(\quad)}$……
上述括号按顺序填写为
(2)发现规律:试写出第n个等式,并证明此等式成立;
(3)拓展应用:计算$2^{1}+2^{2}+2^{3}+... +2^{2024}$。
上述括号按顺序填写为
0
,1
,2
;(2)发现规律:试写出第n个等式,并证明此等式成立;
解: 第$n$个等式是$2^{n}-2^{n - 1}=2^{n - 1}$。证明: 因为$2^{n}-2^{n - 1}=2^{n - 1}×(2 - 1)=2^{n - 1}×1=2^{n - 1}$，所以第$n$个等式是$2^{n}-2^{n - 1}=2^{n - 1}$。
(3)拓展应用:计算$2^{1}+2^{2}+2^{3}+... +2^{2024}$。
解: 设$T = 2^{1}+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{2024}$，则$2T = 2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdots+2^{2025}$，所以$2T - T=(2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{2025})-(2^{1}+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{2024})=2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{2025}-2^{1}-2^{2}-2^{3}-\cdots-2^{2024}=2^{2025}-2$，即$2^{1}+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{2024}=2^{2025}-2$。
答案：(1)0 1 2(2)解: 第$n$个等式是$2^{n}-2^{n - 1}=2^{n - 1}$。证明: 因为$2^{n}-2^{n - 1}=2^{n - 1}×(2 - 1)=2^{n - 1}×1=2^{n - 1}$，所以第$n$个等式是$2^{n}-2^{n - 1}=2^{n - 1}$。(3)解: 设$T = 2^{1}+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{2024}$，则$2T = 2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdots+2^{2025}$，所以$2T - T=(2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{2025})-(2^{1}+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{2024})=2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{2025}-2^{1}-2^{2}-2^{3}-\cdots-2^{2024}=2^{2025}-2$，即$2^{1}+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{2024}=2^{2025}-2$。
11. 观察下列等式:
$\frac {1}{1×2}= 1-\frac {1}{2},\frac {1}{2×3}= \frac {1}{2}-\frac {1}{3},\frac {1}{3×4}= \frac {1}{3}-\frac {1}{4}$,将以上三个等式两边分别相加,得$\frac {1}{1×2}+\frac {1}{2×3}+$$\frac {1}{3×4}= 1-\frac {1}{2}+\frac {1}{2}-\frac {1}{3}+\frac {1}{3}-\frac {1}{4}= 1-\frac {1}{4}= \frac {3}{4}$.
(1)猜想:$\frac {1}{n×(n+1)}=$
(2)$\frac {1}{1×2}+\frac {1}{2×3}+\frac {1}{3×4}+... +\frac {1}{2024×2025}=$
(3)探究并计算:$\frac {1}{2×4}+\frac {1}{4×6}+\frac {1}{6×8}+... +\frac {1}{2022×2024}$.
$\frac {1}{1×2}= 1-\frac {1}{2},\frac {1}{2×3}= \frac {1}{2}-\frac {1}{3},\frac {1}{3×4}= \frac {1}{3}-\frac {1}{4}$,将以上三个等式两边分别相加,得$\frac {1}{1×2}+\frac {1}{2×3}+$$\frac {1}{3×4}= 1-\frac {1}{2}+\frac {1}{2}-\frac {1}{3}+\frac {1}{3}-\frac {1}{4}= 1-\frac {1}{4}= \frac {3}{4}$.
(1)猜想:$\frac {1}{n×(n+1)}=$
$\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$
;(2)$\frac {1}{1×2}+\frac {1}{2×3}+\frac {1}{3×4}+... +\frac {1}{2024×2025}=$
$\frac{2024}{2025}$
;(3)探究并计算:$\frac {1}{2×4}+\frac {1}{4×6}+\frac {1}{6×8}+... +\frac {1}{2022×2024}$.
解: 原式$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2022}-\frac{1}{2024})=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{2024})=\frac{1}{2}×\frac{1011}{2024}=\frac{1011}{4048}$。
答案：(1)$\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$(2)$\frac{2024}{2025}$(3)解: 原式$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2022}-\frac{1}{2024})=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{2024})=\frac{1}{2}×\frac{1011}{2024}=\frac{1011}{4048}$。