1. (1)观察一列有规律的数: $\frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{20}, \cdots$, 那么第 $n$ 个数是
(2)观察下列数据: $\frac{1}{2},-\frac{2}{5}, \frac{3}{10},-\frac{4}{17}, \frac{5}{26}, \cdots$, 则第 12 个数是
$\frac{1}{n(n + 1)}$
; (用含 $n$ 的式子表示)(2)观察下列数据: $\frac{1}{2},-\frac{2}{5}, \frac{3}{10},-\frac{4}{17}, \frac{5}{26}, \cdots$, 则第 12 个数是
$-\frac{12}{145}$
.答案：(1) $\frac{1}{n(n + 1)}$ (2) $-\frac{12}{145}$
解析：
(1) 观察这列数：$\frac{1}{2}=\frac{1}{1×2}$，$\frac{1}{6}=\frac{1}{2×3}$，$\frac{1}{12}=\frac{1}{3×4}$，$\frac{1}{20}=\frac{1}{4×5}$，$\cdots$，可得第$n$个数是$\frac{1}{n(n + 1)}$。
(2) 观察这列数，符号规律为奇数项正，偶数项负，第$n$项符号为$(-1)^{n + 1}$；分子依次为$1,2,3,4,5,\cdots$，第$n$项分子为$n$；分母依次为$2=1^2 + 1$，$5=2^2 + 1$，$10=3^2 + 1$，$17=4^2 + 1$，$26=5^2 + 1$，$\cdots$，第$n$项分母为$n^2 + 1$。所以第$n$个数是$(-1)^{n + 1}\frac{n}{n^2 + 1}$。当$n = 12$时，$(-1)^{12 + 1}\frac{12}{12^2 + 1}=(-1)^{13}\frac{12}{144 + 1}=-\frac{12}{145}$。
(1)$\frac{1}{n(n + 1)}$
(2)$-\frac{12}{145}$
(2) 观察这列数，符号规律为奇数项正，偶数项负，第$n$项符号为$(-1)^{n + 1}$；分子依次为$1,2,3,4,5,\cdots$，第$n$项分子为$n$；分母依次为$2=1^2 + 1$，$5=2^2 + 1$，$10=3^2 + 1$，$17=4^2 + 1$，$26=5^2 + 1$，$\cdots$，第$n$项分母为$n^2 + 1$。所以第$n$个数是$(-1)^{n + 1}\frac{n}{n^2 + 1}$。当$n = 12$时，$(-1)^{12 + 1}\frac{12}{12^2 + 1}=(-1)^{13}\frac{12}{144 + 1}=-\frac{12}{145}$。
(1)$\frac{1}{n(n + 1)}$
(2)$-\frac{12}{145}$
2. (2024·扬州)1202 年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数: $1,1,2,3,5, \cdots$, 这一列数满足: 从第三个数开始, 每一个数都等于它的前两个数之和. 则在这一列数的前 2024 个数中, 奇数的个数为
1350
.答案：1350
解析：
观察斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，其奇偶性规律为：奇，奇，偶，奇，奇，偶，…，即每3个数为一组，每组中有2个奇数。
2024÷3=674（组）……2（个），余下的2个数为一组中的前2个数，均为奇数。
奇数个数为：674×2+2=1350。
答案：1350
2024÷3=674（组）……2（个），余下的2个数为一组中的前2个数，均为奇数。
奇数个数为：674×2+2=1350。
答案：1350
3. 观察下列一组数: $2, \frac{1}{2}, \frac{2}{7}, \cdots$, 它们按一定规律排列, 第 $n$ 个数记为 $a_n$, 且满足 $\frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_{n+2}}=\frac{2}{a_{n+1}}$,则 $a_4=$
$\frac{1}{5}$
, $a_{2025}=$$\frac{2}{6073}$
.答案：$\frac{1}{5}$ $\frac{2}{6073}$
解析：
解：设数列$\left\{ \frac{1}{a_n} \right\}$为$\{b_n\}$，则$b_n = \frac{1}{a_n}$。
已知$\frac{1}{a_n} + \frac{1}{a_{n+2}} = \frac{2}{a_{n+1}}$，即$b_n + b_{n+2} = 2b_{n+1}$，所以$\{b_n\}$是等差数列。
$a_1 = 2$，则$b_1 = \frac{1}{2}$；$a_2 = \frac{1}{2}$，则$b_2 = 2$。
公差$d = b_2 - b_1 = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$。
$b_n = b_1 + (n - 1)d = \frac{1}{2} + (n - 1) × \frac{3}{2} = \frac{3n - 2}{2}$。
$b_4 = \frac{3 × 4 - 2}{2} = 5$，则$a_4 = \frac{1}{b_4} = \frac{1}{5}$。
$b_{2025} = \frac{3 × 2025 - 2}{2} = \frac{6073}{2}$，则$a_{2025} = \frac{1}{b_{2025}} = \frac{2}{6073}$。
$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{6073}$
已知$\frac{1}{a_n} + \frac{1}{a_{n+2}} = \frac{2}{a_{n+1}}$，即$b_n + b_{n+2} = 2b_{n+1}$，所以$\{b_n\}$是等差数列。
$a_1 = 2$，则$b_1 = \frac{1}{2}$；$a_2 = \frac{1}{2}$，则$b_2 = 2$。
公差$d = b_2 - b_1 = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$。
$b_n = b_1 + (n - 1)d = \frac{1}{2} + (n - 1) × \frac{3}{2} = \frac{3n - 2}{2}$。
$b_4 = \frac{3 × 4 - 2}{2} = 5$，则$a_4 = \frac{1}{b_4} = \frac{1}{5}$。
$b_{2025} = \frac{3 × 2025 - 2}{2} = \frac{6073}{2}$，则$a_{2025} = \frac{1}{b_{2025}} = \frac{2}{6073}$。
$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{6073}$
4. 按一定规律排列的单项式: $x, 3 x^2, 5 x^3, 7 x^4, 9 x^5, \cdots$, 第 $n$ 个单项式是 (
A.$(2 n-1) x^n$
B.$(2 n+1) x^n$
C.$(n-1) x^n$
D.$(n+1) x^n$
A
)A.$(2 n-1) x^n$
B.$(2 n+1) x^n$
C.$(n-1) x^n$
D.$(n+1) x^n$
答案：A
解析：
观察这组单项式：$x, 3x^2, 5x^3, 7x^4, 9x^5, \cdots$。
系数依次为：1，3，5，7，9，…，规律是从1开始的连续奇数，第n个系数为$2n - 1$。
字母部分均为$x$，指数依次为：1，2，3，4，5，…，第n个指数为$n$。
所以第n个单项式是$(2n - 1)x^n$。
答案：A
系数依次为：1，3，5，7，9，…，规律是从1开始的连续奇数，第n个系数为$2n - 1$。
字母部分均为$x$，指数依次为：1，2，3，4，5，…，第n个指数为$n$。
所以第n个单项式是$(2n - 1)x^n$。
答案：A
5. 将从 1 开始的连续自然数按如图所示的规律排列. 若有序数对 $(n, m)$ 表示第 $n$ 行, 从左到右第 $m$ 个数, 如 $(3,2)$ 表示 6 , 则表示 99 的有序数对是____
(10,18)
.答案：$(10,18)$
解析：
观察规律可知，第n行有$2n - 1$个数，且第n行最后一个数为$n^2$。
因为$9^2 = 81$，$10^2 = 100$，所以99在第10行。
第10行最后一个数是100，该行共有$2×10 - 1 = 19$个数。
99是第10行从左到右第$19 - (100 - 99) = 18$个数。
故表示99的有序数对是$(10, 18)$。
$(10, 18)$
因为$9^2 = 81$，$10^2 = 100$，所以99在第10行。
第10行最后一个数是100，该行共有$2×10 - 1 = 19$个数。
99是第10行从左到右第$19 - (100 - 99) = 18$个数。
故表示99的有序数对是$(10, 18)$。
$(10, 18)$
6. 探索发现: $\frac{1}{1 × 2}=1-\frac{1}{2}, \frac{1}{2 × 3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}, \frac{1}{3 × 4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}, \cdots \cdots$
(1)填空: $\frac{1}{4 × 5}=$
(2)一个容器装有 $1 \mathrm{~L}$ 水, 按照如下要求把水倒出: 第 1 次倒出 $\frac{1}{2} \mathrm{~L}$ 水, 第 2 次倒出的水量是 $\frac{1}{2} \mathrm{~L}$ 的 $\frac{1}{3}$, 第 3 次倒出的水量是 $\frac{1}{3} \mathrm{~L}$ 的 $\frac{1}{4}$, 第 4 次倒出的水量是 $\frac{1}{4} \mathrm{~L}$ 的 $\frac{1}{5}, \cdots$, 第 $n$ 次倒出的水量是 $\frac{1}{n} \mathrm{~L}$ 的 $\frac{1}{n+1}$, 按照这种倒水的方法, 这 $1 \mathrm{~L}$ 水可以倒完吗? 为什么?
(1)填空: $\frac{1}{4 × 5}=$
$\frac{1}{4} - \frac{1}{5}$
, $\frac{1}{n(n+1)}=$$\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$
;(2)一个容器装有 $1 \mathrm{~L}$ 水, 按照如下要求把水倒出: 第 1 次倒出 $\frac{1}{2} \mathrm{~L}$ 水, 第 2 次倒出的水量是 $\frac{1}{2} \mathrm{~L}$ 的 $\frac{1}{3}$, 第 3 次倒出的水量是 $\frac{1}{3} \mathrm{~L}$ 的 $\frac{1}{4}$, 第 4 次倒出的水量是 $\frac{1}{4} \mathrm{~L}$ 的 $\frac{1}{5}, \cdots$, 第 $n$ 次倒出的水量是 $\frac{1}{n} \mathrm{~L}$ 的 $\frac{1}{n+1}$, 按照这种倒水的方法, 这 $1 \mathrm{~L}$ 水可以倒完吗? 为什么?
解: 不可以倒完. 理由: 由题意, 得倒 $n$ 次倒出的总水量为$\frac{1}{2} + \frac{1}{2×3} + \frac{1}{3×4} + \cdots + \frac{1}{n(n + 1)} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} -\frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}$.因为 $\frac{n}{n + 1} ＜ 1$,所以这 $1L$ 水不可以倒完.
答案：(1) $\frac{1}{4} - \frac{1}{5}$ $\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$
(2) 解: 不可以倒完. 理由: 由题意, 得倒 $n$ 次倒出的总水量为
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2×3} + \frac{1}{3×4} + \cdots + \frac{1}{n(n + 1)} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} -$
$\frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}$.
因为 $\frac{n}{n + 1} ＜ 1$,
所以这 $1L$ 水不可以倒完.
(2) 解: 不可以倒完. 理由: 由题意, 得倒 $n$ 次倒出的总水量为
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2×3} + \frac{1}{3×4} + \cdots + \frac{1}{n(n + 1)} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} -$
$\frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}$.
因为 $\frac{n}{n + 1} ＜ 1$,
所以这 $1L$ 水不可以倒完.