设长方形$ABCD$的长为$m$，宽为$n$。
由图②可知：
左下方阴影长方形的长为$m - b$，宽为$n - a$，则$l_{1}=2[(m - b)+(n - a)]=2(m + n - a - b)$。
右上方阴影长方形的长为$a - b$，宽为$m - a$，则$l_{2}=2[(a - b)+(m - a)]=2(m - b)$。
$l_{1}-l_{2}=2(m + n - a - b)-2(m - b)=2n - 2a$。
已知$l_{1}-l_{2}=6$，即$2n - 2a=6$，化简得$n - a=3$。
又因为$n = a + b$（由图中正方形摆放可知长方形宽为大正方形边长加小正方形边长），所以$(a + b)-a=3$，解得$b = 3$。
$a$的值不确定。
结论：$a$的值不确定，$b = 3$。
C

-3
3

设所求多项式为$A$，根据题意可得：$A + (m^{2} + m - 2) = m^{2} - 2m$，则$A = (m^{2} - 2m) - (m^{2} + m - 2)$，去括号得$A = m^{2} - 2m - m^{2} - m + 2$，合并同类项得$A = -3m + 2$。
$-3m + 2$

解：因为$a + 2b = -2$，所以$\frac{1}{2}(a + 2b)=\frac{1}{2}×(-2)$，即$\frac{1}{2}a + b=-1$。
则$2025 - \frac{1}{2}a - b=2025 - (\frac{1}{2}a + b)=2025 - (-1)=2026$。
2026

解：因为单项式$-x^{2m}y^{4}$与$4x^{3}y^{3n}$的差仍然是一个单项式，所以它们是同类项。
同类项要求相同字母的指数相同，可得：
$2m = 3$，解得$m=\frac{3}{2}$；
$3n = 4$，解得$n=\frac{4}{3}$。
则$4m - 6n = 4×\frac{3}{2}-6×\frac{4}{3}=6 - 8=-2$。
$-2$

解：$(3mx^{2} + 2xy - 6x) - (9x^{2} + nxy + 4y)$
$=3mx^{2} + 2xy - 6x - 9x^{2} - nxy - 4y$
$=(3m - 9)x^{2} + (2 - n)xy - 6x - 4y$
因为差中不含二次项，所以二次项系数为0。
即：$\begin{cases}3m - 9 = 0 \\ 2 - n = 0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}m = 3 \\ n = 2\end{cases}$
所以$m^{n}=3^{2}=9$
9

解：正确化简结果为 $ x = 5(a - 3) = 5a - 15 $，抄错后结果为 $ y = 5a - 3 $。
$ x - y = (5a - 15) - (5a - 3) = 5a - 15 - 5a + 3 = -12 $
答案：$-12$

解：观察图形可知，第1个图形有4个五角星，第2个图形有7个五角星，第3个图形有10个五角星，第4个图形有13个五角星。
相邻两个图形五角星数量的差值为：7-4=3，10-7=3，13-10=3，所以规律是后一个图形比前一个图形多3个五角星，这是一个首项为4，公差为3的等差数列。
等差数列的通项公式为$a_n = a_1 + (n - 1)d$（其中$a_n$表示第$n$项的数量，$a_1$为首项，$d$为公差），则第$n$个图形五角星的数量为：$a_n = 4 + (n - 1)×3$，化简得$a_n = 3n + 1$。
令$3n + 1 = 2026$，解方程得：
$3n = 2026 - 1$
$3n = 2025$
$n = 675$
故答案为675。