1. 如果 $10^{b}= n$,那么 $b$ 为 $n$ 的劳格数,记为 $b = d(n)$,由定义可知：$10^{b}= n$ 与 $b = d(n)$ 表示的是 $b$,$n$ 两个量之间的同一关系. 劳格数有如下运算性质：若 $m$,$n$ 为正数,则 $d(mn)= d(m)+d(n)$,$d(\frac{m}{n}) = d(m)-d(n)$. 根据运算性质,若 $d(2)= 0.301$,则 $d(0.8)$ 的值是(
A.$-0.097$
B.$-0.602$
C.$-0.699$
D.$-1.097$
A
)A.$-0.097$
B.$-0.602$
C.$-0.699$
D.$-1.097$
答案：A 点拨:若n = 10,因为$10^{b}=10^{1}$,所以$b = 1$,根据题意,可得
$d(10)=1$,$d(0.8)=d(\frac{2}{10}×4)=d(\frac{2}{10})+d(4)$
$=d(2)-d(10)+d(2×2)=d(2)-d(10)+d(2)+d(2)$
$=3d(2)-d(10)=3×0.301 - 1 = 0.903 - 1 = - 0.097$.
$d(10)=1$,$d(0.8)=d(\frac{2}{10}×4)=d(\frac{2}{10})+d(4)$
$=d(2)-d(10)+d(2×2)=d(2)-d(10)+d(2)+d(2)$
$=3d(2)-d(10)=3×0.301 - 1 = 0.903 - 1 = - 0.097$.
2. (2024·吴江区月考)规定两数 $a$,$b$ 之间的一种运算,记作 $(a,b)$；如果 $a^{c}= b$,那么 $(a,b)= c$. 例如：因为 $2^{3}= 8$,所以 $(2,8)= 3$.
(1) 根据上述规定,填空：$(3,9)=$
(2) 有同学在研究这种运算时发现一个现象：$(3^{n},4^{n})= (3,4)$,他给出了如下的说明：
设 $(3^{n},4^{n})= x$,所以 $(3^{n})^{x}= 4^{n}$.
即 $(3^{x})^{n}= 4^{n}$.
因为 $3^{x}＞0$,所以 $3^{x}= 4$,即 $(3,4)= x$,
所以 $(3^{n},4^{n})= (3,4)$.
若 $(4,5)= a$,$(4,6)= b$,$(4,30)= c$,请你尝试运用上述这种方法说明 $a + b = c$.
(1) 根据上述规定,填空：$(3,9)=$
2
,(±4
,$16)= 2$,$(-2,-8)=$3
.(2) 有同学在研究这种运算时发现一个现象：$(3^{n},4^{n})= (3,4)$,他给出了如下的说明：
设 $(3^{n},4^{n})= x$,所以 $(3^{n})^{x}= 4^{n}$.
即 $(3^{x})^{n}= 4^{n}$.
因为 $3^{x}＞0$,所以 $3^{x}= 4$,即 $(3,4)= x$,
所以 $(3^{n},4^{n})= (3,4)$.
若 $(4,5)= a$,$(4,6)= b$,$(4,30)= c$,请你尝试运用上述这种方法说明 $a + b = c$.
解：设$(4,5)=a$，则$4^a=5$；
设$(4,6)=b$，则$4^b=6$；
设$(4,30)=c$，则$4^c=30$。
因为$5×6=30$，所以$4^a×4^b=4^c$，
即$4^{a+b}=4^c$，
所以$a+b=c$。
设$(4,6)=b$，则$4^b=6$；
设$(4,30)=c$，则$4^c=30$。
因为$5×6=30$，所以$4^a×4^b=4^c$，
即$4^{a+b}=4^c$，
所以$a+b=c$。
答案：(1) 2，±4，3
(2) 解：设$(4,5)=a$，则$4^a=5$；
设$(4,6)=b$，则$4^b=6$；
设$(4,30)=c$，则$4^c=30$。
因为$5×6=30$，所以$4^a×4^b=4^c$，
即$4^{a+b}=4^c$，
所以$a+b=c$。
(2) 解：设$(4,5)=a$，则$4^a=5$；
设$(4,6)=b$，则$4^b=6$；
设$(4,30)=c$，则$4^c=30$。
因为$5×6=30$，所以$4^a×4^b=4^c$，
即$4^{a+b}=4^c$，
所以$a+b=c$。
3. 我们知道,每个自然数都有因数,将这个自然数的所有正奇数因数之和减去所有正偶数因数之和,再除以这个自然数所得的商叫作这个自然数的“完美指标”. 例如：$10$ 的正因数有 $1$,$2$,$5$,$10$,它的正奇数因数是 $1$,$5$,它的正偶数因数是 $2$,$10$,所以 $10$ 的“完美指标”是 $[(1 + 5)-(2 + 10)]÷10= -\frac{3}{5}$. 我们规定：若一个自然数的“完美指标”的绝对值越小,这个数就越“完美”. 例如：因为 $6$ 的“完美指标”是 $[(1 + 3)-(2 + 6)]÷6= -\frac{2}{3}$,$7$ 没有正偶数因数,$7$ 的“完美指标”是 $(1 + 7)÷7= \frac{8}{7}$,且 $|-\frac{2}{3}|＜|\frac{8}{7}|$,所以 $6$ 比 $7$ 更“完美”.
根据上述材料,求出 $18$,$19$,$20$,$21$ 这四个自然数中最“完美”的数.
根据上述材料,求出 $18$,$19$,$20$,$21$ 这四个自然数中最“完美”的数.
答案：【解析】：
题目考查了新定义运算，需要根据“完美指标”的定义，分别求出$18$，$19$，$20$，$21$这四个自然数的“完美指标”，再比较它们绝对值的大小。
1. 求$18$的“完美指标”：
先找出$18$的正因数：$1$，$2$，$3$，$6$，$9$，$18$。
正奇数因数：$1$，$3$，$9$；正偶数因数：$2$，$6$，$18$。
计算“完美指标”：$[(1 + 3 + 9)-(2 + 6 + 18)]÷18=(13 - 26)÷18=-\frac{13}{18}$。
2. 求$19$的“完美指标”：
$19$是质数，正因数有$1$，$19$，正偶数因数没有，正奇数因数为$1$，$19$。
计算“完美指标”：$(1 + 19)÷19=\frac{20}{19}$。
3. 求$20$的“完美指标”：
$20$的正因数：$1$，$2$，$4$，$5$，$10$，$20$。
正奇数因数：$1$，$5$；正偶数因数：$2$，$4$，$10$，$20$。
计算“完美指标”：$[(1 + 5)-(2 + 4 + 10 + 20)]÷20=(6 - 36)÷20=-\frac{3}{2}$。
4. 求$21$的“完美指标”：
$21$的正因数：$1$，$3$，$7$，$21$。
正奇数因数：$1$，$3$，$7$，$21$；正偶数因数没有。
计算“完美指标”：$(1 + 3 + 7 + 21)÷21=\frac{32}{21}$。
然后比较$\vert -\frac{13}{18}\vert$，$\vert \frac{20}{19}\vert$，$\vert -\frac{3}{2}\vert$，$\vert \frac{32}{21}\vert$的大小：
$\vert -\frac{13}{18}\vert=\frac{13}{18}\approx0.72$；
$\vert \frac{20}{19}\vert=\frac{20}{19}\approx1.05$；
$\vert -\frac{3}{2}\vert=\frac{3}{2}=1.5$；
$\vert \frac{32}{21}\vert=\frac{32}{21}\approx1.52$。
因为$0.72\lt1.05\lt1.5\lt1.52$，即$\vert -\frac{13}{18}\vert\lt\vert \frac{20}{19}\vert\lt\vert -\frac{3}{2}\vert\lt\vert \frac{32}{21}\vert$，所以$18$最“完美”。
【答案】：
$18$的“完美指标”是$-\frac{13}{18}$；$19$的“完美指标”是$\frac{20}{19}$；$20$的“完美指标”是$-\frac{3}{2}$；$21$的“完美指标”是$\frac{32}{21}$。
比较可得$\vert -\frac{13}{18}\vert\lt\vert \frac{20}{19}\vert\lt\vert -\frac{3}{2}\vert\lt\vert \frac{32}{21}\vert$，所以$18$，$19$，$20$，$21$这四个自然数中最“完美”的数是$18$。
题目考查了新定义运算，需要根据“完美指标”的定义，分别求出$18$，$19$，$20$，$21$这四个自然数的“完美指标”，再比较它们绝对值的大小。
1. 求$18$的“完美指标”：
先找出$18$的正因数：$1$，$2$，$3$，$6$，$9$，$18$。
正奇数因数：$1$，$3$，$9$；正偶数因数：$2$，$6$，$18$。
计算“完美指标”：$[(1 + 3 + 9)-(2 + 6 + 18)]÷18=(13 - 26)÷18=-\frac{13}{18}$。
2. 求$19$的“完美指标”：
$19$是质数，正因数有$1$，$19$，正偶数因数没有，正奇数因数为$1$，$19$。
计算“完美指标”：$(1 + 19)÷19=\frac{20}{19}$。
3. 求$20$的“完美指标”：
$20$的正因数：$1$，$2$，$4$，$5$，$10$，$20$。
正奇数因数：$1$，$5$；正偶数因数：$2$，$4$，$10$，$20$。
计算“完美指标”：$[(1 + 5)-(2 + 4 + 10 + 20)]÷20=(6 - 36)÷20=-\frac{3}{2}$。
4. 求$21$的“完美指标”：
$21$的正因数：$1$，$3$，$7$，$21$。
正奇数因数：$1$，$3$，$7$，$21$；正偶数因数没有。
计算“完美指标”：$(1 + 3 + 7 + 21)÷21=\frac{32}{21}$。
然后比较$\vert -\frac{13}{18}\vert$，$\vert \frac{20}{19}\vert$，$\vert -\frac{3}{2}\vert$，$\vert \frac{32}{21}\vert$的大小：
$\vert -\frac{13}{18}\vert=\frac{13}{18}\approx0.72$；
$\vert \frac{20}{19}\vert=\frac{20}{19}\approx1.05$；
$\vert -\frac{3}{2}\vert=\frac{3}{2}=1.5$；
$\vert \frac{32}{21}\vert=\frac{32}{21}\approx1.52$。
因为$0.72\lt1.05\lt1.5\lt1.52$，即$\vert -\frac{13}{18}\vert\lt\vert \frac{20}{19}\vert\lt\vert -\frac{3}{2}\vert\lt\vert \frac{32}{21}\vert$，所以$18$最“完美”。
【答案】：
$18$的“完美指标”是$-\frac{13}{18}$；$19$的“完美指标”是$\frac{20}{19}$；$20$的“完美指标”是$-\frac{3}{2}$；$21$的“完美指标”是$\frac{32}{21}$。
比较可得$\vert -\frac{13}{18}\vert\lt\vert \frac{20}{19}\vert\lt\vert -\frac{3}{2}\vert\lt\vert \frac{32}{21}\vert$，所以$18$，$19$，$20$，$21$这四个自然数中最“完美”的数是$18$。