1. (2024·姜堰区期中)从前,一位庄园主把一块边长为 $2a$ m 的正方形土地租给租户李老汉。第二年,他对李老汉说：“我把这块地的一边增加 $b$ m($b ＜ 2a$),相邻的另一边减少 $b$ m,变成长方形土地继续租给你,租金不变,你也没有吃亏,你看如何?”如果这样,你觉得李老汉的租地面积会(
A.减少 $a^{2}m^{2}$
B.减少 $b^{2}m^{2}$
C.增加 $b^{2}m^{2}$
D.保持不变
B
)A.减少 $a^{2}m^{2}$
B.减少 $b^{2}m^{2}$
C.增加 $b^{2}m^{2}$
D.保持不变
答案：B
解析：
解：正方形土地面积为 $(2a)^2 = 4a^2$ $m^2$。
变化后长方形的长为 $(2a + b)$ $m$，宽为 $(2a - b)$ $m$，面积为 $(2a + b)(2a - b) = 4a^2 - b^2$ $m^2$。
面积变化量为 $4a^2 - (4a^2 - b^2) = b^2$ $m^2$，即面积减少 $b^2$ $m^2$。
答案：B
变化后长方形的长为 $(2a + b)$ $m$，宽为 $(2a - b)$ $m$，面积为 $(2a + b)(2a - b) = 4a^2 - b^2$ $m^2$。
面积变化量为 $4a^2 - (4a^2 - b^2) = b^2$ $m^2$，即面积减少 $b^2$ $m^2$。
答案：B
2. 如图①是从长方形中剪掉一个较小的长方形,使得剩余两端的宽度相等,用 5 个这样的图形紧密地拼成如图②所示的图形,则它的长为
$ m + 4n $
。(结果用含 $m$,$n$ 的代数式表示)答案：$ m + 4n $
解析：
设剩余两端的宽度为$x$。
由图①可知，$m = n + 2x$，解得$x=\frac{m - n}{2}$。
观察图②，5个图形拼接时，中间有4个重叠部分，每个重叠部分的长度为$x$。
则图②的长为：$5m - 8x$（每个图形长$m$，5个共$5m$，8个$x$重叠）。
将$x=\frac{m - n}{2}$代入得：$5m - 8×\frac{m - n}{2}=5m - 4(m - n)=5m - 4m + 4n=m + 4n$。
答案：$m + 4n$
由图①可知，$m = n + 2x$，解得$x=\frac{m - n}{2}$。
观察图②，5个图形拼接时，中间有4个重叠部分，每个重叠部分的长度为$x$。
则图②的长为：$5m - 8x$（每个图形长$m$，5个共$5m$，8个$x$重叠）。
将$x=\frac{m - n}{2}$代入得：$5m - 8×\frac{m - n}{2}=5m - 4(m - n)=5m - 4m + 4n=m + 4n$。
答案：$m + 4n$
3. 阅读材料：
数学活动课上,小智同学提出一个猜想：把一个三位正整数的百位上的数字与个位上的数字交换位置,十位上的数字不变,原数与所得数的差等于 99 乘原数的百位上的数字与个位上的数字的差。例如：$782 - 287 = 99×(7 - 2)$。
解答问题：
(1) 小智的猜想是否正确? 若正确,对任意情况进行说明；若不正确,请说明理由；
(2) 已知一个五位正整数的万位上的数字为 $m$,个位上的数字为 $n$,把万位上的数字与个位上的数字交换位置,其余数位上的数字不变,原数与所得数的差等于______。(用含 $m$,$n$ 的式子表示)
数学活动课上,小智同学提出一个猜想：把一个三位正整数的百位上的数字与个位上的数字交换位置,十位上的数字不变,原数与所得数的差等于 99 乘原数的百位上的数字与个位上的数字的差。例如：$782 - 287 = 99×(7 - 2)$。
解答问题：
(1) 小智的猜想是否正确? 若正确,对任意情况进行说明；若不正确,请说明理由；
解:小智的猜想正确.说明如下:
设一个三位正整数的百位上的数字为 $ a $,十位上的数字为 $ b $,个位上的数字为 $ c $,则该三位正整数为 $ 100a + 10b + c $,新三位正整数为 $ 100c + 10b + a $.
因为 $ 100a + 10b + c - (100c + 10b + a) $
$ = 100a + 10b + c - 100c - 10b - a $
$ = 99a - 99c $
$ = 99(a - c) $,
所以小智的猜想是正确的.
设一个三位正整数的百位上的数字为 $ a $,十位上的数字为 $ b $,个位上的数字为 $ c $,则该三位正整数为 $ 100a + 10b + c $,新三位正整数为 $ 100c + 10b + a $.
因为 $ 100a + 10b + c - (100c + 10b + a) $
$ = 100a + 10b + c - 100c - 10b - a $
$ = 99a - 99c $
$ = 99(a - c) $,
所以小智的猜想是正确的.
(2) 已知一个五位正整数的万位上的数字为 $m$,个位上的数字为 $n$,把万位上的数字与个位上的数字交换位置,其余数位上的数字不变,原数与所得数的差等于______。(用含 $m$,$n$ 的式子表示)
$9999(m - n)$
答案：3. (1)解:小智的猜想正确.说明如下:
设一个三位正整数的百位上的数字为 $ a $,十位上的数字为 $ b $,个位上的数字为 $ c $,则该三位正整数为 $ 100a + 10b + c $,新三位正整数为 $ 100c + 10b + a $.
因为 $ 100a + 10b + c - (100c + 10b + a) $
$ = 100a + 10b + c - 100c - 10b - a $
$ = 99a - 99c $
$ = 99(a - c) $,
所以小智的猜想是正确的.
(2)$ 9999(m - n) $ 点拨:根据(1)中的方法可得原数与所得数的差等于 $ 10000m + n - (10000n + m) = 10000m + n - 10000n - m = 9999m - 9999n = 9999(m - n) $.
设一个三位正整数的百位上的数字为 $ a $,十位上的数字为 $ b $,个位上的数字为 $ c $,则该三位正整数为 $ 100a + 10b + c $,新三位正整数为 $ 100c + 10b + a $.
因为 $ 100a + 10b + c - (100c + 10b + a) $
$ = 100a + 10b + c - 100c - 10b - a $
$ = 99a - 99c $
$ = 99(a - c) $,
所以小智的猜想是正确的.
(2)$ 9999(m - n) $ 点拨:根据(1)中的方法可得原数与所得数的差等于 $ 10000m + n - (10000n + m) = 10000m + n - 10000n - m = 9999m - 9999n = 9999(m - n) $.