(1)
一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。所以$5.4545\cdots$是循环小数。
一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。$5.4545\cdots$依次不断重复出现的数字是$45$，所以它的循环节是$45$。
写循环小数时，为了简便，只写出第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个小圆点。$5.4545\cdots$可用简便记法写作$5.\dot{4}\dot{5}$。
保留两位小数，即精确到百分位，要看千分位上的数，然后按“四舍五入”法取近似值。$5.4545\cdots$千分位是$4$，$4\lt5$，舍去，所以保留两位小数是$5.45$。
保留三位小数，即精确到千分位，要看万分位上的数，然后按“四舍五入”法取近似值。$5.4545\cdots$万分位是$5$，$5 = 5$，向千分位进$1$，所以保留三位小数是$5.455$。
(2)
小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。所以有限小数有$5.555$、$6.242424$、$1.83$。
小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。所以无限小数有$0.4343\cdots$、$2.081081081\cdots$、$3.141592\cdots$。
(3)
$3.1\dot{5}\approx3.1556$，$3.\dot{1}\dot{4}=3.1414\cdots$，$3.1\dot{4}=3.1444\cdots$，$3.\dot{1}4\dot{5}=3.145145\cdots$，$3.15 = 3.1500$。
比较大小可得$3.1\dot{5}＞3.15＞3.\dot{1}4\dot{5}＞3.1\dot{4}＞3.\dot{1}\dot{4}$。

(1) $6.157157…$ 是循环小数，循环节为 $157$，共 $3$ 位。
$12 ÷ 3 = 4$（无余数），第 $12$ 位对应循环节最后一位，即 $7$。
(2) $260 ÷ 12 = 21.666…$，需装满所有球，故向上取整为 $22$ 个球筒。
(3) 保留两位小数时，$4.175$ 四舍五入为 $4.18$，符合题意。