答案：【解析】：
本题可根据全等三角形的性质得到对应边和对应角的关系，再通过证明三角形全等来证明$AD = A'D'$。
已知$\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'$，根据全等三角形的性质可知，全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以可得$AB = A'B'$，$\angle B = \angle B'$。
又已知$BD = B'D'$，此时在$\triangle ABD$和$\triangle A'B'D'$中，有三边两角分别满足：$AB = A'B'$，$\angle B = \angle B'$，$BD = B'D'$，即两个三角形的两边及其夹角分别相等。
根据全等三角形的判定定理“边角边”（$SAS$），可以判定$\triangle ABD\cong\triangle A'B'D'$。
再根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，所以可得$AD = A'D'$。
【答案】：
证明：
∵$\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'$，
∴$AB = A'B'$，$\angle B = \angle B'$。
在$\triangle ABD$和$\triangle A'B'D'$中，
$\begin{cases}AB = A'B'\\\angle B = \angle B'\\BD = B'D'\end{cases}$
∴$\triangle ABD\cong\triangle A'B'D'(SAS)$。
∴$AD = A'D'$。

答案：【解析】：本题考查平行四边形的判定定理以及全等三角形的性质，因为AB平行且等于CD，所以四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可证明。
【答案】：证明：
∵$AB=CD$，$AB// CD$，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴$AD=BC$（平行四边形对边相等）

答案：证明：在△BOE和△COD中，
∵∠B=∠C，OB=OC，∠BOE=∠COD（对顶角相等），
∴△BOE≌△COD（ASA），
∴OE=OD，
∵OB=OC，
∴OB+OD=OC+OE，即BD=CE，
在△ABD和△ACE中，
∵∠A=∠A，∠B=∠C，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴AB=AC．

答案：【解析】：本题主要考查全等三角形的判定和性质。
（1）①证明：
由于$AD \perp MN$，$BE \perp MN$，
所以$\angle ADC = \angle BEC = 90^\circ$。
又因为$\angle ACB = 90^\circ$，
所以$\angle ACD + \angle BCE = 90^\circ$。
由于$\angle ACD + \angle CAD = 90^\circ$，
所以$\angle CAD = \angle BCE$。
在$\triangle ADC$和$\triangle CEB$中，
$\begin{cases}\angle ADC = \angle BEC, \\\angle CAD = \angle BCE, \\AC = BC.\end{cases}$
所以$\triangle ADC \cong \triangle CEB（AAS）$。
②由于$\triangle ADC \cong \triangle CEB$，
所以$AD = CE$，$BE = CD$。
因此，$DE = CE + CD = AD + BE$。
（2）当直线$MN$绕点$C$旋转到图②的位置时，（1）中的结论不成立。
证明：
由于$AD \perp MN$，$BE \perp MN$，
所以$\angle ADC = \angle BEC = 90^\circ$。
又因为$\angle ACB = 90^\circ$，
所以$\angle ACD + \angle ECB = 90^\circ$。
由于$\angle ECB + \angle CBE = 90^\circ$，
所以$\angle ACD = \angle CBE$。
在$\triangle ADC$和$\triangle CEB$中，
$\begin{cases}\angle ADC = \angle BEC, \\\angle ACD = \angle CBE, \\AC = BC.\end{cases}$
所以$\triangle ADC \cong \triangle CEB（AAS）$。
因此，$AD = CE$，$BE = CD$。
所以，$DE = CE - CD = AD - BE$。
因此，（1）中的结论$DE = AD + BE$不成立。
【答案】：(1)①证明见解析；②证明见解析。
(2)不成立，证明见解析。