4. 如图,AD//BC,BD平分∠ABC.求证:AB= AD.
答案：【解析】：本题考查等腰三角形的判定定理，即等角对等边。因为AD与BC平行，根据平行线的性质，内错角相等，所以∠ADB和∠DBC相等。又因为BD平分∠ABC，所以∠ABD和∠DBC相等。通过等量代换，可以得到∠ABD和∠ADB相等。根据等腰三角形的判定定理，可以得出AB等于AD。
【答案】：证明：
∵$AD// BC$，
∴$\angle ADB=\angle DBC$，
∵$BD$平分$\angle ABC$，
∴$\angle ABD=\angle DBC$，
∴$\angle ABD=\angle ADB$，
∴$\triangle ABD$是等腰三角形，
∴$AB=AD$。
【答案】：证明：
∵$AD// BC$，
∴$\angle ADB=\angle DBC$，
∵$BD$平分$\angle ABC$，
∴$\angle ABD=\angle DBC$，
∴$\angle ABD=\angle ADB$，
∴$\triangle ABD$是等腰三角形，
∴$AB=AD$。
5. 如图,点D,E分别在边AB,AC上,且AD= AE,DE//BC.求证:DB= EC.
答案：【解析】：
本题可根据平行线的性质得到角的关系，再结合已知条件$AD = AE$，通过等角对等边以及等量代换来证明$DB = EC$，考查了等腰三角形的判定以及平行线的性质。
【答案】：
证明：
∵$DE// BC$，
∴$\angle ADE=\angle B$，$\angle AED=\angle C$（两直线平行，同位角相等）。
∵$AD = AE$，
∴$\angle ADE=\angle AED$（等边对等角）。
∴$\angle B=\angle C$（等量代换）。
∴$AB = AC$（等角对等边）。
∵$AB=AD + DB$，$AC=AE + EC$，且$AD = AE$，
∴$DB = EC$（等量代换）。
本题可根据平行线的性质得到角的关系，再结合已知条件$AD = AE$，通过等角对等边以及等量代换来证明$DB = EC$，考查了等腰三角形的判定以及平行线的性质。
【答案】：
证明：
∵$DE// BC$，
∴$\angle ADE=\angle B$，$\angle AED=\angle C$（两直线平行，同位角相等）。
∵$AD = AE$，
∴$\angle ADE=\angle AED$（等边对等角）。
∴$\angle B=\angle C$（等量代换）。
∴$AB = AC$（等角对等边）。
∵$AB=AD + DB$，$AC=AE + EC$，且$AD = AE$，
∴$DB = EC$（等量代换）。
6. (1)如图,在△ABC中,AD⊥BC,∠BAD= ∠CAD.求证:AB= AC.
(2)如图,在△ABC中,BD= CD,∠BAD= ∠CAD.求证:AB= AC.
(2)如图,在△ABC中,BD= CD,∠BAD= ∠CAD.求证:AB= AC.
答案：6. (1)证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△ABD和△ACD中，
∠BAD=∠CAD，AD=AD，∠ADB=∠ADC，
∴△ABD≌△ACD(ASA)，
∴AB=AC.
(2)证明：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∵∠BAD=∠CAD，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
在△BDE和△CDF中，
∠DEB=∠DFC，DE=DF，BD=CD，
∴△BDE≌△CDF(SAS)，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC.
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△ABD和△ACD中，
∠BAD=∠CAD，AD=AD，∠ADB=∠ADC，
∴△ABD≌△ACD(ASA)，
∴AB=AC.
(2)证明：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∵∠BAD=∠CAD，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
在△BDE和△CDF中，
∠DEB=∠DFC，DE=DF，BD=CD，
∴△BDE≌△CDF(SAS)，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC.