如图1-20,我们知道,在△ABC中,如果AB= AC,那么∠B= ∠C.它的逆命题成立吗?为什么?
答案：【解析】：本题考查等腰三角形的判定定理的证明，即逆命题“在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”的证明，这需要构造等腰三角形，通过角边关系来证明。
证明：
已知，在$\bigtriangleup ABC$中，$\angle B=\angle C$，
求证：$AB=AC$。
作$\angle BAC$的平分线$AD$，
所以$\angle BAD=\angle CAD$，
因为$\angle B=\angle C$，$\angle BAD=\angle CAD$，$AD=AD$，
所以$\bigtriangleup ABD\cong \bigtriangleup ACD(AAS)$，
所以$AB=AC$。
【答案】：成立，证明过程如上。
证明：
已知，在$\bigtriangleup ABC$中，$\angle B=\angle C$，
求证：$AB=AC$。
作$\angle BAC$的平分线$AD$，
所以$\angle BAD=\angle CAD$，
因为$\angle B=\angle C$，$\angle BAD=\angle CAD$，$AD=AD$，
所以$\bigtriangleup ABD\cong \bigtriangleup ACD(AAS)$，
所以$AB=AC$。
【答案】：成立，证明过程如上。
例 如图1-21,在△ABC中,∠B= ∠C,AD⊥BC,垂足为D,DE//AB.
(1)△ABC是等腰三角形吗?为什么?
(2)△ADE是等腰三角形吗?为什么?
(1)△ABC是等腰三角形吗?为什么?
(2)△ADE是等腰三角形吗?为什么?
答案：【解析】：本题主要考查等腰三角形的判定以及平行线的性质。
（1）要判断$\bigtriangleup ABC$是否为等腰三角形，需看其两角或两边是否相等。
已知$\angle B = \angle C$，根据等腰三角形的定义：有两边相等或者两角相等的三角形是等腰三角形，所以$\bigtriangleup ABC$是等腰三角形。
（2）要判断$\bigtriangleup ADE$是否为等腰三角形，需找出其两角或两边相等的关系。
因为$DE// AB$，根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，可得$\angle B = \angle 3$；
又因为$\angle B = \angle C$，所以$\angle 3 = \angle C$。
再根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得$\angle 1 = \angle 3$。
那么$\angle 1 = \angle C$，在$\bigtriangleup ADE$中，两个角相等，根据等腰三角形的判定定理：等角对等边，所以$AE = DE$，即$\bigtriangleup ADE$是等腰三角形。
【答案】：（1）$\bigtriangleup ABC$是等腰三角形。
理由：因为$\angle B = \angle C$，根据等腰三角形的定义，有两边相等或者两角相等的三角形是等腰三角形，所以$\bigtriangleup ABC$是等腰三角形。
（2）$\bigtriangleup ADE$是等腰三角形。
理由：因为$DE// AB$，所以$\angle B = \angle 3$（两直线平行，同位角相等）。
又因为$\angle B = \angle C$，所以$\angle 3 = \angle C$。
又因为$DE// AB$，所以$\angle 1 = \angle 3$（两直线平行，内错角相等）。
所以$\angle 1 = \angle C$。
在$\bigtriangleup ADE$中，$\angle 1$和$\angle C$所对的边分别为$AE$和$DE$，根据等腰三角形的判定定理：等角对等边，所以$AE = DE$，即$\bigtriangleup ADE$是等腰三角形。
（1）要判断$\bigtriangleup ABC$是否为等腰三角形，需看其两角或两边是否相等。
已知$\angle B = \angle C$，根据等腰三角形的定义：有两边相等或者两角相等的三角形是等腰三角形，所以$\bigtriangleup ABC$是等腰三角形。
（2）要判断$\bigtriangleup ADE$是否为等腰三角形，需找出其两角或两边相等的关系。
因为$DE// AB$，根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，可得$\angle B = \angle 3$；
又因为$\angle B = \angle C$，所以$\angle 3 = \angle C$。
再根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得$\angle 1 = \angle 3$。
那么$\angle 1 = \angle C$，在$\bigtriangleup ADE$中，两个角相等，根据等腰三角形的判定定理：等角对等边，所以$AE = DE$，即$\bigtriangleup ADE$是等腰三角形。
【答案】：（1）$\bigtriangleup ABC$是等腰三角形。
理由：因为$\angle B = \angle C$，根据等腰三角形的定义，有两边相等或者两角相等的三角形是等腰三角形，所以$\bigtriangleup ABC$是等腰三角形。
（2）$\bigtriangleup ADE$是等腰三角形。
理由：因为$DE// AB$，所以$\angle B = \angle 3$（两直线平行，同位角相等）。
又因为$\angle B = \angle C$，所以$\angle 3 = \angle C$。
又因为$DE// AB$，所以$\angle 1 = \angle 3$（两直线平行，内错角相等）。
所以$\angle 1 = \angle C$。
在$\bigtriangleup ADE$中，$\angle 1$和$\angle C$所对的边分别为$AE$和$DE$，根据等腰三角形的判定定理：等角对等边，所以$AE = DE$，即$\bigtriangleup ADE$是等腰三角形。
1. 有
如图,∵∠B= ∠C,
∴
两个角相等
的三角形是等腰三角形.如图,∵∠B= ∠C,
∴
AB
=AC
.答案：【解析】：本题考查等腰三角形的判定定理，即等角对等边。题目中给出条件∠B = ∠C，根据等腰三角形的判定定理，可以得出AB = AC。
【答案】：有 两个角相等 的三角形是等腰三角形。
如图，∵∠B = ∠C，
∴AB = AC。
【答案】：有 两个角相等 的三角形是等腰三角形。
如图，∵∠B = ∠C，
∴AB = AC。
2. (1)如图,在△ABC中,DE⊥AC,垂足为D,DE交AB于点E,AE= CE,∠AED= 60°,∠ACB= 80°,则∠BCE的度数是(
A. 30°
B. 50°
C. 80°
D. 110°
(2)在△ABC中,已知∠A= 40°,若△ABC是等腰三角形,则∠B的度数是(
A. 40°
B. 70°
C. 40°或70°
D. 40°或70°或100°
B
).A. 30°
B. 50°
C. 80°
D. 110°
(2)在△ABC中,已知∠A= 40°,若△ABC是等腰三角形,则∠B的度数是(
D
).A. 40°
B. 70°
C. 40°或70°
D. 40°或70°或100°
答案：(1)
∵ DE⊥AC，∠AED=60°，
∴ ∠A=90°-60°=30°.
∵ AE=CE，
∴ ∠ACE=∠A=30°.
∵ ∠ACB=80°，
∴ ∠BCE=∠ACB-∠ACE=80°-30°=50°.
答案：B
(2)
① 若∠A为顶角，则∠B=∠C=(180°-40°)/2=70°；
② 若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°-2×40°=100°；
③ 若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=∠A=40°.
综上，∠B=40°或70°或100°.
答案：D
∵ DE⊥AC，∠AED=60°，
∴ ∠A=90°-60°=30°.
∵ AE=CE，
∴ ∠ACE=∠A=30°.
∵ ∠ACB=80°，
∴ ∠BCE=∠ACB-∠ACE=80°-30°=50°.
答案：B
(2)
① 若∠A为顶角，则∠B=∠C=(180°-40°)/2=70°；
② 若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°-2×40°=100°；
③ 若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=∠A=40°.
综上，∠B=40°或70°或100°.
答案：D
3. (1)底角等于顶角一半的等腰三角形的顶角度数是
(2)如图,在△ABC中,角平分线BO和CO相交于点O,OE//AB,OF//AC,BC= 4,则△OEF的周长为
90°
；(2)如图,在△ABC中,角平分线BO和CO相交于点O,OE//AB,OF//AC,BC= 4,则△OEF的周长为
4
.答案：(1)设等腰三角形的顶角为$x$，则底角为$\frac{x}{2}$。
因为三角形内角和为$180^{\circ}$，所以$x + 2×\frac{x}{2}=180^{\circ}$，
即$x + x=180^{\circ}$，$2x=180^{\circ}$，解得$x = 90^{\circ}$。
(2)因为$BO$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABO=\angle EBO$。
又因为$OE// AB$，所以$\angle ABO=\angle EOB$，故$\angle EBO=\angle EOB$，所以$OE = BE$。
同理，$CO$平分$\angle ACB$，$OF// AC$，可得$\angle FCO=\angle FOC$，所以$OF = CF$。
则$\triangle OEF$的周长为$OE + EF + OF=BE + EF + CF=BC=4$。
答案：(1)$90^{\circ}$；(2)$4$。
因为三角形内角和为$180^{\circ}$，所以$x + 2×\frac{x}{2}=180^{\circ}$，
即$x + x=180^{\circ}$，$2x=180^{\circ}$，解得$x = 90^{\circ}$。
(2)因为$BO$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABO=\angle EBO$。
又因为$OE// AB$，所以$\angle ABO=\angle EOB$，故$\angle EBO=\angle EOB$，所以$OE = BE$。
同理，$CO$平分$\angle ACB$，$OF// AC$，可得$\angle FCO=\angle FOC$，所以$OF = CF$。
则$\triangle OEF$的周长为$OE + EF + OF=BE + EF + CF=BC=4$。
答案：(1)$90^{\circ}$；(2)$4$。