例1 如图1-25,在△ABC中,边AB的垂直平分线分别与边AB,BC交于点D,E,边AC的垂直平分线分别与边AC,BC交于点F,G.求△AEG的周长需要添加什么条件? 求∠EAG的度数需要添加什么条件?
答案：解：
1. 求△AEG的周长需要添加的条件：BC的长。
理由：∵DE垂直平分AB，∴EA=EB；∵FG垂直平分AC，∴GA=GC。
∴△AEG的周长=EA+EG+GA=EB+EG+GC=BC。
2. 求∠EAG的度数需要添加的条件：∠B和∠C的度数（或∠BAC的度数）。
理由：设∠B=x，∠C=y，则∠BAC=180°-x-y。
∵EA=EB，GA=GC，∴∠EAB=∠B=x，∠GAC=∠C=y。
∴∠EAG=∠BAC-∠EAB-∠GAC=180°-x-y-x-y=180°-2(x+y)（或直接用∠BAC -∠B -∠C）。
结论：求△AEG的周长需添加BC的长；求∠EAG的度数需添加∠B和∠C的度数（或∠BAC的度数）。
1. 求△AEG的周长需要添加的条件：BC的长。
理由：∵DE垂直平分AB，∴EA=EB；∵FG垂直平分AC，∴GA=GC。
∴△AEG的周长=EA+EG+GA=EB+EG+GC=BC。
2. 求∠EAG的度数需要添加的条件：∠B和∠C的度数（或∠BAC的度数）。
理由：设∠B=x，∠C=y，则∠BAC=180°-x-y。
∵EA=EB，GA=GC，∴∠EAB=∠B=x，∠GAC=∠C=y。
∴∠EAG=∠BAC-∠EAB-∠GAC=180°-x-y-x-y=180°-2(x+y)（或直接用∠BAC -∠B -∠C）。
结论：求△AEG的周长需添加BC的长；求∠EAG的度数需添加∠B和∠C的度数（或∠BAC的度数）。
例2 如图1-26,在△ABC中,分别以AB,AC为边作等边三角形ABE和等边三角形ACD,BD,CE相交于点O.
(1) BD与CE相等吗?为什么?
(2) 要使△ABE与△ACD全等,至少需要添加什么条件?在此条件下,整个图形是轴对称图形吗?
(1) BD与CE相等吗?为什么?
(2) 要使△ABE与△ACD全等,至少需要添加什么条件?在此条件下,整个图形是轴对称图形吗?
答案：【解析】：
(1)本题可根据等边三角形的性质得出相关边和角的关系，再通过全等三角形的判定定理证明$\triangle ABD\cong\triangle EAC$，进而得出$BD$与$CE$的关系。
步骤一：分析等边三角形的性质
已知$\triangle ABE$和$\triangle ACD$都是等边三角形，根据等边三角形的性质可知：
$AB = AE$，$AD = AC$；
$\angle BAE = \angle CAD = 60^{\circ}$。
步骤二：求出$\angle BAD$与$\angle EAC$的关系
因为$\angle BAE + \angle BAC = \angle CAD + \angle BAC$，所以$\angle BAD = \angle EAC$。
步骤三：证明$\triangle ABD\cong\triangle EAC$
在$\triangle ABD$和$\triangle EAC$中，$\begin{cases}AB = AE\\\angle BAD = \angle EAC\\AD = AC\end{cases}$，根据全等三角形的判定定理（$SAS$：两边及其夹角对应相等的三角形全等），可得$\triangle ABD\cong\triangle EAC$。
步骤四：得出$BD$与$CE$的关系
由于全等三角形的对应边相等，因为$\triangle ABD\cong\triangle EAC$，所以$BD = CE$。
(2)本题可根据全等三角形的判定条件来确定使$\triangle ABE$与$\triangle ACD$全等需要添加的条件，再根据轴对称图形的定义判断整个图形是否为轴对称图形。
步骤一：确定使$\triangle ABE$与$\triangle ACD$全等需要添加的条件
已知$\triangle ABE$和$\triangle ACD$都是等边三角形，则$AB = AE$，$AC = AD$，$\angle BAE = \angle CAD = 60^{\circ}$。
根据全等三角形的判定定理（$SAS$：两边及其夹角对应相等的三角形全等），当$AB = AC$（或$AE = AD$）时，$\triangle ABE\cong\triangle ACD$。
步骤二：判断整个图形是否为轴对称图形
当$AB = AC$时，因为$\triangle ABE$和$\triangle ACD$是等边三角形，所以$AB = AE = AC = AD$，$\angle BAE = \angle CAD = 60^{\circ}$，则$\angle BAC = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 60^{\circ} = 60^{\circ}$。
此时$\triangle ABC$和$\triangle ADE$都是等边三角形，整个图形关于直线$AO$对称（$AO$是$\angle BAC$和$\angle DAE$的角平分线），所以整个图形是轴对称图形。
【答案】：
(1)$BD$与$CE$相等。理由如下：
$\because\triangle ABE$和$\triangle ACD$都是等边三角形，
$\therefore AB = AE$，$AD = AC$，$\angle BAE = \angle CAD = 60^{\circ}$。
$\because\angle BAE + \angle BAC = \angle CAD + \angle BAC$，
$\therefore\angle BAD = \angle EAC$。
在$\triangle ABD$和$\triangle EAC$中，$\begin{cases}AB = AE\\\angle BAD = \angle EAC\\AD = AC\end{cases}$，
$\therefore\triangle ABD\cong\triangle EAC(SAS)$，
$\therefore BD = CE$。
(2)添加条件$AB = AC$（或$AE = AD$）。在此条件下，整个图形是轴对称图形。
(1)本题可根据等边三角形的性质得出相关边和角的关系，再通过全等三角形的判定定理证明$\triangle ABD\cong\triangle EAC$，进而得出$BD$与$CE$的关系。
步骤一：分析等边三角形的性质
已知$\triangle ABE$和$\triangle ACD$都是等边三角形，根据等边三角形的性质可知：
$AB = AE$，$AD = AC$；
$\angle BAE = \angle CAD = 60^{\circ}$。
步骤二：求出$\angle BAD$与$\angle EAC$的关系
因为$\angle BAE + \angle BAC = \angle CAD + \angle BAC$，所以$\angle BAD = \angle EAC$。
步骤三：证明$\triangle ABD\cong\triangle EAC$
在$\triangle ABD$和$\triangle EAC$中，$\begin{cases}AB = AE\\\angle BAD = \angle EAC\\AD = AC\end{cases}$，根据全等三角形的判定定理（$SAS$：两边及其夹角对应相等的三角形全等），可得$\triangle ABD\cong\triangle EAC$。
步骤四：得出$BD$与$CE$的关系
由于全等三角形的对应边相等，因为$\triangle ABD\cong\triangle EAC$，所以$BD = CE$。
(2)本题可根据全等三角形的判定条件来确定使$\triangle ABE$与$\triangle ACD$全等需要添加的条件，再根据轴对称图形的定义判断整个图形是否为轴对称图形。
步骤一：确定使$\triangle ABE$与$\triangle ACD$全等需要添加的条件
已知$\triangle ABE$和$\triangle ACD$都是等边三角形，则$AB = AE$，$AC = AD$，$\angle BAE = \angle CAD = 60^{\circ}$。
根据全等三角形的判定定理（$SAS$：两边及其夹角对应相等的三角形全等），当$AB = AC$（或$AE = AD$）时，$\triangle ABE\cong\triangle ACD$。
步骤二：判断整个图形是否为轴对称图形
当$AB = AC$时，因为$\triangle ABE$和$\triangle ACD$是等边三角形，所以$AB = AE = AC = AD$，$\angle BAE = \angle CAD = 60^{\circ}$，则$\angle BAC = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 60^{\circ} = 60^{\circ}$。
此时$\triangle ABC$和$\triangle ADE$都是等边三角形，整个图形关于直线$AO$对称（$AO$是$\angle BAC$和$\angle DAE$的角平分线），所以整个图形是轴对称图形。
【答案】：
(1)$BD$与$CE$相等。理由如下：
$\because\triangle ABE$和$\triangle ACD$都是等边三角形，
$\therefore AB = AE$，$AD = AC$，$\angle BAE = \angle CAD = 60^{\circ}$。
$\because\angle BAE + \angle BAC = \angle CAD + \angle BAC$，
$\therefore\angle BAD = \angle EAC$。
在$\triangle ABD$和$\triangle EAC$中，$\begin{cases}AB = AE\\\angle BAD = \angle EAC\\AD = AC\end{cases}$，
$\therefore\triangle ABD\cong\triangle EAC(SAS)$，
$\therefore BD = CE$。
(2)添加条件$AB = AC$（或$AE = AD$）。在此条件下，整个图形是轴对称图形。