2. 填空题:
(1)4的算术平方根是
(1)4的算术平方根是
2
,2的算术平方根是$\sqrt{2}$
.答案：【解析】：
本题考查了平方根的概念，算术平方根的定义。算术平方根是指一个数的平方根，用符号$\sqrt{}$表示。对于非负数$a$，其算术平方根是一个非负数，该数的平方等于$a$。
对于$4$，我们需要找到一个数，使其平方等于$4$，显然这个数是$2$，因为$2^2 = 4$。
对于$2$，其算术平方根是$\sqrt{2}$，因为$(\sqrt{2})^2 = 2$。
【答案】：
(1) $2$；$\sqrt{2}$。
本题考查了平方根的概念，算术平方根的定义。算术平方根是指一个数的平方根，用符号$\sqrt{}$表示。对于非负数$a$，其算术平方根是一个非负数，该数的平方等于$a$。
对于$4$，我们需要找到一个数，使其平方等于$4$，显然这个数是$2$，因为$2^2 = 4$。
对于$2$，其算术平方根是$\sqrt{2}$，因为$(\sqrt{2})^2 = 2$。
【答案】：
(1) $2$；$\sqrt{2}$。
(2)$\sqrt{49}$的算术平方根是
$\sqrt{7}$
.答案：【解析】：
本题主要考查平方根和算术平方根的概念。首先，我们需要求出$\sqrt{49}$的值，然后再求这个值的算术平方根。
1. 根据平方根的定义，我们知道一个非负数的平方根是其正的平方根，所以$\sqrt{49} = 7$。
2. 接着，我们需要求出7的算术平方根，即求一个非负数，其平方等于7。这个数就是$\sqrt{7}$。
所以，$\sqrt{49}$的算术平方根是$\sqrt{7}$。
【答案】：
$\sqrt{7}$
本题主要考查平方根和算术平方根的概念。首先，我们需要求出$\sqrt{49}$的值，然后再求这个值的算术平方根。
1. 根据平方根的定义，我们知道一个非负数的平方根是其正的平方根，所以$\sqrt{49} = 7$。
2. 接着，我们需要求出7的算术平方根，即求一个非负数，其平方等于7。这个数就是$\sqrt{7}$。
所以，$\sqrt{49}$的算术平方根是$\sqrt{7}$。
【答案】：
$\sqrt{7}$
(3)请你观察下列计算过程:
因为$11^{2}= 121$,所以$\sqrt{121}= 11$.
同样因为$111^{2}= 12321$,所以$\sqrt{12321}= 111$.
因为$1111^{2}= 1234321$,所以$\sqrt{1234321}= 1111$.
……
由此猜想$\sqrt{12345678987654321}= $
因为$11^{2}= 121$,所以$\sqrt{121}= 11$.
同样因为$111^{2}= 12321$,所以$\sqrt{12321}= 111$.
因为$1111^{2}= 1234321$,所以$\sqrt{1234321}= 1111$.
……
由此猜想$\sqrt{12345678987654321}= $
111111111
.答案：解：观察已知计算过程可得规律：$n$个$1$组成的数的平方，结果是从$1$开始递增到$n$，再递减到$1$。
因为$\sqrt{121}$中数字从$1$递增到$2$再递减到$1$，对应$2$个$1$，即$11$；$\sqrt{12321}$中数字从$1$递增到$3$再递减到$1$，对应$3$个$1$，即$111$；$\sqrt{1234321}$中数字从$1$递增到$4$再递减到$1$，对应$4$个$1$，即$1111$。
而$\sqrt{12345678987654321}$中数字从$1$递增到$9$再递减到$1$，所以对应$9$个$1$，即$111111111$。
故答案为：$111111111$。
因为$\sqrt{121}$中数字从$1$递增到$2$再递减到$1$，对应$2$个$1$，即$11$；$\sqrt{12321}$中数字从$1$递增到$3$再递减到$1$，对应$3$个$1$，即$111$；$\sqrt{1234321}$中数字从$1$递增到$4$再递减到$1$，对应$4$个$1$，即$1111$。
而$\sqrt{12345678987654321}$中数字从$1$递增到$9$再递减到$1$，所以对应$9$个$1$，即$111111111$。
故答案为：$111111111$。
3. 求下列各数的算术平方根:
(1)900；
(2)2.25；
(3)$\frac{49}{64}$；
(4)$1\frac{9}{16}$.
(1)900；
(2)2.25；
(3)$\frac{49}{64}$；
(4)$1\frac{9}{16}$.
答案：(1)解：因为$30^2 = 900$，所以900的算术平方根是30。
(2)解：因为$1.5^2 = 2.25$，所以2.25的算术平方根是1.5。
(3)解：因为$(\frac{7}{8})^2 = \frac{49}{64}$，所以$\frac{49}{64}$的算术平方根是$\frac{7}{8}$。
(4)解：$1\frac{9}{16} = \frac{25}{16}$，因为$(\frac{5}{4})^2 = \frac{25}{16}$，所以$1\frac{9}{16}$的算术平方根是$\frac{5}{4}$。
(2)解：因为$1.5^2 = 2.25$，所以2.25的算术平方根是1.5。
(3)解：因为$(\frac{7}{8})^2 = \frac{49}{64}$，所以$\frac{49}{64}$的算术平方根是$\frac{7}{8}$。
(4)解：$1\frac{9}{16} = \frac{25}{16}$，因为$(\frac{5}{4})^2 = \frac{25}{16}$，所以$1\frac{9}{16}$的算术平方根是$\frac{5}{4}$。
4. 在算术平方根的学习中,我们做过以下思考:
(1)①$(\sqrt{9})^{2}=$
(2)①$(\sqrt{2})^{2}=$
(3)你有什么发现? 你能根据算术平方根的定义等知识,说明你发现的理由吗? 你能用符号语言描述你的发现吗?
发现：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数.
理由：设$a\geq0$，因为$\sqrt{a}$是$a$的算术平方根，所以$(\sqrt{a})^2=a$.
符号语言：$(\sqrt{a})^2=a(a\geq0)$.
(1)①$(\sqrt{9})^{2}=$
9
;②$(\sqrt{\frac{1}{4}})^{2}=$$\frac{1}{4}$
;③$(\sqrt{0.01})^{2}=$0.01
.(2)①$(\sqrt{2})^{2}=$
2
;②$(\sqrt{3})^{2}=$3
;③$(\sqrt{5})^{2}=$5
.(3)你有什么发现? 你能根据算术平方根的定义等知识,说明你发现的理由吗? 你能用符号语言描述你的发现吗?
发现：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数.
理由：设$a\geq0$，因为$\sqrt{a}$是$a$的算术平方根，所以$(\sqrt{a})^2=a$.
符号语言：$(\sqrt{a})^2=a(a\geq0)$.
答案：(1)①9；②$\frac{1}{4}$；③0.01.
(2)①2；②3；③5.
(3)发现：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数.
理由：设$a\geq0$，因为$\sqrt{a}$是$a$的算术平方根，所以$(\sqrt{a})^2=a$.
符号语言：$(\sqrt{a})^2=a(a\geq0)$.
(2)①2；②3；③5.
(3)发现：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数.
理由：设$a\geq0$，因为$\sqrt{a}$是$a$的算术平方根，所以$(\sqrt{a})^2=a$.
符号语言：$(\sqrt{a})^2=a(a\geq0)$.