一个正方形的面积扩大为原来的4倍,它的边长变为原来的多少倍? 面积扩大为原来的9倍呢？10倍呢？
答案：【解析】：
本题主要考察平方根和算术平方根的概念以及代数表达式的建立和求解。
设原正方形的边长为$a$，则原面积为$a^2$。
当面积扩大为原来的4倍时，新的面积为$4a^2$。
设新的边长为$b$，则$b^2 = 4a^2$。
解得$b = 2a$（负值舍去，因为边长不能为负）。
所以，边长变为原来的2倍。
当面积扩大为原来的9倍时，新的面积为$9a^2$。
设新的边长为$c$，则$c^2 = 9a^2$。
解得$c = 3a$（负值舍去）。
所以，边长变为原来的3倍。
当面积扩大为原来的10倍时，新的面积为$10a^2$。
设新的边长为$d$，则$d^2 = 10a^2$。
解得$d = \sqrt{10}a$（负值舍去）。
所以，边长变为原来的$\sqrt{10}$倍。
【答案】：
当正方形的面积扩大为原来的4倍时，它的边长变为原来的2倍；
当面积扩大为原来的9倍时，边长变为原来的3倍；
当面积扩大为原来的10倍时，边长变为原来的$\sqrt{10}$倍。
本题主要考察平方根和算术平方根的概念以及代数表达式的建立和求解。
设原正方形的边长为$a$，则原面积为$a^2$。
当面积扩大为原来的4倍时，新的面积为$4a^2$。
设新的边长为$b$，则$b^2 = 4a^2$。
解得$b = 2a$（负值舍去，因为边长不能为负）。
所以，边长变为原来的2倍。
当面积扩大为原来的9倍时，新的面积为$9a^2$。
设新的边长为$c$，则$c^2 = 9a^2$。
解得$c = 3a$（负值舍去）。
所以，边长变为原来的3倍。
当面积扩大为原来的10倍时，新的面积为$10a^2$。
设新的边长为$d$，则$d^2 = 10a^2$。
解得$d = \sqrt{10}a$（负值舍去）。
所以，边长变为原来的$\sqrt{10}$倍。
【答案】：
当正方形的面积扩大为原来的4倍时，它的边长变为原来的2倍；
当面积扩大为原来的9倍时，边长变为原来的3倍；
当面积扩大为原来的10倍时，边长变为原来的$\sqrt{10}$倍。
例1 求下列各数的算术平方根:
(1)10000；
(2)$\frac{9}{16}$；
(3)0.25；
(4)$10^{6}$.
(1)10000；
(2)$\frac{9}{16}$；
(3)0.25；
(4)$10^{6}$.
答案：解：(1)因为$100^{2}=10000$，所以10000的算术平方根是100。
(2)因为$(\frac{3}{4})^{2}=\frac{9}{16}$，所以$\frac{9}{16}$的算术平方根是$\frac{3}{4}$。
(3)因为$0.5^{2}=0.25$，所以0.25的算术平方根是0.5。
(4)因为$(10^{3})^{2}=10^{6}$，所以$10^{6}$的算术平方根是$10^{3}$（即1000）。
(2)因为$(\frac{3}{4})^{2}=\frac{9}{16}$，所以$\frac{9}{16}$的算术平方根是$\frac{3}{4}$。
(3)因为$0.5^{2}=0.25$，所以0.25的算术平方根是0.5。
(4)因为$(10^{3})^{2}=10^{6}$，所以$10^{6}$的算术平方根是$10^{3}$（即1000）。
例2 小丽准备用一张面积为$400\ cm^2$的正方形纸片,沿着边的方向裁出一张面积为$300\ cm^2$的长方形纸片,使它的长宽之比为$3:2$.她不知能否裁得出来,正在发愁.小明说:"别发愁,一定能用一张面积大的纸片裁出一张面积小的纸片."你同意小明的说法吗? 小丽能用这张正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片吗?
答案：【解析】：
本题主要考察平方根的应用以及长方形与正方形的面积计算。
首先，我们需要根据给定的长方形面积和长宽比，求出长方形的长和宽。
然后，我们需要求出正方形纸片的边长。
最后，我们比较长方形的长与正方形的边长，以确定是否能从正方形中裁出长方形。
设长方形的长为 $3x \, cm$，宽为 $2x \, cm$。
根据长方形的面积公式，有 $3x × 2x = 300$。
解这个方程，我们得到 $6x^2 = 300$，进一步解得 $x^2 = 50$，所以 $x = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$。
因此，长方形的长 $l = 3x = 15\sqrt{2} \, cm$，宽 $w = 2x = 10\sqrt{2} \, cm$。
正方形纸片的面积为 $400 \, cm^2$，所以其边长 $a = \sqrt{400} = 20 \, cm$。
比较长方形的长 $l = 15\sqrt{2} \, cm$ 和正方形的边长 $a = 20 \, cm$，
因为 $15\sqrt{2} ＞ 20$（实际上 $15\sqrt{2} \approx 21.21 ＞ 20$），
所以长方形的长大于正方形的边长，因此不能从正方形中裁出这样的长方形。
【答案】：
不同意小明的说法。小丽不能用这张正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片。
本题主要考察平方根的应用以及长方形与正方形的面积计算。
首先，我们需要根据给定的长方形面积和长宽比，求出长方形的长和宽。
然后，我们需要求出正方形纸片的边长。
最后，我们比较长方形的长与正方形的边长，以确定是否能从正方形中裁出长方形。
设长方形的长为 $3x \, cm$，宽为 $2x \, cm$。
根据长方形的面积公式，有 $3x × 2x = 300$。
解这个方程，我们得到 $6x^2 = 300$，进一步解得 $x^2 = 50$，所以 $x = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$。
因此，长方形的长 $l = 3x = 15\sqrt{2} \, cm$，宽 $w = 2x = 10\sqrt{2} \, cm$。
正方形纸片的面积为 $400 \, cm^2$，所以其边长 $a = \sqrt{400} = 20 \, cm$。
比较长方形的长 $l = 15\sqrt{2} \, cm$ 和正方形的边长 $a = 20 \, cm$，
因为 $15\sqrt{2} ＞ 20$（实际上 $15\sqrt{2} \approx 21.21 ＞ 20$），
所以长方形的长大于正方形的边长，因此不能从正方形中裁出这样的长方形。
【答案】：
不同意小明的说法。小丽不能用这张正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片。
1. 选择题:
(1)4的算术平方根是(
A. $\pm2$
B. 2
C. $\pm\sqrt{2}$
D. $\sqrt{2}$
(1)4的算术平方根是(
B
).A. $\pm2$
B. 2
C. $\pm\sqrt{2}$
D. $\sqrt{2}$
答案：【解析】：
本题考查算术平方根的知识点。算术平方根是一个数的平方根，且这个数是非负的。因为$2^2 = 4$，所以4的算术平方根是2。
【答案】：
B. 2
本题考查算术平方根的知识点。算术平方根是一个数的平方根，且这个数是非负的。因为$2^2 = 4$，所以4的算术平方根是2。
【答案】：
B. 2
(2)下列式子中,正确的是(
A.$\sqrt{25}= \pm5$
B.$\sqrt{3^{2}}= \pm3$
C.$\sqrt{25}= 5$
D.$\sqrt{3^{2}}= -3$
C
).A.$\sqrt{25}= \pm5$
B.$\sqrt{3^{2}}= \pm3$
C.$\sqrt{25}= 5$
D.$\sqrt{3^{2}}= -3$
答案：【解析】：
本题主要考察平方根的定义及算术平方根的性质。
A选项：根据算术平方根的定义，$\sqrt{25}$ 表示25的非负平方根，所以 $\sqrt{25} = 5$，而不是 $\pm 5$。故A选项错误。
B选项：同样地，根据算术平方根的定义，$\sqrt{3^2}$ 表示 $3^2$（即9）的非负平方根，所以 $\sqrt{3^2} = 3$，而不是 $\pm 3$。故B选项错误。
C选项：$\sqrt{25} = 5$，与算术平方根的定义相符。故C选项正确。
D选项：$\sqrt{3^2}$ 表示 $3^2$（即9）的非负平方根，所以 $\sqrt{3^2} = 3$，而不是 -3。故D选项错误。
综上所述，正确答案是C。
【答案】：
C
本题主要考察平方根的定义及算术平方根的性质。
A选项：根据算术平方根的定义，$\sqrt{25}$ 表示25的非负平方根，所以 $\sqrt{25} = 5$，而不是 $\pm 5$。故A选项错误。
B选项：同样地，根据算术平方根的定义，$\sqrt{3^2}$ 表示 $3^2$（即9）的非负平方根，所以 $\sqrt{3^2} = 3$，而不是 $\pm 3$。故B选项错误。
C选项：$\sqrt{25} = 5$，与算术平方根的定义相符。故C选项正确。
D选项：$\sqrt{3^2}$ 表示 $3^2$（即9）的非负平方根，所以 $\sqrt{3^2} = 3$，而不是 -3。故D选项错误。
综上所述，正确答案是C。
【答案】：
C
(3)下列式子中,正确的是(
A.$\sqrt{(-2)^{2}}= -2$
B.$(-\sqrt{3})^{2}= 9$
C.$\sqrt{(-9)^{2}}= \pm3$
D.$\sqrt{(-3)^{2}}= 3$
D
).A.$\sqrt{(-2)^{2}}= -2$
B.$(-\sqrt{3})^{2}= 9$
C.$\sqrt{(-9)^{2}}= \pm3$
D.$\sqrt{(-3)^{2}}= 3$
答案：【解析】：
本题主要考察平方根的定义及性质，特别是算术平方根的概念。
A. 对于$\sqrt{(-2)^{2}}$，首先计算内部的平方：$(-2)^{2} = 4$，再对4开平方得2，所以$\sqrt{(-2)^{2}} = 2$，与选项A中的-2不符，故A错误。
B. 对于$(-\sqrt{3})^{2}$，直接计算得：$(-\sqrt{3})^{2} = 3$，与选项B中的9不符，故B错误。
C. 对于$\sqrt{(-9)^{2}}$，首先计算内部的平方：$(-9)^{2} = 81$，再对81开平方得9，算术平方根总是非负的，所以$\sqrt{(-9)^{2}} = 9$，并不等于$\pm3$，故C错误。
D. 对于$\sqrt{(-3)^{2}}$，首先计算内部的平方：$(-3)^{2} = 9$，再对9开平方得3，所以$\sqrt{(-3)^{2}} = 3$，与选项D中的3相符，故D正确。
【答案】：
D
本题主要考察平方根的定义及性质，特别是算术平方根的概念。
A. 对于$\sqrt{(-2)^{2}}$，首先计算内部的平方：$(-2)^{2} = 4$，再对4开平方得2，所以$\sqrt{(-2)^{2}} = 2$，与选项A中的-2不符，故A错误。
B. 对于$(-\sqrt{3})^{2}$，直接计算得：$(-\sqrt{3})^{2} = 3$，与选项B中的9不符，故B错误。
C. 对于$\sqrt{(-9)^{2}}$，首先计算内部的平方：$(-9)^{2} = 81$，再对81开平方得9，算术平方根总是非负的，所以$\sqrt{(-9)^{2}} = 9$，并不等于$\pm3$，故C错误。
D. 对于$\sqrt{(-3)^{2}}$，首先计算内部的平方：$(-3)^{2} = 9$，再对9开平方得3，所以$\sqrt{(-3)^{2}} = 3$，与选项D中的3相符，故D正确。
【答案】：
D