3. 求下列各数的平方根：
(1)$\frac{49}{81}$；
(2)$(-2)^{2}$；
(3)$0.1^{-2}$；
(4)3.
(1)$\frac{49}{81}$；
(2)$(-2)^{2}$；
(3)$0.1^{-2}$；
(4)3.
答案：(1)解：因为$(\pm \frac{7}{9})^{2}=\frac{49}{81}$，所以$\frac{49}{81}$的平方根是$\pm \frac{7}{9}$。
(2)解：$(-2)^{2}=4$，因为$(\pm 2)^{2}=4$，所以$(-2)^{2}$的平方根是$\pm 2$。
(3)解：$0.1^{-2}=(\frac{1}{10})^{-2}=10^{2}=100$，因为$(\pm 10)^{2}=100$，所以$0.1^{-2}$的平方根是$\pm 10$。
(4)解：因为$(\pm \sqrt{3})^{2}=3$，所以$3$的平方根是$\pm \sqrt{3}$。
(2)解：$(-2)^{2}=4$，因为$(\pm 2)^{2}=4$，所以$(-2)^{2}$的平方根是$\pm 2$。
(3)解：$0.1^{-2}=(\frac{1}{10})^{-2}=10^{2}=100$，因为$(\pm 10)^{2}=100$，所以$0.1^{-2}$的平方根是$\pm 10$。
(4)解：因为$(\pm \sqrt{3})^{2}=3$，所以$3$的平方根是$\pm \sqrt{3}$。
4. 求下列各式中的x：
(1)$2x^{2}= 10$；
(2)$3x^{2}-75= 0$.
(1)$2x^{2}= 10$；
(2)$3x^{2}-75= 0$.
答案：【解析】：
本题主要考查平方根的定义及求解一元二次方程。
对于方程$2x^{2}= 10$，可以先将方程化为$x^{2}=a$的形式，再利用平方根的定义求解x的值。
对于方程$3x^{2}-75= 0$，同样先移项使方程变为$x^{2}=a$的形式，再利用平方根的定义求解。
【答案】：
(1)解：
原方程为$2x^{2}= 10$，
两边同时除以2，得$x^{2}= 5$，
根据平方根的定义，若一个数的平方等于a，则这个数为$\pm \sqrt{a}$，
所以$x= \pm \sqrt{5}$，
即$x_{1}= \sqrt{5}$，$x_{2}=- \sqrt{5}$。
(2)解：
原方程为$3x^{2}-75= 0$，
移项得$3x^{2}=75$，
两边同时除以3，得$x^{2}=25$，
根据平方根的定义，得$x= \pm 5$，
即$x_{1}=5$，$x_{2}=-5$。
本题主要考查平方根的定义及求解一元二次方程。
对于方程$2x^{2}= 10$，可以先将方程化为$x^{2}=a$的形式，再利用平方根的定义求解x的值。
对于方程$3x^{2}-75= 0$，同样先移项使方程变为$x^{2}=a$的形式，再利用平方根的定义求解。
【答案】：
(1)解：
原方程为$2x^{2}= 10$，
两边同时除以2，得$x^{2}= 5$，
根据平方根的定义，若一个数的平方等于a，则这个数为$\pm \sqrt{a}$，
所以$x= \pm \sqrt{5}$，
即$x_{1}= \sqrt{5}$，$x_{2}=- \sqrt{5}$。
(2)解：
原方程为$3x^{2}-75= 0$，
移项得$3x^{2}=75$，
两边同时除以3，得$x^{2}=25$，
根据平方根的定义，得$x= \pm 5$，
即$x_{1}=5$，$x_{2}=-5$。
5. 在平方根的学习中,我们做过以下思考：
(1)①$(\sqrt{3})^{2}=$
(2)①$\sqrt{(-3)^{2}}=$
(3)你有什么发现？你能根据平方根的定义等知识,说明你发现的理由吗？你能用符号语言描述你的发现吗？
(1)①$(\sqrt{3})^{2}=$
$3$
；②$\sqrt{(\frac{1}{4})^{2}}=$$\frac{1}{4}$
；③$\sqrt{0.1^{2}}=$$0.1$
.(2)①$\sqrt{(-3)^{2}}=$
$3$
；②$\sqrt{(-\frac{1}{4})^{2}}=$$\frac{1}{4}$
；③$\sqrt{(-0.1)^{2}}=$$0.1$
.(3)你有什么发现？你能根据平方根的定义等知识,说明你发现的理由吗？你能用符号语言描述你的发现吗？
发现：对于任意实数a，有$\sqrt{a^{2}} = |a|$。理由：根据平方根的定义，正数的平方根是其本身，负数的平方是正数，再取平方根还是其绝对值。符号语言描述：对于任意实数a，$\sqrt{a^{2}} = |a|$。
答案：【解析】：
本题主要考查平方根的定义和性质，以及二次根式的性质。
(1) 和
(2) 部分可以直接通过平方根的定义进行计算。
(3) 部分需要观察前两部分的结果，发现规律，并用符号语言描述。
根据平方根的定义，对于非负实数a，有$\sqrt{a^2} = a$；
同时，注意到负数的平方是正数，所以$\sqrt{(-a)^2} = a$，这体现了二次根式的性质$\sqrt{a^2} = |a|$。
【答案】：
(1)
① $(\sqrt{3})^{2} = 3$
② $\sqrt{(\frac{1}{4})^{2}} = \frac{1}{4}$
③ $\sqrt{0.1^{2}} = 0.1$
(2)
① $\sqrt{(-3)^{2}} = 3$
② $\sqrt{(-\frac{1}{4})^{2}} = \frac{1}{4}$
③ $\sqrt{(-0.1)^{2}} = 0.1$
(3)
发现：对于任意实数a，有$\sqrt{a^{2}} = |a|$。
理由：根据平方根的定义，正数的平方根是其本身，负数的平方是正数，再取平方根还是其绝对值。
符号语言描述：对于任意实数a，$\sqrt{a^{2}} = |a|$。
本题主要考查平方根的定义和性质，以及二次根式的性质。
(1) 和
(2) 部分可以直接通过平方根的定义进行计算。
(3) 部分需要观察前两部分的结果，发现规律，并用符号语言描述。
根据平方根的定义，对于非负实数a，有$\sqrt{a^2} = a$；
同时，注意到负数的平方是正数，所以$\sqrt{(-a)^2} = a$，这体现了二次根式的性质$\sqrt{a^2} = |a|$。
【答案】：
(1)
① $(\sqrt{3})^{2} = 3$
② $\sqrt{(\frac{1}{4})^{2}} = \frac{1}{4}$
③ $\sqrt{0.1^{2}} = 0.1$
(2)
① $\sqrt{(-3)^{2}} = 3$
② $\sqrt{(-\frac{1}{4})^{2}} = \frac{1}{4}$
③ $\sqrt{(-0.1)^{2}} = 0.1$
(3)
发现：对于任意实数a，有$\sqrt{a^{2}} = |a|$。
理由：根据平方根的定义，正数的平方根是其本身，负数的平方是正数，再取平方根还是其绝对值。
符号语言描述：对于任意实数a，$\sqrt{a^{2}} = |a|$。