例1 下列各数中,哪些是有理数？哪些是无理数？
$\sqrt{289}$,$\frac{1}{2}$,$\sqrt{5}$,$\frac{22}{7}$,0.2020020002…(相邻的两个2之间依次多一个0),$\sqrt[3]{-27}$,$\frac{\pi}{3}$,$-0.\dot{8}\dot{9}$,$\sqrt[3]{9}$.
$\sqrt{289}$,$\frac{1}{2}$,$\sqrt{5}$,$\frac{22}{7}$,0.2020020002…(相邻的两个2之间依次多一个0),$\sqrt[3]{-27}$,$\frac{\pi}{3}$,$-0.\dot{8}\dot{9}$,$\sqrt[3]{9}$.
答案：【解析】：
本题主要考察有理数和无理数的定义及判断。
有理数是可以表示为两个整数的比的数，包括整数、有限小数和循环小数。
无理数则不能表示为两个整数的比，常见的无理数有开方后不是整数的数值、π、e等。
根据这些定义，我们可以逐一判断给出的数：
$\sqrt{289}$：289是17的平方，所以$\sqrt{289}=17$，是有理数。
$\frac{1}{2}$：是两个整数的比，是有理数。
$\sqrt{5}$：5的平方根不能表示为两个整数的比，是无理数。
$\frac{22}{7}$：是两个整数的比，是有理数。
$0.2020020002\ldots$（相邻的两个2之间依次多一个0）：是无限不循环小数，是无理数。
$\sqrt[3]{-27}$：-27的立方根是-3，是有理数。
$\frac{\pi}{3}$：π是无理数，所以$\frac{\pi}{3}$也是无理数。
$-0.\dot{8}\dot{9}$：是循环小数，是有理数。
$\sqrt[3]{9}$：9的立方根不能表示为两个整数的比，是无理数。
【答案】：
有理数：$\sqrt{289}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{22}{7}$，$\sqrt[3]{-27}$，$-0.\dot{8}\dot{9}$；
无理数：$\sqrt{5}$，$0.2020020002\ldots$（相邻的两个2之间依次多一个0），$\frac{\pi}{3}$，$\sqrt[3]{9}$。
本题主要考察有理数和无理数的定义及判断。
有理数是可以表示为两个整数的比的数，包括整数、有限小数和循环小数。
无理数则不能表示为两个整数的比，常见的无理数有开方后不是整数的数值、π、e等。
根据这些定义，我们可以逐一判断给出的数：
$\sqrt{289}$：289是17的平方，所以$\sqrt{289}=17$，是有理数。
$\frac{1}{2}$：是两个整数的比，是有理数。
$\sqrt{5}$：5的平方根不能表示为两个整数的比，是无理数。
$\frac{22}{7}$：是两个整数的比，是有理数。
$0.2020020002\ldots$（相邻的两个2之间依次多一个0）：是无限不循环小数，是无理数。
$\sqrt[3]{-27}$：-27的立方根是-3，是有理数。
$\frac{\pi}{3}$：π是无理数，所以$\frac{\pi}{3}$也是无理数。
$-0.\dot{8}\dot{9}$：是循环小数，是有理数。
$\sqrt[3]{9}$：9的立方根不能表示为两个整数的比，是无理数。
【答案】：
有理数：$\sqrt{289}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{22}{7}$，$\sqrt[3]{-27}$，$-0.\dot{8}\dot{9}$；
无理数：$\sqrt{5}$，$0.2020020002\ldots$（相邻的两个2之间依次多一个0），$\frac{\pi}{3}$，$\sqrt[3]{9}$。
例2 找一个有理数a,使$-\sqrt{3}＜a＜-\sqrt{2}$.
答案：解：因为$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{3}\approx1.732$，所以$-\sqrt{3}\approx-1.732$，$-\sqrt{2}\approx-1.414$。
在$-1.732$和$-1.414$之间的有理数有很多，例如$-1.5$。
故$a$可以为$-1.5$（答案不唯一）。
在$-1.732$和$-1.414$之间的有理数有很多，例如$-1.5$。
故$a$可以为$-1.5$（答案不唯一）。
1. 填空题：
(1)
(2)
(1)
有理数
和无理数
统称为实数；(2)
实数
与数轴上的点一一对应.答案：【解析】：
本题考查了实数的基本概念和实数与数轴的关系。
对于填空(1)，需要明确实数的定义，实数包括有理数和无理数。
对于填空(2)，需要理解实数与数轴的关系，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点也都对应一个实数。
【答案】：
(1)有理数；无理数
(2)实数
本题考查了实数的基本概念和实数与数轴的关系。
对于填空(1)，需要明确实数的定义，实数包括有理数和无理数。
对于填空(2)，需要理解实数与数轴的关系，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点也都对应一个实数。
【答案】：
(1)有理数；无理数
(2)实数
2. 判断题(正确的打“√”,错误的打“×”)：
(1)实数包括正实数、0、负实数；(
(2)所有有理数都可以用数轴上的点表示,反过来,数轴上所有的点都表示有理数.(
(1)实数包括正实数、0、负实数；(
√
)(2)所有有理数都可以用数轴上的点表示,反过来,数轴上所有的点都表示有理数.(
×
)答案：【解析】：
本题考查实数的定义和性质以及实数与数轴的关系。
(1) 对于第一个判断题，实数确实包括正实数、0和负实数。这是实数的定义之一，所以第一个判断题是正确的。
(2) 对于第二个判断题，虽然所有的有理数都可以在数轴上找到对应的点，但数轴上的点并不都表示有理数。例如，π和$\sqrt{2}$等无理数也可以在数轴上找到对应的点。因此，第二个判断题是错误的。
【答案】：
(1) √
(2) ×
本题考查实数的定义和性质以及实数与数轴的关系。
(1) 对于第一个判断题，实数确实包括正实数、0和负实数。这是实数的定义之一，所以第一个判断题是正确的。
(2) 对于第二个判断题，虽然所有的有理数都可以在数轴上找到对应的点，但数轴上的点并不都表示有理数。例如，π和$\sqrt{2}$等无理数也可以在数轴上找到对应的点。因此，第二个判断题是错误的。
【答案】：
(1) √
(2) ×
3. 将下列实数与图中数轴上标有字母的点对应起来.
$\sqrt{2}$,$-1.5$,$\sqrt{5}$,$\pi$,3
]
$\sqrt{2}$,$-1.5$,$\sqrt{5}$,$\pi$,3
]
答案：【解析】：
本题考查实数与数轴的关系，及实数在数轴上的位置判断，需要先判断各实数的大小，再与数轴上的点对应。
先分析已知的实数大小：
对于$\sqrt{2}$，因为$1^2 = 1$，$2^2 = 4$，且$1\lt 2\lt 4$，根据算术平方根的性质，可得$1\lt \sqrt{2}\lt 2$。
对于$-1.5$，它是一个负数，其值就是$-1.5$。
对于$\sqrt{5}$，由于$2^2 = 4$，$3^2 = 9$，且$4\lt 5\lt 9$，根据算术平方根的性质，可得$2\lt \sqrt{5}\lt 3$。
对于$\pi$，$\pi$是一个无限不循环小数，其近似值为$3.14$，所以$3\lt \pi\lt 4$。
数字$3$就是数轴上的$3$这个位置。
再与数轴上的点对应：
观察数轴可知，点$A$在$-2$和$0$之间且靠近$-2$，$-1.5$在$-2$和$0$之间且靠近$-2$的一半位置，所以$-1.5$与点$A$对应。
点$B$在$0$和$2$之间且靠近$0$，因为$1\lt \sqrt{2}\lt 2$，所以$\sqrt{2}$与点$B$对应。
点$C$在$2$和$3$之间，由于$2\lt \sqrt{5}\lt 3$，所以$\sqrt{5}$与点$C$对应。
点$D$在$3$和$4$之间且靠近$3$，因为$3\lt \pi\lt 4$，所以$\pi$与点$D$对应。
点$E$在$3$这个位置，所以$3$与点$E$对应。
【答案】：
$-1.5$与点$A$对应；$\sqrt{2}$与点$B$对应；$\sqrt{5}$与点$C$对应；$\pi$与点$D$对应；$3$与点$E$对应。
本题考查实数与数轴的关系，及实数在数轴上的位置判断，需要先判断各实数的大小，再与数轴上的点对应。
先分析已知的实数大小：
对于$\sqrt{2}$，因为$1^2 = 1$，$2^2 = 4$，且$1\lt 2\lt 4$，根据算术平方根的性质，可得$1\lt \sqrt{2}\lt 2$。
对于$-1.5$，它是一个负数，其值就是$-1.5$。
对于$\sqrt{5}$，由于$2^2 = 4$，$3^2 = 9$，且$4\lt 5\lt 9$，根据算术平方根的性质，可得$2\lt \sqrt{5}\lt 3$。
对于$\pi$，$\pi$是一个无限不循环小数，其近似值为$3.14$，所以$3\lt \pi\lt 4$。
数字$3$就是数轴上的$3$这个位置。
再与数轴上的点对应：
观察数轴可知，点$A$在$-2$和$0$之间且靠近$-2$，$-1.5$在$-2$和$0$之间且靠近$-2$的一半位置，所以$-1.5$与点$A$对应。
点$B$在$0$和$2$之间且靠近$0$，因为$1\lt \sqrt{2}\lt 2$，所以$\sqrt{2}$与点$B$对应。
点$C$在$2$和$3$之间，由于$2\lt \sqrt{5}\lt 3$，所以$\sqrt{5}$与点$C$对应。
点$D$在$3$和$4$之间且靠近$3$，因为$3\lt \pi\lt 4$，所以$\pi$与点$D$对应。
点$E$在$3$这个位置，所以$3$与点$E$对应。
【答案】：
$-1.5$与点$A$对应；$\sqrt{2}$与点$B$对应；$\sqrt{5}$与点$C$对应；$\pi$与点$D$对应；$3$与点$E$对应。