5. 如图,在△ABC中,CD是边AB上的高,AC= 8,BC= 6,$DB= \frac{18}{5}$.
(1)求AD的长.
(2)求证:△ABC是直角三角形.
(1)求AD的长.
(2)求证:△ABC是直角三角形.
答案：【解析】：本题主要考查勾股定理的运用及直角三角形的判定。
（1）要求$AD$的长，由于$CD$是边$AB$上的高，所以在$Rt\triangle BCD$和$Rt\triangle ACD$中，可利用勾股定理求出$CD$的长度，再在$Rt\triangle ACD$中求出$AD$的长度。
（2）要证明$\triangle ABC$是直角三角形，可通过求出$AB$的长度，再利用勾股定理的逆定理来证明。
【答案】：(1)
解：因为$CD$是边$AB$上的高，所以$\triangle BCD$和$\triangle ACD$都是直角三角形。
在$Rt\triangle BCD$中，根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边），已知$BC = 6$，$DB=\frac{18}{5}$，则：
$CD=\sqrt{BC^{2}-DB^{2}}=\sqrt{6^{2}-(\frac{18}{5})^{2}}=\sqrt{36 - \frac{324}{25}}=\sqrt{\frac{900 - 324}{25}}=\sqrt{\frac{576}{25}}=\frac{24}{5}$
在$Rt\triangle ACD$中，$AC = 8$，$CD=\frac{24}{5}$，再根据勾股定理可得：
$AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{8^{2}-(\frac{24}{5})^{2}}=\sqrt{64 - \frac{576}{25}}=\sqrt{\frac{1600 - 576}{25}}=\sqrt{\frac{1024}{25}}=\frac{32}{5}$
所以，$AD$的长为$\frac{32}{5}$。
(2)
证明：
因为$AD=\frac{32}{5}$，$DB=\frac{18}{5}$，所以$AB = AD + DB=\frac{32}{5}+\frac{18}{5}=\frac{50}{5}=10$。
已知$AC = 8$，$BC = 6$，计算可得$AC^{2}+BC^{2}=8^{2}+6^{2}=64 + 36 = 100$，而$AB^{2}=10^{2}=100$。
所以$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，根据勾股定理的逆定理，若一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，所以$\triangle ABC$是直角三角形。
（1）要求$AD$的长，由于$CD$是边$AB$上的高，所以在$Rt\triangle BCD$和$Rt\triangle ACD$中，可利用勾股定理求出$CD$的长度，再在$Rt\triangle ACD$中求出$AD$的长度。
（2）要证明$\triangle ABC$是直角三角形，可通过求出$AB$的长度，再利用勾股定理的逆定理来证明。
【答案】：(1)
解：因为$CD$是边$AB$上的高，所以$\triangle BCD$和$\triangle ACD$都是直角三角形。
在$Rt\triangle BCD$中，根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边），已知$BC = 6$，$DB=\frac{18}{5}$，则：
$CD=\sqrt{BC^{2}-DB^{2}}=\sqrt{6^{2}-(\frac{18}{5})^{2}}=\sqrt{36 - \frac{324}{25}}=\sqrt{\frac{900 - 324}{25}}=\sqrt{\frac{576}{25}}=\frac{24}{5}$
在$Rt\triangle ACD$中，$AC = 8$，$CD=\frac{24}{5}$，再根据勾股定理可得：
$AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{8^{2}-(\frac{24}{5})^{2}}=\sqrt{64 - \frac{576}{25}}=\sqrt{\frac{1600 - 576}{25}}=\sqrt{\frac{1024}{25}}=\frac{32}{5}$
所以，$AD$的长为$\frac{32}{5}$。
(2)
证明：
因为$AD=\frac{32}{5}$，$DB=\frac{18}{5}$，所以$AB = AD + DB=\frac{32}{5}+\frac{18}{5}=\frac{50}{5}=10$。
已知$AC = 8$，$BC = 6$，计算可得$AC^{2}+BC^{2}=8^{2}+6^{2}=64 + 36 = 100$，而$AB^{2}=10^{2}=100$。
所以$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，根据勾股定理的逆定理，若一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，所以$\triangle ABC$是直角三角形。
6. 如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,CD⊥AB,垂足为D,设AC= b,BC= a,AB= c,CD= h.
(1)求证:$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}= \frac{1}{h^{2}}$.
(2)求证:以a+b,h,c+h为边构成的三角形是直角三角形.
(1)求证:$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}= \frac{1}{h^{2}}$.
(2)求证:以a+b,h,c+h为边构成的三角形是直角三角形.
答案：【解析】：
本题主要考查勾股定理及逆定理的应用，（1）可通过三角形面积的不同表示方法结合勾股定理来证明$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}} = \frac{1}{h^{2}}$；（2）要证明以$a + b$，$h$，$c + h$为边构成的三角形是直角三角形，只需验证$(a + b)^{2}+h^{2}=(c + h)^{2}$是否成立，可先根据勾股定理及三角形面积公式得到$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，$ab = ch$，再代入验证。
【答案】：
证明：
(1)
∵在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD\perp AB$，
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$，即$ab = ch$。
又∵在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
∴$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=\frac{b^{2}+a^{2}}{a^{2}b^{2}}=\frac{c^{2}}{c^{2}h^{2}}=\frac{1}{h^{2}}$。
(2)
∵$(a + b)^{2}+h^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}+h^{2}$，
把$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，$ab = ch$代入上式得：
$(a + b)^{2}+h^{2}=c^{2}+2ch + h^{2}=(c + h)^{2}$。
根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边$m$，$n$，$p$满足$m^{2}+n^{2}=p^{2}$，那么这个三角形是直角三角形。
所以以$a + b$，$h$，$c + h$为边构成的三角形是直角三角形。
本题主要考查勾股定理及逆定理的应用，（1）可通过三角形面积的不同表示方法结合勾股定理来证明$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}} = \frac{1}{h^{2}}$；（2）要证明以$a + b$，$h$，$c + h$为边构成的三角形是直角三角形，只需验证$(a + b)^{2}+h^{2}=(c + h)^{2}$是否成立，可先根据勾股定理及三角形面积公式得到$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，$ab = ch$，再代入验证。
【答案】：
证明：
(1)
∵在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD\perp AB$，
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$，即$ab = ch$。
又∵在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
∴$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=\frac{b^{2}+a^{2}}{a^{2}b^{2}}=\frac{c^{2}}{c^{2}h^{2}}=\frac{1}{h^{2}}$。
(2)
∵$(a + b)^{2}+h^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}+h^{2}$，
把$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，$ab = ch$代入上式得：
$(a + b)^{2}+h^{2}=c^{2}+2ch + h^{2}=(c + h)^{2}$。
根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边$m$，$n$，$p$满足$m^{2}+n^{2}=p^{2}$，那么这个三角形是直角三角形。
所以以$a + b$，$h$，$c + h$为边构成的三角形是直角三角形。
7. 如图,在长方形ABCD中,AB= 8,BC= 6,点P在AD上,将△ABP沿BP翻折至△EBP的位置,PE与CD相交于点O,EB与CD相交于点F,且OE= OD.
(1)求证:OP= OF.
(2)求AP的长.
(1)求证:OP= OF.
(2)求AP的长.
答案：(1)证明：
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8。
由翻折得：EP=AP，∠E=∠A=90°，EB=AB=8。
在△ODP和△OEF中，
∠D=∠E=90°，OD=OE，∠DOP=∠EOF，
∴△ODP≌△OEF(ASA)，
∴OP=OF。
(2)解：
设AP=EP=x，则PD=AD-AP=6-x。
由△ODP≌△OEF得：EF=PD=6-x，OF=OP。
设OD=OE=y，则OP=OF=PE-OE=x-y，
∴DF=OD+OF=y+(x-y)=x，CF=CD-DF=8-x，
BF=EB-EF=8-(6-x)=x+2。
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，
即6²+(8-x)²=(x+2)²，
解得x=4.8，
∴AP=4.8。
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8。
由翻折得：EP=AP，∠E=∠A=90°，EB=AB=8。
在△ODP和△OEF中，
∠D=∠E=90°，OD=OE，∠DOP=∠EOF，
∴△ODP≌△OEF(ASA)，
∴OP=OF。
(2)解：
设AP=EP=x，则PD=AD-AP=6-x。
由△ODP≌△OEF得：EF=PD=6-x，OF=OP。
设OD=OE=y，则OP=OF=PE-OE=x-y，
∴DF=OD+OF=y+(x-y)=x，CF=CD-DF=8-x，
BF=EB-EF=8-(6-x)=x+2。
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，
即6²+(8-x)²=(x+2)²，
解得x=4.8，
∴AP=4.8。