4. 如图,点D在AC上,点E在AB上,AB= AC,AD= AE.求证：△ABD≌△ACE.
答案：证明：在△ABD和△ACE中
$\begin{cases}AB=AC\\∠A=∠A（公共角）\\AD=AE\end{cases}$
∴△ABD≌△ACE（SAS）
$\begin{cases}AB=AC\\∠A=∠A（公共角）\\AD=AE\end{cases}$
∴△ABD≌△ACE（SAS）
5. 如图,点A,B,C在一条直线上,AD//BE,AD= BC,AB= BE.求证：BD= CE.
答案：【解析】：本题考查全等三角形的判定定理“边角边”，即两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等。要证明$BD = CE$，可通过证明$\triangle ABD$和$\triangle BEC$全等，利用全等三角形的性质得到对应边相等。
已知$AD// BE$，根据两直线平行，同位角相等，可得$\angle A = \angle EBC$。
又已知$AD = BC$，$AB = BE$，在$\triangle ABD$和$\triangle BEC$中，$AB = BE$，$\angle A = \angle EBC$，$AD = BC$，满足全等三角形判定定理“边角边”，所以$\triangle ABD\cong\triangle BEC(SAS)$。
因为全等三角形的对应边相等，$\triangle ABD\cong\triangle BEC$，所以$BD = CE$。
【答案】：证明：
∵$AD// BE$，
∴$\angle A = \angle EBC$。
在$\triangle ABD$和$\triangle BEC$中，
$\begin{cases}AB = BE \\ \angle A = \angle EBC \\ AD = BC\end{cases}$
∴$\triangle ABD\cong\triangle BEC(SAS)$。
∴$BD = CE$。
已知$AD// BE$，根据两直线平行，同位角相等，可得$\angle A = \angle EBC$。
又已知$AD = BC$，$AB = BE$，在$\triangle ABD$和$\triangle BEC$中，$AB = BE$，$\angle A = \angle EBC$，$AD = BC$，满足全等三角形判定定理“边角边”，所以$\triangle ABD\cong\triangle BEC(SAS)$。
因为全等三角形的对应边相等，$\triangle ABD\cong\triangle BEC$，所以$BD = CE$。
【答案】：证明：
∵$AD// BE$，
∴$\angle A = \angle EBC$。
在$\triangle ABD$和$\triangle BEC$中，
$\begin{cases}AB = BE \\ \angle A = \angle EBC \\ AD = BC\end{cases}$
∴$\triangle ABD\cong\triangle BEC(SAS)$。
∴$BD = CE$。
6. 如图,在等边三角形ABC中,D是BC延长线上的一点,连接AD,以AD为边作等边三角形ADE,连接CE.用学过的知识探索AC,CD,CE三条线段之间的数量关系,试写出探究过程.
答案：【解析】：本题可根据等边三角形的性质得出相关边和角的关系，再通过证明三角形全等，进而得出$AC$、$CD$、$CE$三条线段之间的数量关系。
已知$\triangle ABC$和$\triangle ADE$都是等边三角形，根据等边三角形的性质可知$AB = AC = BC$，$AD = AE$，$\angle BAC = \angle DAE = 60^{\circ}$。
因为$\angle BAC = \angle DAE$，所以$\angle BAC + \angle CAD = \angle DAE + \angle CAD$，即$\angle BAD = \angle CAE$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中，$AB = AC$，$\angle BAD = \angle CAE$，$AD = AE$，根据全等三角形判定定理“边角边”（$SAS$），可得$\triangle ABD\cong\triangle ACE$。
根据全等三角形的性质可知$BD = CE$，又因为$BD = BC + CD$，且$BC = AC$，所以$CE = AC + CD$。
【答案】：$CE = AC + CD$，探究过程如下：
证明：
∵$\triangle ABC$和$\triangle ADE$都是等边三角形，
∴$AB = AC = BC$，$AD = AE$，$\angle BAC = \angle DAE = 60^{\circ}$。
∴$\angle BAC + \angle CAD = \angle DAE + \angle CAD$，即$\angle BAD = \angle CAE$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中，
$\begin{cases}AB = AC\\\angle BAD = \angle CAE\\AD = AE\end{cases}$
∴$\triangle ABD\cong\triangle ACE(SAS)$。
∴$BD = CE$。
∵$BD = BC + CD$，$BC = AC$，
∴$CE = AC + CD$。
已知$\triangle ABC$和$\triangle ADE$都是等边三角形，根据等边三角形的性质可知$AB = AC = BC$，$AD = AE$，$\angle BAC = \angle DAE = 60^{\circ}$。
因为$\angle BAC = \angle DAE$，所以$\angle BAC + \angle CAD = \angle DAE + \angle CAD$，即$\angle BAD = \angle CAE$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中，$AB = AC$，$\angle BAD = \angle CAE$，$AD = AE$，根据全等三角形判定定理“边角边”（$SAS$），可得$\triangle ABD\cong\triangle ACE$。
根据全等三角形的性质可知$BD = CE$，又因为$BD = BC + CD$，且$BC = AC$，所以$CE = AC + CD$。
【答案】：$CE = AC + CD$，探究过程如下：
证明：
∵$\triangle ABC$和$\triangle ADE$都是等边三角形，
∴$AB = AC = BC$，$AD = AE$，$\angle BAC = \angle DAE = 60^{\circ}$。
∴$\angle BAC + \angle CAD = \angle DAE + \angle CAD$，即$\angle BAD = \angle CAE$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中，
$\begin{cases}AB = AC\\\angle BAD = \angle CAE\\AD = AE\end{cases}$
∴$\triangle ABD\cong\triangle ACE(SAS)$。
∴$BD = CE$。
∵$BD = BC + CD$，$BC = AC$，
∴$CE = AC + CD$。
7. 如图,△ABC≌△A'B'C',AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线.
(1)求证：AD= A'D'.
(2)用文字语言叙述第(1)题的结论.
(1)求证：AD= A'D'.
(2)用文字语言叙述第(1)题的结论.
答案：【解析】：
(1) 要证明两个中线相等，我们可以利用全等三角形的性质。已知△ABC≌△A'B'C'，所以对应边相等，对应角相等。由于AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，所以BD=B'D'（中线性质，中线将对边平分）。结合△ABC≌△A'B'C'，我们可以得到△ABD≌△A'B'D'（SAS全等条件，即两边和夹角对应相等）。因此，对应边AD=A'D'。
(2) 用文字语言叙述第(1)题的结论就是：全等三角形的对应中线相等。
【答案】：
(1)证明：
∵△ABC≌△A'B'C'，
∴AB=A'B'，∠B=∠B'，BC=B'C'，
又∵AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC,B'D'=$\frac{1}{2}$B'C'，
∴BD=B'D'，
∵在△ABD和△A'B'D'中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=A'B'\\\angle B=\angle B'\\BD=B'D'\end{array}\right.$
∴△ABD≌△A'B'D'(SAS)，
∴AD=A'D'。
(2)解：
全等三角形的对应中线相等。
(1) 要证明两个中线相等，我们可以利用全等三角形的性质。已知△ABC≌△A'B'C'，所以对应边相等，对应角相等。由于AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，所以BD=B'D'（中线性质，中线将对边平分）。结合△ABC≌△A'B'C'，我们可以得到△ABD≌△A'B'D'（SAS全等条件，即两边和夹角对应相等）。因此，对应边AD=A'D'。
(2) 用文字语言叙述第(1)题的结论就是：全等三角形的对应中线相等。
【答案】：
(1)证明：
∵△ABC≌△A'B'C'，
∴AB=A'B'，∠B=∠B'，BC=B'C'，
又∵AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC,B'D'=$\frac{1}{2}$B'C'，
∴BD=B'D'，
∵在△ABD和△A'B'D'中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=A'B'\\\angle B=\angle B'\\BD=B'D'\end{array}\right.$
∴△ABD≌△A'B'D'(SAS)，
∴AD=A'D'。
(2)解：
全等三角形的对应中线相等。