4. 在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各点:(-3,-2),(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3).
(1) 观察你描出的各点,这些点的排列有什么规律?
(2) 若点(2025,y)符合(1)中你所描的点的排列规律,那么y的值是多少?
(3) 若点(m,n)也符合(1)中你所描的点的排列规律,那么m,n之间有什么关系?
(1) 观察你描出的各点,这些点的排列有什么规律?
(2) 若点(2025,y)符合(1)中你所描的点的排列规律,那么y的值是多少?
(3) 若点(m,n)也符合(1)中你所描的点的排列规律,那么m,n之间有什么关系?
答案：【解析】：
(1) 通过观察可以发现，这些点都在一条直线上，且满足$y=x+1$的关系，即这些点的纵坐标比横坐标大$1$。
(2) 对于点$(2025,y)$，由于它符合上述规律，即$y=x+1$，将$x=2025$代入可得$y=2025+1=2026$。
(3) 对于点$(m,n)$，同样因为它符合上述规律，所以$n=m+1$，即$m$与$n$之间的关系是$n-m=1$。
【答案】：
(1) 这些点都在一条直线上，且纵坐标比横坐标大$1$。
(2) $y=2026$。
(3) $n-m=1$。
(1) 通过观察可以发现，这些点都在一条直线上，且满足$y=x+1$的关系，即这些点的纵坐标比横坐标大$1$。
(2) 对于点$(2025,y)$，由于它符合上述规律，即$y=x+1$，将$x=2025$代入可得$y=2025+1=2026$。
(3) 对于点$(m,n)$，同样因为它符合上述规律，所以$n=m+1$，即$m$与$n$之间的关系是$n-m=1$。
【答案】：
(1) 这些点都在一条直线上，且纵坐标比横坐标大$1$。
(2) $y=2026$。
(3) $n-m=1$。
5. (1) 小明发现,在如图所示的平面直角坐标系中,横坐标都是1的点,如(1,2),(1,-$\frac{1}{2}$),(1,3),(1,-3)都在一条直线上.
① 请描述这条直线的特征.
② 在平面直角坐标系中,横坐标都是2的点是否都在一条直线上?横坐标都是-3的点呢?说出你的发现.
(2) 横坐标是纵坐标的2倍的点也在一条直线上吗?画一画,写出你的发现.
(3) 通过以上问题的探索,请你提出一个与之相关的新问题,写出你的发现.
① 请描述这条直线的特征.
② 在平面直角坐标系中,横坐标都是2的点是否都在一条直线上?横坐标都是-3的点呢?说出你的发现.
(2) 横坐标是纵坐标的2倍的点也在一条直线上吗?画一画,写出你的发现.
(3) 通过以上问题的探索,请你提出一个与之相关的新问题,写出你的发现.
答案：【解析】：本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标特征以及图形变换与坐标变化的关系。
① 对于横坐标都是1的点，如$(1,2)$，$(1,-\frac{1}{2})$，$(1,3)$，$(1,-3)$，观察其坐标特点，横坐标都为1，纵坐标可以取任意实数。
在平面直角坐标系中，这些点都位于一条垂直于$x$轴且与$x$轴交于点$(1,0)$的直线上。
② 对于横坐标都是2的点，同理，这些点的横坐标都为2，纵坐标可以取任意实数，因此它们也都位于一条垂直于$x$轴且与$x$轴交于点$(2,0)$的直线上。
同样，横坐标都是-3的点也都位于一条垂直于$x$轴且与$x$轴交于点$(-3,0)$的直线上。
可以发现，在平面直角坐标系中，横坐标相同的点都位于同一条垂直于$x$轴的直线上。
③ 设点的坐标为$(x,y)$，若横坐标是纵坐标的2倍，则有$x = 2y$。
将这个关系式看作一个二元一次方程，可以将其改写为$y = \frac{1}{2}x$的形式，这是一条过原点的直线方程。
因此，横坐标是纵坐标的2倍的点都位于这条直线上。
④ 可以提出新问题：纵坐标是横坐标的3倍的点是否也在一条直线上？
设点的坐标为$(x,y)$，若纵坐标是横坐标的3倍，则有$y = 3x$。
这也是一条过原点的直线方程，因此纵坐标是横坐标的3倍的点也都位于这条直线上。
【答案】：①这条直线的特征是垂直于$x$轴，且与$x$轴交于点$(1,0)$；
②在平面直角坐标系中，横坐标都是2的点都在一条直线上，这条直线垂直于$x$轴，且与$x$轴交于点$(2,0)$；横坐标都是-3的点也都在一条直线上，这条直线垂直于$x$轴，且与$x$轴交于点$(-3,0)$。发现：在平面直角坐标系中，横坐标相同的点都位于同一条垂直于$x$轴的直线上；
③横坐标是纵坐标的2倍的点也在一条直线上，这条直线是$y = \frac{1}{2}x$；
④新问题：纵坐标是横坐标的3倍的点是否也在一条直线上？发现：纵坐标是横坐标的3倍的点都在直线$y = 3x$上。
① 对于横坐标都是1的点，如$(1,2)$，$(1,-\frac{1}{2})$，$(1,3)$，$(1,-3)$，观察其坐标特点，横坐标都为1，纵坐标可以取任意实数。
在平面直角坐标系中，这些点都位于一条垂直于$x$轴且与$x$轴交于点$(1,0)$的直线上。
② 对于横坐标都是2的点，同理，这些点的横坐标都为2，纵坐标可以取任意实数，因此它们也都位于一条垂直于$x$轴且与$x$轴交于点$(2,0)$的直线上。
同样，横坐标都是-3的点也都位于一条垂直于$x$轴且与$x$轴交于点$(-3,0)$的直线上。
可以发现，在平面直角坐标系中，横坐标相同的点都位于同一条垂直于$x$轴的直线上。
③ 设点的坐标为$(x,y)$，若横坐标是纵坐标的2倍，则有$x = 2y$。
将这个关系式看作一个二元一次方程，可以将其改写为$y = \frac{1}{2}x$的形式，这是一条过原点的直线方程。
因此，横坐标是纵坐标的2倍的点都位于这条直线上。
④ 可以提出新问题：纵坐标是横坐标的3倍的点是否也在一条直线上？
设点的坐标为$(x,y)$，若纵坐标是横坐标的3倍，则有$y = 3x$。
这也是一条过原点的直线方程，因此纵坐标是横坐标的3倍的点也都位于这条直线上。
【答案】：①这条直线的特征是垂直于$x$轴，且与$x$轴交于点$(1,0)$；
②在平面直角坐标系中，横坐标都是2的点都在一条直线上，这条直线垂直于$x$轴，且与$x$轴交于点$(2,0)$；横坐标都是-3的点也都在一条直线上，这条直线垂直于$x$轴，且与$x$轴交于点$(-3,0)$。发现：在平面直角坐标系中，横坐标相同的点都位于同一条垂直于$x$轴的直线上；
③横坐标是纵坐标的2倍的点也在一条直线上，这条直线是$y = \frac{1}{2}x$；
④新问题：纵坐标是横坐标的3倍的点是否也在一条直线上？发现：纵坐标是横坐标的3倍的点都在直线$y = 3x$上。