23. (8 分)已知点 B 在线段 AC 上,点 D 在线段 AB 上.
(1)如图①,若 AB = 6 cm,BC = 4 cm,D 为线段 AC 的中点,求线段 DB 的长度；
(2)如图②,若 BD = $\frac{1}{4}$AB = $\frac{1}{3}$CD,E 为线段 AB 的中点,EC = 12 cm,求线段 AC 的长度.
(1)如图①,若 AB = 6 cm,BC = 4 cm,D 为线段 AC 的中点,求线段 DB 的长度；
(2)如图②,若 BD = $\frac{1}{4}$AB = $\frac{1}{3}$CD,E 为线段 AB 的中点,EC = 12 cm,求线段 AC 的长度.
答案：
解：（1）如图①所示：
∵AC=AB+BC，AB=6 cm，BC=4 cm
∴AC=6+4=10（cm）. 又
∵D 为线段 AC 的中点，
∴DC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×10=5（cm），
∴DB=DC-BC=5-4=1（cm）.（2）如图②所示：
设 BD=x cm，
∵BD=$\frac{1}{4}$AB=$\frac{1}{3}$CD，
∴AB=4BD=4x cm，CD=3BD=3x cm. 又
∵DC=DB+BC，
∴BC=3x-x=2x（cm）. 又
∵AC=AB+BC，
∴AC=4x+2x=6x（cm）.
∵E 为线段 AB 的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4x=2x（cm）. 又
∵EC=BE+BC，
∴EC=2x+2x=4x（cm）. 又
∵EC=12 cm，
∴4x=12，解得 x=3，
∴AC=6x=6×3=18（cm）.
解：（1）如图①所示：
∵AC=AB+BC，AB=6 cm，BC=4 cm
∴AC=6+4=10（cm）. 又
∵D 为线段 AC 的中点，
∴DC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×10=5（cm），
∴DB=DC-BC=5-4=1（cm）.（2）如图②所示：
设 BD=x cm，∵BD=$\frac{1}{4}$AB=$\frac{1}{3}$CD，
∴AB=4BD=4x cm，CD=3BD=3x cm. 又
∵DC=DB+BC，
∴BC=3x-x=2x（cm）. 又
∵AC=AB+BC，
∴AC=4x+2x=6x（cm）.
∵E 为线段 AB 的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4x=2x（cm）. 又
∵EC=BE+BC，
∴EC=2x+2x=4x（cm）. 又
∵EC=12 cm，
∴4x=12，解得 x=3，
∴AC=6x=6×3=18（cm）.
24. (8 分)如图,∠AOD = $28^{\circ}$,∠AOB 与∠AOD 互余,OC 平分∠AOB,求∠COD 的度数.
答案：3°
解析：
∵∠AOB与∠AOD互余，∠AOD=28°，
∴∠AOB=90°-∠AOD=90°-28°=62°.
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠AOB/2=62°/2=31°.
∴∠COD=∠AOC-∠AOD=31°-28°=3°.
∠COD的度数为3°.
25. (10 分)定义：从一个角的顶点出发,把这个角分成 1 : 2 的两个角的射线,叫作这个角的三分线,显然,一个角的三分线有两条.
(1)如图(1),已知 OC 是∠AOB 的一条三分线,且∠BOC ＞ ∠AOC,若∠AOB = $75^{\circ}$,则∠AOC =
(2)如图(2),已知∠AOB = $90^{\circ}$,若 OC,OD 是∠AOB 的两条三分线.
① 求∠COD 的度数；
② 在①的基础上,现以 O 为中心,将∠COD 顺时针旋转 $n^{\circ}$得到∠C'OD'. 当 OA 恰好是∠C'OD'的三分线时,求 n 的值.
(1)(2)
(1)如图(1),已知 OC 是∠AOB 的一条三分线,且∠BOC ＞ ∠AOC,若∠AOB = $75^{\circ}$,则∠AOC =
25°
；(2)如图(2),已知∠AOB = $90^{\circ}$,若 OC,OD 是∠AOB 的两条三分线.
① 求∠COD 的度数；
② 在①的基础上,现以 O 为中心,将∠COD 顺时针旋转 $n^{\circ}$得到∠C'OD'. 当 OA 恰好是∠C'OD'的三分线时,求 n 的值.
(1)(2)
（2）①30°；②n=40°或 50°.
答案：（1）25°；（2）①30°；②n=40°或 50°.