4. 如图,已知直线 AB,CD 相交于点 O,且∠1 与∠2 的度数之比为 2∶3,∠AOC= 60°.求∠2的大小.
答案：解:易知,∠BOD=∠AOC=60°
∴$∠1=\frac {2}{2+3}∠BOD=24°$
$∠2=\frac {3}{2+3}∠BOD=36°$
∴$∠1=\frac {2}{2+3}∠BOD=24°$
$∠2=\frac {3}{2+3}∠BOD=36°$
5. 如图,直线 AB,CD 相交于点 O,且∠AOD+∠BOC= 220°.求∠AOC 的大小.
答案：解:∵∠AOD=∠BOC
∴$∠AOD=∠BOC=\frac {1}{2}×220°=110°$
∴∠AOC=180°-∠AOD=70°
∴$∠AOD=∠BOC=\frac {1}{2}×220°=110°$
∴∠AOC=180°-∠AOD=70°
1. 下列各图中,∠1与∠2是对顶角的是(
A.
B.
C.
D.
C
)A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：
对顶角的定义为：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角。
A选项中∠1与∠2的两边不互为反向延长线，不是对顶角；
B选项中∠1与∠2的两边不互为反向延长线，不是对顶角；
C选项中∠1与∠2的两边分别互为反向延长线，有公共顶点，是对顶角；
D选项中∠1与∠2的两边不互为反向延长线，不是对顶角。
A选项中∠1与∠2的两边不互为反向延长线，不是对顶角；
B选项中∠1与∠2的两边不互为反向延长线，不是对顶角；
C选项中∠1与∠2的两边分别互为反向延长线，有公共顶点，是对顶角；
D选项中∠1与∠2的两边不互为反向延长线，不是对顶角。
2. 下列说法中,正确的是(
A.相等的角是对顶角
B.小丽画了一个 30°的角,小涵画了一个 60°的角,这两个角互为余角
C.如果两个角互为补角,那么这两个角中必有一个钝角
D.有公共顶点的角是对顶角
B
)A.相等的角是对顶角
B.小丽画了一个 30°的角,小涵画了一个 60°的角,这两个角互为余角
C.如果两个角互为补角,那么这两个角中必有一个钝角
D.有公共顶点的角是对顶角
答案：B
解析：
A. 相等的角不一定是对顶角。对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。例如，两个直角三角形的直角都是$90^\circ$，但它们不是对顶角。所以A选项错误。
B. 小丽画了一个$30^\circ$的角，小涵画了一个$60^\circ$的角，两个角的和为$30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$，根据余角的定义，两个角的和等于$90^\circ$，则它们互为余角。所以B选项正确。
C. 如果两个角互为补角，那么它们的和等于$180^\circ$。这两个角可以是两个直角（每个都是$90^\circ$），也可以是锐角和钝角的组合。因此，并不是至少有一个钝角。所以C选项错误。
D. 有公共顶点的角不一定是对顶角。对顶角除了需要有公共顶点，还需要由两条相交直线形成。所以D选项错误。
B. 小丽画了一个$30^\circ$的角，小涵画了一个$60^\circ$的角，两个角的和为$30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$，根据余角的定义，两个角的和等于$90^\circ$，则它们互为余角。所以B选项正确。
C. 如果两个角互为补角，那么它们的和等于$180^\circ$。这两个角可以是两个直角（每个都是$90^\circ$），也可以是锐角和钝角的组合。因此，并不是至少有一个钝角。所以C选项错误。
D. 有公共顶点的角不一定是对顶角。对顶角除了需要有公共顶点，还需要由两条相交直线形成。所以D选项错误。
3. 如图,直线 AB,EF 相交于点 D,∠ADC= 90°.
(1) ∠1的对顶角是
(2) 若∠1与∠2的度数之比是 1∶4,求∠CDF 的大小.
(1) ∠1的对顶角是
∠BDF
,∠2的余角是∠1与∠BDF
；(2) 若∠1与∠2的度数之比是 1∶4,求∠CDF 的大小.
解$:∠1=\frac {1}{1+4}∠ADC=18°$
∠CDB=180°-∠CDA=90°
∴∠CDF=∠CDB+∠BDF=108°
∠CDB=180°-∠CDA=90°
∴∠CDF=∠CDB+∠BDF=108°
答案：∠BDF
∠1与∠BDF
解$:∠1=\frac {1}{1+4}∠ADC=18°$
∠CDB=180°-∠CDA=90°
∴∠CDF=∠CDB+∠BDF=108°
∠1与∠BDF
解$:∠1=\frac {1}{1+4}∠ADC=18°$
∠CDB=180°-∠CDA=90°
∴∠CDF=∠CDB+∠BDF=108°
4. 两条直线相交,可以形成
2
对对顶角；三条直线交于一点,共可以形成6
对对顶角；四条直线交于一点,共可以形成12
对对顶角……请你仔细观察后猜想:n 条直线交于一点,共可以形成n(n-1)
对对顶角.答案：2
6
12
n(n-1)
6
12
n(n-1)
解析：
两条直线相交，形成2对对顶角；三条直线交于一点，相交直线对有$C_{3}^{2}=3$组，每对直线形成2对对顶角，共$3×2=6$对；四条直线交于一点，相交直线对有$C_{4}^{2}=6$组，共$6×2=12$对；n条直线交于一点，相交直线对有$C_{n}^{2}=\frac{n(n-1)}{2}$组，总对顶角对数为$\frac{n(n-1)}{2}×2=n(n-1)$。