12. (13分)如图,一只小鸟从小树树顶飞到大树树顶上,它飞行的最短路程是多少?(先画出示意图,然后再求解)
答案：因为两点之间，线段最短，所以，小鸟从小树树顶飞到大树树顶的最短路程为线段。
由题可知，小树高度为$8$米，大树高度为$13$米，两树水平距离为$12$米，
所以，水平距离、高度差、飞行路径构成直角三角形，高度差为：$13 - 8 = 5$（米）
设飞行路径为$x$米，
根据勾股定理可得：
$x^2=12^2 + 5^2 $，
$x^2=144 + 25 $，
$x^2=169$，
$x = 13$。
所以它飞行的最短路程是$13$米。
由题可知，小树高度为$8$米，大树高度为$13$米，两树水平距离为$12$米，
所以，水平距离、高度差、飞行路径构成直角三角形，高度差为：$13 - 8 = 5$（米）
设飞行路径为$x$米，
根据勾股定理可得：
$x^2=12^2 + 5^2 $，
$x^2=144 + 25 $，
$x^2=169$，
$x = 13$。
所以它飞行的最短路程是$13$米。
13. (13分)剪若干个大小、形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a,b,c(图①);分别用4张这样的直角三角形纸片拼成图②、图③所示的形状.图②中两个小正方形的面积$S_2$,$S_3$与图③中小正方形的面积$S_1$有什么关系?你能得到a,b,c之间有什么关系?
答案：S₂ + S₃ = S₁；a² + b² = c²。
解析：
图②中，两个小正方形面积分别为S₂ = a²，S₃ = b²，4个直角三角形面积和为4×(1/2)ab = 2ab，故图②总面积为S₂ + S₃ + 2ab = a² + b² + 2ab。
图③中，小正方形S₁的边长为c（直角三角形斜边），面积S₁ = c²，4个直角三角形面积和为2ab，故图③总面积为S₁ + 2ab = c² + 2ab。
因图②与图③均由4个全等直角三角形拼成，总面积相等，即a² + b² + 2ab = c² + 2ab，化简得S₂ + S₃ = S₁，且a² + b² = c²。
解析：
图②中，两个小正方形面积分别为S₂ = a²，S₃ = b²，4个直角三角形面积和为4×(1/2)ab = 2ab，故图②总面积为S₂ + S₃ + 2ab = a² + b² + 2ab。
图③中，小正方形S₁的边长为c（直角三角形斜边），面积S₁ = c²，4个直角三角形面积和为2ab，故图③总面积为S₁ + 2ab = c² + 2ab。
因图②与图③均由4个全等直角三角形拼成，总面积相等，即a² + b² + 2ab = c² + 2ab，化简得S₂ + S₃ = S₁，且a² + b² = c²。
14. (14分)我们知道,凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,都是勾股数.比如3,4,5或11,60,61等.
(1) 请你写出一组勾股数:7,
(2) 清朝数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则,其中有两个法则如下:
(Ⅰ)如果k是大于1的奇数,那么$k$,$\frac{k^2-1}{2}$,$\frac{k^2+1}{2}$是一组勾股数.
(Ⅱ)如果k是大于2的偶数,那么$k$,$(\frac{k}{2})^2-1$,$(\frac{k}{2})^2+1$是一组勾股数.
① 已知在一组勾股数中,其中有一个数为12,根据以上两个法则分别求出另外两个数;
② 请你从这两个法则中选择一个,并证明它是正确的.
(1) 请你写出一组勾股数:7,
24
,25
.(2) 清朝数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则,其中有两个法则如下:
(Ⅰ)如果k是大于1的奇数,那么$k$,$\frac{k^2-1}{2}$,$\frac{k^2+1}{2}$是一组勾股数.
(Ⅱ)如果k是大于2的偶数,那么$k$,$(\frac{k}{2})^2-1$,$(\frac{k}{2})^2+1$是一组勾股数.
① 已知在一组勾股数中,其中有一个数为12,根据以上两个法则分别求出另外两个数;
② 请你从这两个法则中选择一个,并证明它是正确的.
①
Ⅰ. 当$k=12$时，不满足法则(Ⅰ)（$k$需为奇数），舍去；
法则(Ⅱ)：
$k=12$，则
$\left(\frac{12}{2}\right)^2 - 1 = 35$，
$\left(\frac{12}{2}\right)^2 + 1 = 37$，
故另外两个数为35，37。
Ⅱ. 当$\frac{k^2-1}{2}=12$时，解得$k=5$（$k$为奇数），
则$\frac{k^2+1}{2} = 13$，
故另外两个数为5，13。
综上，另外两个数为35，37或5，13。
②
证明法则(Ⅰ)：
设$k$为大于1的奇数，则
$k^2 + \left(\frac{k^2-1}{2}\right)^2 = k^2 + \frac{k^4 - 2k^2 + 1}{4} = \frac{k^4 + 2k^2 + 1}{4} = \left(\frac{k^2+1}{2}\right)^2$，
故$k$，$\frac{k^2-1}{2}$，$\frac{k^2+1}{2}$构成勾股数。
或证明法则(Ⅱ)：
设$k$为大于2的偶数，则
$k^2 + \left(\left(\frac{k}{2}\right)^2 - 1\right)^2 = k^2 + \left(\frac{k^2}{4} - 1\right)^2 = \frac{k^4}{16} + \frac{k^2}{2} + 1 = \left(\left(\frac{k}{2}\right)^2 + 1\right)^2$，
故$k$，$\left(\frac{k}{2}\right)^2 - 1$，$\left(\frac{k}{2}\right)^2 + 1$构成勾股数。
Ⅰ. 当$k=12$时，不满足法则(Ⅰ)（$k$需为奇数），舍去；
法则(Ⅱ)：
$k=12$，则
$\left(\frac{12}{2}\right)^2 - 1 = 35$，
$\left(\frac{12}{2}\right)^2 + 1 = 37$，
故另外两个数为35，37。
Ⅱ. 当$\frac{k^2-1}{2}=12$时，解得$k=5$（$k$为奇数），
则$\frac{k^2+1}{2} = 13$，
故另外两个数为5，13。
综上，另外两个数为35，37或5，13。
②
证明法则(Ⅰ)：
设$k$为大于1的奇数，则
$k^2 + \left(\frac{k^2-1}{2}\right)^2 = k^2 + \frac{k^4 - 2k^2 + 1}{4} = \frac{k^4 + 2k^2 + 1}{4} = \left(\frac{k^2+1}{2}\right)^2$，
故$k$，$\frac{k^2-1}{2}$，$\frac{k^2+1}{2}$构成勾股数。
或证明法则(Ⅱ)：
设$k$为大于2的偶数，则
$k^2 + \left(\left(\frac{k}{2}\right)^2 - 1\right)^2 = k^2 + \left(\frac{k^2}{4} - 1\right)^2 = \frac{k^4}{16} + \frac{k^2}{2} + 1 = \left(\left(\frac{k}{2}\right)^2 + 1\right)^2$，
故$k$，$\left(\frac{k}{2}\right)^2 - 1$，$\left(\frac{k}{2}\right)^2 + 1$构成勾股数。
答案：14. (1) 24；25
(2)
①
Ⅰ. 当$k=12$时，不满足法则(Ⅰ)（$k$需为奇数），舍去；
法则(Ⅱ)：
$k=12$，则
$\left(\frac{12}{2}\right)^2 - 1 = 35$，
$\left(\frac{12}{2}\right)^2 + 1 = 37$，
故另外两个数为35，37。
Ⅱ. 当$\frac{k^2-1}{2}=12$时，解得$k=5$（$k$为奇数），
则$\frac{k^2+1}{2} = 13$，
故另外两个数为5，13。
综上，另外两个数为35，37或5，13。
②
证明法则(Ⅰ)：
设$k$为大于1的奇数，则
$k^2 + \left(\frac{k^2-1}{2}\right)^2 = k^2 + \frac{k^4 - 2k^2 + 1}{4} = \frac{k^4 + 2k^2 + 1}{4} = \left(\frac{k^2+1}{2}\right)^2$，
故$k$，$\frac{k^2-1}{2}$，$\frac{k^2+1}{2}$构成勾股数。
或证明法则(Ⅱ)：
设$k$为大于2的偶数，则
$k^2 + \left(\left(\frac{k}{2}\right)^2 - 1\right)^2 = k^2 + \left(\frac{k^2}{4} - 1\right)^2 = \frac{k^4}{16} + \frac{k^2}{2} + 1 = \left(\left(\frac{k}{2}\right)^2 + 1\right)^2$，
故$k$，$\left(\frac{k}{2}\right)^2 - 1$，$\left(\frac{k}{2}\right)^2 + 1$构成勾股数。
(2)
①
Ⅰ. 当$k=12$时，不满足法则(Ⅰ)（$k$需为奇数），舍去；
法则(Ⅱ)：
$k=12$，则
$\left(\frac{12}{2}\right)^2 - 1 = 35$，
$\left(\frac{12}{2}\right)^2 + 1 = 37$，
故另外两个数为35，37。
Ⅱ. 当$\frac{k^2-1}{2}=12$时，解得$k=5$（$k$为奇数），
则$\frac{k^2+1}{2} = 13$，
故另外两个数为5，13。
综上，另外两个数为35，37或5，13。
②
证明法则(Ⅰ)：
设$k$为大于1的奇数，则
$k^2 + \left(\frac{k^2-1}{2}\right)^2 = k^2 + \frac{k^4 - 2k^2 + 1}{4} = \frac{k^4 + 2k^2 + 1}{4} = \left(\frac{k^2+1}{2}\right)^2$，
故$k$，$\frac{k^2-1}{2}$，$\frac{k^2+1}{2}$构成勾股数。
或证明法则(Ⅱ)：
设$k$为大于2的偶数，则
$k^2 + \left(\left(\frac{k}{2}\right)^2 - 1\right)^2 = k^2 + \left(\frac{k^2}{4} - 1\right)^2 = \frac{k^4}{16} + \frac{k^2}{2} + 1 = \left(\left(\frac{k}{2}\right)^2 + 1\right)^2$，
故$k$，$\left(\frac{k}{2}\right)^2 - 1$，$\left(\frac{k}{2}\right)^2 + 1$构成勾股数。