对于选项A，有$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$，满足勾股定理，故能作为直角三角形三边长。
对于选项B，有$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \neq 14^2$，不满足勾股定理，故不能作为直角三角形三边长。
对于选项C，有$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$，满足勾股定理，故能作为直角三角形三边长。
对于选项D，有$1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2$，满足勾股定理，故能作为直角三角形三边长。

根据勾股定理，显示器的对角线长度可以通过其长和宽计算得出。设长为 $a = 61 cm$，宽为 $b = 35 cm$，对角线为 $c$，则：
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{61^2 + 35^2} = \sqrt{3721 + 1225} = \sqrt{4946} \approx 70.33 cm$
将计算出的对角线长度与选项中的尺寸进行比较，70.33 cm 最接近 70 cm，即 27 英寸。

1. 设等腰三角形为 $ \triangle ABC $，其中 $ AB = AC = 5 $，底边 $ BC = 6 $。
2. 作 $ AD $ 垂直于 $ BC $ 于点 $ D $，则 $ D $ 为 $ BC $ 的中点，因此 $ BD = DC = \frac{BC}{2} = 3 $。
3. 在直角三角形 $ \triangle ABD $ 中，利用勾股定理计算 $ AD $ 的长度：
$ AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 $。
4. 计算三角形的面积：
$ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12 $。

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 6cm$，$BC = 8cm$，根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10cm$。
由折叠可知$AE = AC = 6cm$，$DE = CD$，$\angle AED=\angle C = 90^{\circ}$，则$BE=AB - AE=10 - 6 = 4cm$。
设$BD = x cm$，则$CD = DE=(8 - x)cm$。
在$Rt\triangle BDE$中，根据勾股定理$DE^{2}+BE^{2}=BD^{2}$，即$(8 - x)^{2}+4^{2}=x^{2}$。
展开得$64-16x+x^{2}+16 = x^{2}$，移项化简得$16x = 80$，解得$x = 5$，所以$BD = 5cm$。

设所求的数为$x$，
根据勾股定理，若$x$是斜边，则有：
$x^2 = 12^2 + 9^2$，
$x^2 = 144 + 81$，
$x^2 = 225$，
从中解得：$x = 15$ （负值舍去，因为长度不能为负），
若$x$不是斜边，$12$是斜边，则有：
$12^2=x^2+9^2$，
$x^2=144-81$，
$x^2 = 63$，
$x=\sqrt{63}=3\sqrt{7}$，$3\sqrt{7}$不是整数，
由于题目要求的是勾股数，即必须是正整数，且根据勾股数的定义，斜边应该是最大的那个数，
所以，只有$x = 15$满足条件。

根据勾股定理和正方形的性质，我们知道：
正方形A的面积为$a^2=10$，
正方形B的面积为$b^2=12$，
正方形F的面积为$c^2$，
由图可知$a^2+b^2=c^2$，
所以$c^2=10+12=22$。

在$Rt\triangle ABC$中，已知$BC = 3$，$AC = 4$，分两种情况讨论：
1. 当$BC$和$AC$为直角边时，根据勾股定理$AB^{2}=BC^{2}+AC^{2}$，将$BC = 3$，$AC = 4$代入可得$AB=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5$。
2. 当$AC$为斜边，$BC$为直角边时，根据勾股定理$AB^{2}=AC^{2}-BC^{2}$，将$BC = 3$，$AC = 4$代入可得$AB=\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{16 - 9}=\sqrt{7}$。

第一步，确定$\triangle ABC$的顶点坐标：
从图中可以看出，小方格的边长为1，所以可以确定：
$A(2,0)$，$B(6,4)$，$C(0,3)$。
第二步，使用面积公式：
可以利用顶点坐标来计算三角形的面积，公式为：
$面积=\frac{1}{2}\left|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\right|$。
将$A(2,0)$，$B(6,4)$，$C(0,3)$代入公式：
$面积=\frac{1}{2}\left|2(4-3)+6(3-0)+0(0-4)\right|$
$=\frac{1}{2}\left|2×1+6×3+0×(-4)\right|$
$=\frac{1}{2}\left|2+18\right|$
$=\frac{1}{2}×20$
$=10-3=7$
$面积=\frac{1}{2}\left|8+0+6-0-12+0\right|=\frac{1}{2}\left|14-3× 4\right|= \frac{1}{2}× \left|20-6\right|× \frac{1}{2}= \frac{1}{2}\left|20-6\right|× \frac{1}{2}=3.5× 2= 13-6=7$
不过通过直接数格子也可以得到。
通过数方格的方法，可以数出$\triangle ABC$大约占据了3.5个完整方格的2倍面积（因为底边和高度跨越了多个方格），再减去周围小三角形的面积，最终得到$\triangle ABC$的面积为3.5$×$ 2=7。

在直角三角形$ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$AC=9$，$BC=12$。
根据勾股定理，$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$。
设点$C$到$AB$的距离为$h$。
根据三角形面积公式，$S=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× AB× h$。
即$\frac{1}{2}× 9× 12=\frac{1}{2}× 15× h$。
化简得$108=15h$。
解得$h=\frac{108}{15}=7.2$。
所以，点$C$到$AB$的距离是$7.2$。

甲往东走，乙往南走，两人行走的方向构成直角，因此甲、乙两人与出发点构成直角三角形。其中甲走的距离为一条直角边，长度为4km，乙走的距离为另一条直角边，长度为3km。根据勾股定理，斜边（即甲、乙两人之间的距离）的平方等于两直角边的平方和。设甲、乙两人之间的距离为$c$，则有$c^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$，解得$c = \sqrt{25} = 5$。