11. 一个长为120m、宽为100m的长方形场地要扩建成一个正方形场地,设长增加x m,宽增加y m,则y与x的函数表达式是
$y = x + 20$
,自变量的取值范围是$x \geq 0$
.答案：$y = x + 20$；$x \geq 0$。
解析：
由于扩建后的场地是正方形，所以扩建后的长和宽必须相等。
原场地的长为$120m$，增加的长度为$x m$，所以扩建后的长为$(120 + x)m$。
原场地的宽为$100m$，增加的宽度为$y m$，所以扩建后的宽为$(100 + y)m$
因此有：$120 + x = 100 + y$，
移项得：$y = x + 20$。
考虑实际扩建情况，长度和宽度增加的量都应为非负数值，即：$x \geq 0$，
同时，由于$y = x + 20$，且$y$代表宽度的增加量，也必须为非负数值，但这个条件已经由$x \geq 0$隐含，因为当$x \geq 0$时，$y = x + 20$必然大于0。
原场地的长为$120m$，增加的长度为$x m$，所以扩建后的长为$(120 + x)m$。
原场地的宽为$100m$，增加的宽度为$y m$，所以扩建后的宽为$(100 + y)m$
因此有：$120 + x = 100 + y$，
移项得：$y = x + 20$。
考虑实际扩建情况，长度和宽度增加的量都应为非负数值，即：$x \geq 0$，
同时，由于$y = x + 20$，且$y$代表宽度的增加量，也必须为非负数值，但这个条件已经由$x \geq 0$隐含，因为当$x \geq 0$时，$y = x + 20$必然大于0。
12. 已知一次函数$y= kx+b的图象与一次函数y= \frac{2-x}{3}$的图象互相平行,且与一次函数$y= -\frac{2x+1}{3}$的图象相交于y轴上同一点,则该一次函数的表达式为
$y = -\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}$
.答案：该一次函数的表达式为$y = -\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}$。（填答案时，只填$y = -\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}$）
解析：
1. 由于一次函数$y = kx + b$的图象与一次函数$y = \frac{2 - x}{3}$的图象互相平行，根据平行直线的性质，斜率相等。因此，$k = -\frac{1}{3}$。
2. 一次函数$y = -\frac{2x + 1}{3}$与$y$轴的交点是当$x = 0$时的$y$值，计算得$y = -\frac{1}{3}$。
3. 由于一次函数$y = kx + b$的图象与一次函数$y = -\frac{2x + 1}{3}$的图象相交于$y$轴上同一点，因此$b = -\frac{1}{3}$。
4. 综合以上信息，该一次函数的表达式为$y = -\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}$。
2. 一次函数$y = -\frac{2x + 1}{3}$与$y$轴的交点是当$x = 0$时的$y$值，计算得$y = -\frac{1}{3}$。
3. 由于一次函数$y = kx + b$的图象与一次函数$y = -\frac{2x + 1}{3}$的图象相交于$y$轴上同一点，因此$b = -\frac{1}{3}$。
4. 综合以上信息，该一次函数的表达式为$y = -\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}$。
13. (12分)已知一次函数$y= (2m+4)x+(3-n)$.
(1) 当m,n满足什么条件时,y随x的增大而增大?
(2) 当m,n满足什么条件时,函数图象经过原点?
(3) 若函数图象经过第一、二、三象限,求m,n的取值范围.
(1) 当m,n满足什么条件时,y随x的增大而增大?
(2) 当m,n满足什么条件时,函数图象经过原点?
(3) 若函数图象经过第一、二、三象限,求m,n的取值范围.
答案：(1) 要使y随x的增大而增大，需要一次函数的斜率大于0。
即：$2m + 4 ＞ 0$
解得：$m ＞ -2$
n为任意实数，因为n不影响x的系数。
所以，当$m ＞ -2$，n为任意实数时，y随x的增大而增大。
(2) 要使函数图象经过原点，即当$x=0$时，$y=0$。
将$x=0, y=0$代入$y = (2m + 4)x + (3 - n)$，得：
$0 = 3 - n$
解得：$n = 3$
同时，斜率$2m + 4$不能为0，即$m \neq -2$。
所以，当$m \neq -2$且$n = 3$时，函数图象经过原点。
(3) 要使函数图象经过第一、二、三象限，需要满足两个条件：
斜率$2m + 4 ＞ 0$，即$m ＞ -2$；
截距$3 - n ＞ 0$，即$n ＜ 3$。
所以，当$m ＞ -2$且$n ＜ 3$时，函数图象经过第一、二、三象限。
即：$2m + 4 ＞ 0$
解得：$m ＞ -2$
n为任意实数，因为n不影响x的系数。
所以，当$m ＞ -2$，n为任意实数时，y随x的增大而增大。
(2) 要使函数图象经过原点，即当$x=0$时，$y=0$。
将$x=0, y=0$代入$y = (2m + 4)x + (3 - n)$，得：
$0 = 3 - n$
解得：$n = 3$
同时，斜率$2m + 4$不能为0，即$m \neq -2$。
所以，当$m \neq -2$且$n = 3$时，函数图象经过原点。
(3) 要使函数图象经过第一、二、三象限，需要满足两个条件：
斜率$2m + 4 ＞ 0$，即$m ＞ -2$；
截距$3 - n ＞ 0$，即$n ＜ 3$。
所以，当$m ＞ -2$且$n ＜ 3$时，函数图象经过第一、二、三象限。
14. (14分)如图,已知函数$y= -\frac{1}{2}x+b$的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,与函数$y= x$的图象交于点M,点M的横坐标为2,在x轴上有一点$P(a,0)$(其中$a＞2$),过点P作x轴的垂线,分别交函数$y= -\frac{1}{2}x+b和y= x$的图象于点C,D.
(1) 求点A的坐标;
(2) 若$CD= 3$,求a的值;
(3) 当$a= 5$时,求四边形OMCP的面积.
(1) 求点A的坐标;
(2) 若$CD= 3$,求a的值;
(3) 当$a= 5$时,求四边形OMCP的面积.
答案：(1) 因为点M是函数$y=-\frac{1}{2}x+b$与$y=x$的交点，且M的横坐标为2，将$x=2$代入$y=x$得$y=2$，所以$M(2,2)$。把$M(2,2)$代入$y=-\frac{1}{2}x+b$，得$2=-\frac{1}{2}×2+b$，解得$b=3$，则函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x+3$。令$y=0$，得$0=-\frac{1}{2}x+3$，解得$x=6$，所以点A的坐标为$(6,0)$。
(2) 点P$(a,0)$，过P作x轴垂线$x=a$，交$y=-\frac{1}{2}x+3$于点C，交$y=x$于点D。则$C(a,-\frac{1}{2}a+3)$，$D(a,a)$。因为$a＞2$，所以$CD=a-(-\frac{1}{2}a+3)=\frac{3}{2}a-3$。由$CD=3$得$\frac{3}{2}a-3=3$，解得$a=4$。
(3) 当$a=5$时，$P(5,0)$，$C(5,-\frac{1}{2}×5+3)=\left(5,\frac{1}{2}\right)$。过M作x轴垂线，垂足为$N(2,0)$。梯形$MNCP$的上底$MN=2$，下底$CP=\frac{1}{2}$，高$NP=5-2=3$，面积为$\frac{(2+\frac{1}{2})×3}{2}=\frac{15}{4}$。三角形$OMN$的面积为$\frac{1}{2}×2×2=2=\frac{8}{4}$。所以四边形$OMCP$的面积为$\frac{15}{4}+\frac{8}{4}=\frac{23}{4}$。
(1)$(6,0)$；(2)$4$；(3)$\frac{23}{4}$
(2) 点P$(a,0)$，过P作x轴垂线$x=a$，交$y=-\frac{1}{2}x+3$于点C，交$y=x$于点D。则$C(a,-\frac{1}{2}a+3)$，$D(a,a)$。因为$a＞2$，所以$CD=a-(-\frac{1}{2}a+3)=\frac{3}{2}a-3$。由$CD=3$得$\frac{3}{2}a-3=3$，解得$a=4$。
(3) 当$a=5$时，$P(5,0)$，$C(5,-\frac{1}{2}×5+3)=\left(5,\frac{1}{2}\right)$。过M作x轴垂线，垂足为$N(2,0)$。梯形$MNCP$的上底$MN=2$，下底$CP=\frac{1}{2}$，高$NP=5-2=3$，面积为$\frac{(2+\frac{1}{2})×3}{2}=\frac{15}{4}$。三角形$OMN$的面积为$\frac{1}{2}×2×2=2=\frac{8}{4}$。所以四边形$OMCP$的面积为$\frac{15}{4}+\frac{8}{4}=\frac{23}{4}$。
(1)$(6,0)$；(2)$4$；(3)$\frac{23}{4}$
15. (14分)某块试验田的农作物每天的需水量y kg与生长时间x天之间的关系如图所示.这些农作物在第10天、第30天的需水量分别为2000 kg,3000 kg,在第40天后每天的需水量比前一天增加100 kg.
(1) 分别求出$x＜40和x\geq40$时y关于x的函数表达式;
(2) 如果这些农作物每天的需水量大于或等于4000 kg时,就需要进行人工灌溉,那么应从第几天开始进行人工灌溉?
(1) 分别求出$x＜40和x\geq40$时y关于x的函数表达式;
(2) 如果这些农作物每天的需水量大于或等于4000 kg时,就需要进行人工灌溉,那么应从第几天开始进行人工灌溉?
答案：(1) 当$x ＜ 40$时，设$y = kx + b$。
把$(10, 2000)$，$(30, 3000)$代入得：
$\begin{cases}10k + b = 2000 \\30k + b = 3000 \end{cases}$
两式相减得$20k = 1000$，解得$k = 50$。
把$k = 50$代入$10k + b = 2000$，得$500 + b = 2000$，解得$b = 1500$。
所以$y = 50x + 1500(x ＜ 40)$。
当$x\geq40$时，$x = 40$时，$y = 50×40 + 1500 = 3500$。
因为第$40$天后每天的需水量比前一天增加$100kg$，所以$y = 100(x - 40) + 3500 = 100x - 500(x\geq40)$。
(2) 当$y\geq4000$时，对于$y = 100x - 500(x\geq40)$，
有$100x - 500\geq4000$，
$100x\geq4500$，
解得$x\geq45$。
所以应从第$45$天开始进行人工灌溉。
把$(10, 2000)$，$(30, 3000)$代入得：
$\begin{cases}10k + b = 2000 \\30k + b = 3000 \end{cases}$
两式相减得$20k = 1000$，解得$k = 50$。
把$k = 50$代入$10k + b = 2000$，得$500 + b = 2000$，解得$b = 1500$。
所以$y = 50x + 1500(x ＜ 40)$。
当$x\geq40$时，$x = 40$时，$y = 50×40 + 1500 = 3500$。
因为第$40$天后每天的需水量比前一天增加$100kg$，所以$y = 100(x - 40) + 3500 = 100x - 500(x\geq40)$。
(2) 当$y\geq4000$时，对于$y = 100x - 500(x\geq40)$，
有$100x - 500\geq4000$，
$100x\geq4500$，
解得$x\geq45$。
所以应从第$45$天开始进行人工灌溉。