1. 在△ABC中,AB= AC.
(1)已知∠A= 70°,则∠C=
(2)已知∠B= 30°,则∠A=
(3)已知有一个角等于55°,则其余两个角分别是
(1)已知∠A= 70°,则∠C=
55°
,∠B= 55°
；(2)已知∠B= 30°,则∠A=
120°
,∠C= 30°
；(3)已知有一个角等于55°,则其余两个角分别是
55°，70°；或62.5°，62.5°
.答案：[分析]
根据等腰三角形的性质，两个底角相等，利用三角形内角和定理（三角形三个内角的和等于$180^{\circ}$）求解即可。
[解答]
（1）已知$\angle A=70^{\circ}$
因为$AB=AC$
所以$\angle B=\angle C$（等腰三角形两底角相等）
因为三角形内角和为$180^{\circ}$
所以$\angle B=\angle C=\frac{180^{\circ}-\angle A}{2}=\frac{180^{\circ}-70^{\circ}}{2}=55^{\circ}$
答案为：$55^{\circ}$；$55^{\circ}$
（2）已知$\angle B=30^{\circ}$
因为$AB=AC$
所以$\angle B=\angle C=30^{\circ}$（等腰三角形两底角相等）
所以$\angle A=180^{\circ}-\angle B-\angle C=180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}=120^{\circ}$
答案为：$120^{\circ}$；$30^{\circ}$
（3）已知一个角等于$55^{\circ}$
若$\angle A=55^{\circ}$
因为$AB=AC$
所以$\angle B=\angle C$（等腰三角形两底角相等）
所以$\angle B=\angle C=\frac{180^{\circ}-\angle A}{2}=\frac{180^{\circ}-55^{\circ}}{2}=62.5^{\circ}$
若$\angle B=55^{\circ}$
因为$AB=AC$
所以$\angle B=\angle C=55^{\circ}$（等腰三角形两底角相等）
所以$\angle A=180^{\circ}-\angle B-\angle C=180^{\circ}-55^{\circ}-55^{\circ}=70^{\circ}$
若$\angle C=55^{\circ}$
因为$AB=AC$
所以$\angle B=\angle C=55^{\circ}$（等腰三角形两底角相等）
所以$\angle A=180^{\circ}-\angle B-\angle C=180^{\circ}-55^{\circ}-55^{\circ}=70^{\circ}$
答案为：$55^{\circ}$，$70^{\circ}$；或$62.5^{\circ}$，$62.5^{\circ}$
[总结]
通过对等腰三角形性质和三角形内角和定理的运用，逐步推导出各个角的度数。
[答案]
（1）$55^{\circ}$；$55^{\circ}$
（2）$120^{\circ}$；$30^{\circ}$
（3）$55^{\circ}$，$70^{\circ}$；或$62.5^{\circ}$，$62.5^{\circ}$
根据等腰三角形的性质，两个底角相等，利用三角形内角和定理（三角形三个内角的和等于$180^{\circ}$）求解即可。
[解答]
（1）已知$\angle A=70^{\circ}$
因为$AB=AC$
所以$\angle B=\angle C$（等腰三角形两底角相等）
因为三角形内角和为$180^{\circ}$
所以$\angle B=\angle C=\frac{180^{\circ}-\angle A}{2}=\frac{180^{\circ}-70^{\circ}}{2}=55^{\circ}$
答案为：$55^{\circ}$；$55^{\circ}$
（2）已知$\angle B=30^{\circ}$
因为$AB=AC$
所以$\angle B=\angle C=30^{\circ}$（等腰三角形两底角相等）
所以$\angle A=180^{\circ}-\angle B-\angle C=180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}=120^{\circ}$
答案为：$120^{\circ}$；$30^{\circ}$
（3）已知一个角等于$55^{\circ}$
若$\angle A=55^{\circ}$
因为$AB=AC$
所以$\angle B=\angle C$（等腰三角形两底角相等）
所以$\angle B=\angle C=\frac{180^{\circ}-\angle A}{2}=\frac{180^{\circ}-55^{\circ}}{2}=62.5^{\circ}$
若$\angle B=55^{\circ}$
因为$AB=AC$
所以$\angle B=\angle C=55^{\circ}$（等腰三角形两底角相等）
所以$\angle A=180^{\circ}-\angle B-\angle C=180^{\circ}-55^{\circ}-55^{\circ}=70^{\circ}$
若$\angle C=55^{\circ}$
因为$AB=AC$
所以$\angle B=\angle C=55^{\circ}$（等腰三角形两底角相等）
所以$\angle A=180^{\circ}-\angle B-\angle C=180^{\circ}-55^{\circ}-55^{\circ}=70^{\circ}$
答案为：$55^{\circ}$，$70^{\circ}$；或$62.5^{\circ}$，$62.5^{\circ}$
[总结]
通过对等腰三角形性质和三角形内角和定理的运用，逐步推导出各个角的度数。
[答案]
（1）$55^{\circ}$；$55^{\circ}$
（2）$120^{\circ}$；$30^{\circ}$
（3）$55^{\circ}$，$70^{\circ}$；或$62.5^{\circ}$，$62.5^{\circ}$
解析：
(1)∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠A=70°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=∠C=(180°-70°)÷2=55°；
(2)∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=180°-30°-30°=120°；
(3)当55°角为顶角时，底角=(180°-55°)÷2=62.5°，其余两角为62.5°，62.5°；当55°角为底角时，顶角=180°-55°×2=70°，其余两角为55°，70°。
(2)∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=180°-30°-30°=120°；
(3)当55°角为顶角时，底角=(180°-55°)÷2=62.5°，其余两角为62.5°，62.5°；当55°角为底角时，顶角=180°-55°×2=70°，其余两角为55°，70°。
2. 选择题：
(1)如图①,在△ABC中,AB= AC,∠A= 36°,BD是边AC上的高,则∠DBC的度数是(
A. 18°
B. 24°
C. 30°
D. 36°
(2)等腰三角形的一边长为10,另一边长为7,它的周长是(
A. 27
B. 24
C. 17
D. 27或24
(3)如图②,AB//CD,点E在BC上,且CD= CE,∠D= 74°,则∠B的度数是(
A. 68°
B. 32°
C. 22°
D. 16°
(1)如图①,在△ABC中,AB= AC,∠A= 36°,BD是边AC上的高,则∠DBC的度数是(
A
)A. 18°
B. 24°
C. 30°
D. 36°
(2)等腰三角形的一边长为10,另一边长为7,它的周长是(
D
)A. 27
B. 24
C. 17
D. 27或24
(3)如图②,AB//CD,点E在BC上,且CD= CE,∠D= 74°,则∠B的度数是(
B
)A. 68°
B. 32°
C. 22°
D. 16°
答案：(1)A
(2)D
(3)B
(2)D
(3)B
解析：
(1)在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle A = 36^{\circ}$，根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle C=\frac{180^{\circ}-\angle A}{2}=\frac{180 - 36}{2}=72^{\circ}$。
因为$BD$是边$AC$上的高，所以$\angle BDC = 90^{\circ}$，在$\triangle BDC$中，$\angle DBC=180^{\circ}-\angle BDC-\angle C=180 - 90 - 72 = 18^{\circ}$。
(2)分两种情况讨论：
当等腰三角形的腰长为$10$，底边长为$7$时，根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），$10 + 10＞7$，$10 + 7＞10$，能构成三角形，此时周长为$10 + 10 + 7 = 27$。
当等腰三角形的腰长为$7$，底边长为$10$时，$7 + 7＞10$，$7 + 10＞7$，能构成三角形，此时周长为$7 + 7 + 10 = 24$。
所以它的周长是$27$或$24$。
(3)因为$CD = CE$，所以$\angle DEC=\angle D = 74^{\circ}$。
根据邻补角的性质，$\angle C = 180^{\circ}-2×74^{\circ}=180 - 148 = 32^{\circ}$。
又因为$AB// CD$，根据两直线平行，同位角相等，所以$\angle B=\angle C = 32^{\circ}$。
因为$BD$是边$AC$上的高，所以$\angle BDC = 90^{\circ}$，在$\triangle BDC$中，$\angle DBC=180^{\circ}-\angle BDC-\angle C=180 - 90 - 72 = 18^{\circ}$。
(2)分两种情况讨论：
当等腰三角形的腰长为$10$，底边长为$7$时，根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），$10 + 10＞7$，$10 + 7＞10$，能构成三角形，此时周长为$10 + 10 + 7 = 27$。
当等腰三角形的腰长为$7$，底边长为$10$时，$7 + 7＞10$，$7 + 10＞7$，能构成三角形，此时周长为$7 + 7 + 10 = 24$。
所以它的周长是$27$或$24$。
(3)因为$CD = CE$，所以$\angle DEC=\angle D = 74^{\circ}$。
根据邻补角的性质，$\angle C = 180^{\circ}-2×74^{\circ}=180 - 148 = 32^{\circ}$。
又因为$AB// CD$，根据两直线平行，同位角相等，所以$\angle B=\angle C = 32^{\circ}$。
3. 如图,在△ABC中,AB= AC,AD⊥BC,点E在CA的延长线上,AE= AF. 试判断EF与AD的位置关系,并说明理由.
答案：EF与AD平行。理由如下：
∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠C。
∵AD⊥BC，∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），即∠CAD=∠BAC/2。
∵E在CA延长线上，AE=AF，∴△AEF是等腰三角形，∠E=∠AFE。
在△AEF中，∠EAF+∠E+∠AFE=180°，∴∠EAF=180°-2∠E。
∵C、A、E共线，∴∠EAF=180°-∠BAC（邻补角定义）。
∴180°-∠BAC=180°-2∠E，即∠BAC=2∠E，∴∠E=∠BAC/2。
∵∠CAD=∠BAC/2，∴∠E=∠CAD。
∴EF//AD（内错角相等，两直线平行）。
结论：EF//AD。
∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠C。
∵AD⊥BC，∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），即∠CAD=∠BAC/2。
∵E在CA延长线上，AE=AF，∴△AEF是等腰三角形，∠E=∠AFE。
在△AEF中，∠EAF+∠E+∠AFE=180°，∴∠EAF=180°-2∠E。
∵C、A、E共线，∴∠EAF=180°-∠BAC（邻补角定义）。
∴180°-∠BAC=180°-2∠E，即∠BAC=2∠E，∴∠E=∠BAC/2。
∵∠CAD=∠BAC/2，∴∠E=∠CAD。
∴EF//AD（内错角相等，两直线平行）。
结论：EF//AD。
1. 填空题：
(1)若等腰三角形的一个外角为70°,则它的底角为
(2)如图,AB= AC,BD= BC,∠A= 40°,则∠ABD=
(3)已知等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为12和15两部分,则它的底边长是
(1)若等腰三角形的一个外角为70°,则它的底角为
35°
；(2)如图,AB= AC,BD= BC,∠A= 40°,则∠ABD=
30°
；(3)已知等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为12和15两部分,则它的底边长是
7或11
.答案：(1)35°；(2)30°；(3)7或11
解析：
(1)等腰三角形外角为70°，则内角为110°，110°只能为顶角，底角=(180°-110°)/2=35°；(2)AB=AC，∠A=40°，∠ABC=∠ACB=70°，BD=BC，∠BDC=∠ACB=70°，∠DBC=40°，∠ABD=70°-40°=30°；(3)设腰长2x，底y，中线分周长为3x和x+y。若3x=12，x=4，y=15-4=11；若3x=15，x=5，y=12-5=7，均符合三边关系，底边长7或11。