2. 如图,在△ABC中,AB= BC= AC,AD 是中线,点 E 在边 AC 上,AE= AD,则∠EDC= ______°.
15
答案：15
解析：
∵AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形，∠BAC=∠C=60°。
∵AD是中线，∴AD平分∠BAC，AD⊥BC（三线合一），∴∠CAD=30°，∠ADC=90°。
∵AE=AD，∴△ADE是等腰三角形，∠ADE=∠AED。
在△ADE中，∠DAE=30°，∴∠ADE=(180°-30°)/2=75°。
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC=90°-75°=15°。
∵AD是中线，∴AD平分∠BAC，AD⊥BC（三线合一），∴∠CAD=30°，∠ADC=90°。
∵AE=AD，∴△ADE是等腰三角形，∠ADE=∠AED。
在△ADE中，∠DAE=30°，∴∠ADE=(180°-30°)/2=75°。
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC=90°-75°=15°。
3. 以正方形 ABCD 的一边 CD 为边向外作等边三角形 CDE,则∠AEB=
30
°.答案：30
解析：
设正方形ABCD边长为a，等边三角形CDE中CD=CE=DE=a，∠CDE=∠DCE=60°。
在正方形ABCD中，AD=CD=a，∠ADC=90°，故AD=DE，△ADE为等腰三角形。∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°+60°=150°（或由几何关系得150°），则∠DAE=(180°-150°)/2=15°。
同理，BC=CD=CE=a，∠BCE=90°+60°=150°，△BCE为等腰三角形，∠CBE=15°。
在△AEB中，∠EAB=∠DAB-∠DAE=90°-15°=75°，∠EBA=∠CBA-∠CBE=90°-15°=75°，故∠AEB=180°-75°-75°=30°。
在正方形ABCD中，AD=CD=a，∠ADC=90°，故AD=DE，△ADE为等腰三角形。∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°+60°=150°（或由几何关系得150°），则∠DAE=(180°-150°)/2=15°。
同理，BC=CD=CE=a，∠BCE=90°+60°=150°，△BCE为等腰三角形，∠CBE=15°。
在△AEB中，∠EAB=∠DAB-∠DAE=90°-15°=75°，∠EBA=∠CBA-∠CBE=90°-15°=75°，故∠AEB=180°-75°-75°=30°。
4. 如图,在△ABC中,AB= AC,∠BAC= 120°,AD⊥AB,AE⊥AC,垂足均为 A.△ADE 是等边三角形吗? 为什么?
答案：△ADE是等边三角形。理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)/2=(180°-120°)/2=30°。
∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，
∴∠ADB=180°-∠BAD-∠B=180°-90°-30°=60°。
∵AE⊥AC，
∴∠CAE=90°，
∴∠AEC=180°-∠CAE-∠C=180°-90°-30°=60°。
∵∠DAE=∠BAD+∠CAE-∠BAC=90°+90°-120°=60°，
在△ADE中，∠DAE=60°，∠ADE=∠ADB=60°，∠AED=∠AEC=60°，
∴∠DAE=∠ADE=∠AED=60°，
∴△ADE是等边三角形。
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)/2=(180°-120°)/2=30°。
∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，
∴∠ADB=180°-∠BAD-∠B=180°-90°-30°=60°。
∵AE⊥AC，
∴∠CAE=90°，
∴∠AEC=180°-∠CAE-∠C=180°-90°-30°=60°。
∵∠DAE=∠BAD+∠CAE-∠BAC=90°+90°-120°=60°，
在△ADE中，∠DAE=60°，∠ADE=∠ADB=60°，∠AED=∠AEC=60°，
∴∠DAE=∠ADE=∠AED=60°，
∴△ADE是等边三角形。
5. 如图,AB= BC,∠CDE= 120°,DF//BA,且 DF 平分∠CDE.求证:△ABC 是等边三角形.
答案：∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE，
∴∠FDC=∠CDE/2=60°（角平分线定义）。
∵D、B、C在同一直线上，
∴∠FDB=∠FDC=60°。
∵DF//BA，
∴∠ABD=∠FDB=60°（两直线平行，内错角相等）。
∵∠ABD=∠ABC，
∴∠ABC=60°。
∵AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形，且顶角∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）。
∴∠FDC=∠CDE/2=60°（角平分线定义）。
∵D、B、C在同一直线上，
∴∠FDB=∠FDC=60°。
∵DF//BA，
∴∠ABD=∠FDB=60°（两直线平行，内错角相等）。
∵∠ABD=∠ABC，
∴∠ABC=60°。
∵AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形，且顶角∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）。
1. 等腰三角形的周长为 80,若以它的底边为边的等边三角形的周长为 30,则该等腰三角形的腰长为(
A.25
B.35
C.30
D.40
B
)A.25
B.35
C.30
D.40
答案：B
解析：
以底边为边的等边三角形周长为30，则底边长为30÷3=10。等腰三角形周长为80，腰长=(80-10)÷2=35。
2. 如图,在等边三角形 ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BC 延长线上的一点,且 CE= CD,DM⊥BC,垂足为 M.求证:M 是 BE 的中点.
答案：证明：
连接$BD$。
$\because$在等边$\triangle ABC$中，且$D$是$AC$的中点，
$\therefore \angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}×60^{\circ}=30^{\circ}$，$\angle ACB=60^{\circ}$，
$\because CD = CE$，
$\therefore \angle CDE=\angle E$，
$\because \angle ACB=\angle CDE+\angle E=60^{\circ}$，
$\therefore \angle E=30^{\circ}$，
$\therefore \angle DBC=\angle E=30^{\circ}$，
$\because DM\perp BC$，即$\angle DMB=\angle DME=90^{\circ}$，
在$\triangle BDM$和$\triangle EDM$中，
$\begin{cases}\angle DBC=\angle E,\\ DM=DM,\\\angle DMB=\angle DME.\end{cases}$
$\therefore \triangle BDM\cong\triangle EDM(ASA)$，
$\therefore BM = EM$，
即$M$是$BE$的中点。
连接$BD$。
$\because$在等边$\triangle ABC$中，且$D$是$AC$的中点，
$\therefore \angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}×60^{\circ}=30^{\circ}$，$\angle ACB=60^{\circ}$，
$\because CD = CE$，
$\therefore \angle CDE=\angle E$，
$\because \angle ACB=\angle CDE+\angle E=60^{\circ}$，
$\therefore \angle E=30^{\circ}$，
$\therefore \angle DBC=\angle E=30^{\circ}$，
$\because DM\perp BC$，即$\angle DMB=\angle DME=90^{\circ}$，
在$\triangle BDM$和$\triangle EDM$中，
$\begin{cases}\angle DBC=\angle E,\\ DM=DM,\\\angle DMB=\angle DME.\end{cases}$
$\therefore \triangle BDM\cong\triangle EDM(ASA)$，
$\therefore BM = EM$，
即$M$是$BE$的中点。