活动三：想一想 做一做
1. 感受化归思想.
如图1-24,等边三角形ABC的边长为1,D,E分别是AB,AC上的点,将△ADE沿直线DE折叠,点A落在点A'处,且点A'在△ABC的外部,则阴影部分的周长为
2. 感受分类思想.
(1)在等腰三角形ABC中,∠A= 80°,求∠B的度数；
(2)等腰三角形ABC的周长为8,AB= 3,求BC的长.
3. 感受方程思想.
如图1-25,在△ABC中,点D在边AC上,点E在边AB上,且AB= AC,BC= BD,AD= DE= EB,求∠A的度数.
1. 感受化归思想.
如图1-24,等边三角形ABC的边长为1,D,E分别是AB,AC上的点,将△ADE沿直线DE折叠,点A落在点A'处,且点A'在△ABC的外部,则阴影部分的周长为
3
.2. 感受分类思想.
(1)在等腰三角形ABC中,∠A= 80°,求∠B的度数；
50°或20°或80°
(2)等腰三角形ABC的周长为8,AB= 3,求BC的长.
2或2.5
3. 感受方程思想.
如图1-25,在△ABC中,点D在边AC上,点E在边AB上,且AB= AC,BC= BD,AD= DE= EB,求∠A的度数.
45°
答案：1. $3$
2.（1）$50^{\circ}$或$20^{\circ}$或$80^{\circ}$；（2）$2$或$2.5$
3. $45^{\circ}$
2.（1）$50^{\circ}$或$20^{\circ}$或$80^{\circ}$；（2）$2$或$2.5$
3. $45^{\circ}$
解析：
1. 将$\triangle ADE$沿直线$DE$折叠，点$A$落在点$A'$处，所以$AD = A'D$，$AE = A'E$。
则$C_{阴影}=A'D + BD + A'E + CE + BC$
$= (AD + BD) + (AE + CE) + BC$
$= AB + AC + BC$
因为$\triangle ABC$是等边三角形，边长为$1$，所以$C_{阴影}= 1 + 1 + 1 = 3$。
2.（1）当$\angle A$为顶角时：
$\angle B=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)=\frac{1}{2}(180 - 80)=50^{\circ}$
当$\angle A$为底角，$\angle B$为顶角时：
$\angle B=180^{\circ}-2\angle A=180 - 2×80=20^{\circ}$
当$\angle A$为底角，$\angle B$为底角时：
$\angle B = \angle A = 80^{\circ}$
综上，$\angle B$的度数为$50^{\circ}$或$20^{\circ}$或$80^{\circ}$。
（2）若$AB$为腰，$AC$为底：
则$AB = AC = 3$，$BC = 8 - 3 - 3 = 2$
若$AB$为底，$AC$为腰：
则$BC = AC=\frac{8 - 3}{2}=2.5$
综上，$BC$的长为$2$或$2.5$。
3. 设$\angle EBD = x$，因为$DE = EB$，所以$\angle EDB=\angle EBD = x$，$\angle AED = \angle EBD + \angle EDB = 2x$
因为$AD = DE$，所以$\angle A=\angle AED = 2x$
$\angle BDC=\angle A+\angle EBD = 3x$
因为$BC = BD$，所以$\angle C=\angle BDC = 3x$
因为$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle C = 3x$
在$\triangle ABC$中，$\angle A+\angle ABC+\angle C = 180^{\circ}$，即$2x + 3x + 3x=180^{\circ}$
$8x=180^{\circ}$
$x = 22.5^{\circ}$
所以$\angle A=2x = 45^{\circ}$
则$C_{阴影}=A'D + BD + A'E + CE + BC$
$= (AD + BD) + (AE + CE) + BC$
$= AB + AC + BC$
因为$\triangle ABC$是等边三角形，边长为$1$，所以$C_{阴影}= 1 + 1 + 1 = 3$。
2.（1）当$\angle A$为顶角时：
$\angle B=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)=\frac{1}{2}(180 - 80)=50^{\circ}$
当$\angle A$为底角，$\angle B$为顶角时：
$\angle B=180^{\circ}-2\angle A=180 - 2×80=20^{\circ}$
当$\angle A$为底角，$\angle B$为底角时：
$\angle B = \angle A = 80^{\circ}$
综上，$\angle B$的度数为$50^{\circ}$或$20^{\circ}$或$80^{\circ}$。
（2）若$AB$为腰，$AC$为底：
则$AB = AC = 3$，$BC = 8 - 3 - 3 = 2$
若$AB$为底，$AC$为腰：
则$BC = AC=\frac{8 - 3}{2}=2.5$
综上，$BC$的长为$2$或$2.5$。
3. 设$\angle EBD = x$，因为$DE = EB$，所以$\angle EDB=\angle EBD = x$，$\angle AED = \angle EBD + \angle EDB = 2x$
因为$AD = DE$，所以$\angle A=\angle AED = 2x$
$\angle BDC=\angle A+\angle EBD = 3x$
因为$BC = BD$，所以$\angle C=\angle BDC = 3x$
因为$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle C = 3x$
在$\triangle ABC$中，$\angle A+\angle ABC+\angle C = 180^{\circ}$，即$2x + 3x + 3x=180^{\circ}$
$8x=180^{\circ}$
$x = 22.5^{\circ}$
所以$\angle A=2x = 45^{\circ}$
1. 如图,在△ABC和△ABD中,∠C= ∠D= 90°,若利用“AAS”说明△ABC≌△ABD,则需要添加条件
$\angle CAB=\angle DAB$
或$\angle CBA=\angle DBA$
；若利用“HL”说明△ABC≌△ABD,则需要添加条件$AC = AD$
或$BC = BD$
.答案：$\angle CAB=\angle DAB$；$\angle CBA=\angle DBA$；$AC = AD$；$BC = BD$
解析：
若利用“AAS”说明$\triangle ABC\cong \triangle ABD$，已知$\angle C=\angle D = 90^{\circ}$，公共边为$AB$，还需要一对角相等，可添加$\angle CAB=\angle DAB$或$\angle CBA=\angle DBA$。
若利用“HL”说明$\triangle ABC\cong \triangle ABD$，因为$\angle C=\angle D = 90^{\circ}$，$AB$为公共边（斜边），则需要添加一对直角边相等，可添加$AC = AD$或$BC = BD$。
若利用“HL”说明$\triangle ABC\cong \triangle ABD$，因为$\angle C=\angle D = 90^{\circ}$，$AB$为公共边（斜边），则需要添加一对直角边相等，可添加$AC = AD$或$BC = BD$。