活动一：想一想 说一说
1. 棱长为1的正方体体积如何计算？体积为2的正方体的棱长是多少？
2. (
3. 与同学交流立方根的定义.
4. 观察问题1中的式子,说一说8,-$\frac{64}{125}$,0的立方根分别是多少,任何数都有立方根吗？
5. 开立方运算与立方运算有什么关系？立方根和平方根有何区别与联系？
1. 棱长为1的正方体体积如何计算？体积为2的正方体的棱长是多少？
棱长为1的正方体体积为 $1^3 = 1$；体积为2的正方体的棱长是 $\sqrt[3]{2}$。
2. (
2
)^3= 8,($-\frac{4}{5}$
)^3= -$\frac{64}{125}$,(0
)^3= 0.3. 与同学交流立方根的定义.
立方根的定义：如果一个数的立方等于 $a$，那么这个数叫 $a$ 的立方根，也称为三次方根。也就是说，如果 $x^3 = a$，那么 $x$ 叫做 $a$ 的立方根。
4. 观察问题1中的式子,说一说8,-$\frac{64}{125}$,0的立方根分别是多少,任何数都有立方根吗？
8 的立方根是 2；-$\frac{64}{125}$ 的立方根是 -$\frac{4}{5}$；0 的立方根是 0。任何数都有立方根。
5. 开立方运算与立方运算有什么关系？立方根和平方根有何区别与联系？
开立方运算与立方运算互为逆运算。立方根和平方根的区别：正数的平方根有两个，它们互为相反数，而正数的立方根只有一个；负数没有平方根，而负数有一个负的立方根；0 的平方根和立方根都是 0。联系：都是开方运算，都涉及到乘方的逆运算。
答案：1. 棱长为1的正方体体积为 $1^3 = 1$；体积为2的正方体的棱长是 $\sqrt[3]{2}$。
2. $2^3 = 8$，$\left(-\frac{4}{5}\right)^3 = -\frac{64}{125}$，$0^3 = 0$。
3. 立方根的定义：如果一个数的立方等于 $a$，那么这个数叫 $a$ 的立方根，也称为三次方根。也就是说，如果 $x^3 = a$，那么 $x$ 叫做 $a$ 的立方根。
4. 8 的立方根是 2；-$\frac{64}{125}$ 的立方根是 -$\frac{4}{5}$；0 的立方根是 0。任何数都有立方根。
5. 开立方运算与立方运算互为逆运算。立方根和平方根的区别：正数的平方根有两个，它们互为相反数，而正数的立方根只有一个；负数没有平方根，而负数有一个负的立方根；0 的平方根和立方根都是 0。联系：都是开方运算，都涉及到乘方的逆运算。
2. $2^3 = 8$，$\left(-\frac{4}{5}\right)^3 = -\frac{64}{125}$，$0^3 = 0$。
3. 立方根的定义：如果一个数的立方等于 $a$，那么这个数叫 $a$ 的立方根，也称为三次方根。也就是说，如果 $x^3 = a$，那么 $x$ 叫做 $a$ 的立方根。
4. 8 的立方根是 2；-$\frac{64}{125}$ 的立方根是 -$\frac{4}{5}$；0 的立方根是 0。任何数都有立方根。
5. 开立方运算与立方运算互为逆运算。立方根和平方根的区别：正数的平方根有两个，它们互为相反数，而正数的立方根只有一个；负数没有平方根，而负数有一个负的立方根；0 的平方根和立方根都是 0。联系：都是开方运算，都涉及到乘方的逆运算。
活动二：想一想 做一做
1. 求下列各数的立方根：
(1) 64； (2) -64； (3) 9； (4) -$\frac{8}{125}$； (5) 8.
2. 求下列各式中x的值：
(1) $x^3+729= 0$； (2) $-27x^3= 64$； (3) $(x-1)^3= 125$； (4) $(x-3)^3= -1$.
1. 求下列各数的立方根：
(1) 64； (2) -64； (3) 9； (4) -$\frac{8}{125}$； (5) 8.
2. 求下列各式中x的值：
(1) $x^3+729= 0$； (2) $-27x^3= 64$； (3) $(x-1)^3= 125$； (4) $(x-3)^3= -1$.
答案：1.
(1) 解：
因为 $4^3 = 64$，
所以 64 的立方根是 4。
(2) 解：
因为 $(-4)^3 = -64$，
所以 -64 的立方根是 -4。
(3) 解：
9 的立方根是 $\sqrt[3]{9}$（或写作 $9^{\frac{1}{3}}$），此数不能简化为有理数，故保持原形式。
(4) 解：
因为 $\left(-\frac{2}{5}\right)^3 = -\frac{8}{125}$，
所以 $-\frac{8}{125}$ 的立方根是 $-\frac{2}{5}$。
(5) 解：
因为 $2^3 = 8$，
所以 8 的立方根是 2。
2.
(1) 解：
由 $x^3 + 729 = 0$，
得 $x^3 = -729$，
因为 $(-9)^3 = -729$，
所以 $x = -9$。
(2) 解：
由 $-27x^3 = 64$，
得 $x^3 = -\frac{64}{27}$，
因为 $\left(-\frac{4}{3}\right)^3 = -\frac{64}{27}$，
所以 $x = -\frac{4}{3}$。
(3) 解：
由 $(x-1)^3 = 125$，
因为 $5^3 = 125$，
所以 $x-1 = 5$，
解得 $x = 6$。
(4) 解：
由 $(x-3)^3 = -1$，
因为 $(-1)^3 = -1$，
所以 $x-3 = -1$，
解得 $x = 2$。
(1) 解：
因为 $4^3 = 64$，
所以 64 的立方根是 4。
(2) 解：
因为 $(-4)^3 = -64$，
所以 -64 的立方根是 -4。
(3) 解：
9 的立方根是 $\sqrt[3]{9}$（或写作 $9^{\frac{1}{3}}$），此数不能简化为有理数，故保持原形式。
(4) 解：
因为 $\left(-\frac{2}{5}\right)^3 = -\frac{8}{125}$，
所以 $-\frac{8}{125}$ 的立方根是 $-\frac{2}{5}$。
(5) 解：
因为 $2^3 = 8$，
所以 8 的立方根是 2。
2.
(1) 解：
由 $x^3 + 729 = 0$，
得 $x^3 = -729$，
因为 $(-9)^3 = -729$，
所以 $x = -9$。
(2) 解：
由 $-27x^3 = 64$，
得 $x^3 = -\frac{64}{27}$，
因为 $\left(-\frac{4}{3}\right)^3 = -\frac{64}{27}$，
所以 $x = -\frac{4}{3}$。
(3) 解：
由 $(x-1)^3 = 125$，
因为 $5^3 = 125$，
所以 $x-1 = 5$，
解得 $x = 6$。
(4) 解：
由 $(x-3)^3 = -1$，
因为 $(-1)^3 = -1$，
所以 $x-3 = -1$，
解得 $x = 2$。