2. 如图,在Rt△ABC中,∠ABC= 90°,AC= 16,BC= 12.求以AB为边的正方形ABED的边长.
答案：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC=90^{\circ}$，$AC=16$，$BC=12$。
根据勾股定理$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$，可得$AB=\sqrt{AC^{2}-BC^{2}}$。
把$AC = 16$，$BC = 12$代入得：
$AB=\sqrt{16^{2}-12^{2}}=\sqrt{(16 + 12)×(16 - 12)}=\sqrt{28×4}=\sqrt{112}=4\sqrt{7}$。
因为正方形$ABED$的边长为$AB$，所以正方形$ABED$的边长为$4\sqrt{7}$。
根据勾股定理$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$，可得$AB=\sqrt{AC^{2}-BC^{2}}$。
把$AC = 16$，$BC = 12$代入得：
$AB=\sqrt{16^{2}-12^{2}}=\sqrt{(16 + 12)×(16 - 12)}=\sqrt{28×4}=\sqrt{112}=4\sqrt{7}$。
因为正方形$ABED$的边长为$AB$，所以正方形$ABED$的边长为$4\sqrt{7}$。
3. 如图,长2.5 m的梯子靠在墙上,梯子的底端到墙底端的距离为1.5 m.求梯子顶端到地面的距离h.
答案：∵梯子、地面和墙构成直角三角形，梯子为斜边，已知梯子长$2.5m$，底端离墙底端$1.5m$。
根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边），设梯子顶端到地面的距离为$h$，则$h^2+1.5^2 = 2.5^2$。
$h^2=2.5^2 - 1.5^2$
$h^2=(2.5 + 1.5)(2.5 - 1.5)$
$h^2=4×1$
$h^2 = 4$
$h=\pm2$
∵距离不能为负
∴$h = 2$
∴梯子顶端到地面的距离$h$为$2m$。
根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边），设梯子顶端到地面的距离为$h$，则$h^2+1.5^2 = 2.5^2$。
$h^2=2.5^2 - 1.5^2$
$h^2=(2.5 + 1.5)(2.5 - 1.5)$
$h^2=4×1$
$h^2 = 4$
$h=\pm2$
∵距离不能为负
∴$h = 2$
∴梯子顶端到地面的距离$h$为$2m$。
4. 在△ABC中,∠C= 90°,a:b= 3:4,c= 10.求a,b.
答案：答题卡：
解：
设$a = 3x$，$b = 4x$。
根据勾股定理，在直角三角形ABC中，有$a^{2} + b^{2} = c^{2}$。
代入$a = 3x$，$b = 4x$，$c = 10$，得到方程：
$(3x)^{2} + (4x)^{2} = 10^{2}$
$9x^{2} + 16x^{2} = 100$
$25x^{2} = 100$
$x^{2} = 4$
解得$x = 2$或$x = -2$（边长不能为负，舍去）。
所以，$a = 3x = 3 × 2 = 6$，$b = 4x = 4 × 2 = 8$。
答：$a = 6$，$b = 8$。
解：
设$a = 3x$，$b = 4x$。
根据勾股定理，在直角三角形ABC中，有$a^{2} + b^{2} = c^{2}$。
代入$a = 3x$，$b = 4x$，$c = 10$，得到方程：
$(3x)^{2} + (4x)^{2} = 10^{2}$
$9x^{2} + 16x^{2} = 100$
$25x^{2} = 100$
$x^{2} = 4$
解得$x = 2$或$x = -2$（边长不能为负，舍去）。
所以，$a = 3x = 3 × 2 = 6$，$b = 4x = 4 × 2 = 8$。
答：$a = 6$，$b = 8$。
解析：
设$a = 3k$，$b = 4k$（$k＞0$）。
因为在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^\circ$，根据勾股定理可得$a^2 + b^2 = c^2$。
已知$c = 10$，则$(3k)^2 + (4k)^2 = 10^2$，即$9k^2 + 16k^2 = 100$，$25k^2 = 100$，$k^2 = 4$，解得$k = 2$（$k=-2$舍去）。
所以$a = 3k = 3×2 = 6$，$b = 4k = 4×2 = 8$。
$a = 6$，$b = 8$。
因为在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^\circ$，根据勾股定理可得$a^2 + b^2 = c^2$。
已知$c = 10$，则$(3k)^2 + (4k)^2 = 10^2$，即$9k^2 + 16k^2 = 100$，$25k^2 = 100$，$k^2 = 4$，解得$k = 2$（$k=-2$舍去）。
所以$a = 3k = 3×2 = 6$，$b = 4k = 4×2 = 8$。
$a = 6$，$b = 8$。
5. 在数轴上画出√13对应的点.
答案：1. 因为$3^2 + 2^2=9 + 4 = 13$，所以在数轴上，以原点$O$为直角顶点，在数轴正半轴上取$OA = 3$，过点$A$作数轴的垂线，在垂线上取$AB=2$。
2. 连接$OB$，根据勾股定理，$OB=\sqrt{OA^{2}+AB^{2}}=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13}$。
3. 以$O$为圆心，$OB$为半径画弧，交数轴正半轴于点$C$，则点$C$表示的数就是$\sqrt{13}$。
综上，按照上述步骤可在数轴上画出$\sqrt{13}$对应的点。
2. 连接$OB$，根据勾股定理，$OB=\sqrt{OA^{2}+AB^{2}}=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13}$。
3. 以$O$为圆心，$OB$为半径画弧，交数轴正半轴于点$C$，则点$C$表示的数就是$\sqrt{13}$。
综上，按照上述步骤可在数轴上画出$\sqrt{13}$对应的点。
1. 如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,AC= 16,BC= 12,CD⊥AB,垂足为D.求AB,CD的长.
答案：在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$AB^2 = AC^2 + BC^2$，已知$AC = 16$，$BC = 12$，则$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{16^{2}+12^{2}}=\sqrt{256 + 144}=\sqrt{400}=20$。
根据三角形面积公式$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，即$AC\cdot BC = AB\cdot CD$，把$AC = 16$，$BC = 12$，$AB = 20$代入可得$16×12 = 20× CD$，解得$CD=\frac{16×12}{20}=9.6$。
综上，$AB$的长为$20$，$CD$的长为$9.6$。
根据三角形面积公式$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，即$AC\cdot BC = AB\cdot CD$，把$AC = 16$，$BC = 12$，$AB = 20$代入可得$16×12 = 20× CD$，解得$CD=\frac{16×12}{20}=9.6$。
综上，$AB$的长为$20$，$CD$的长为$9.6$。
2. 如图,在△ABC中,AB= 15,BC= 14,AC= 13,求△ABC的面积.
答案：过点$A$作$AD\perp BC$于点$D$。
设$BD = x$，则$CD = 14 - x$。
在$Rt\triangle ABD$中，根据勾股定理$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=15^{2}-x^{2}$。
在$Rt\triangle ACD$中，根据勾股定理$AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=13^{2}-(14 - x)^{2}$。
所以$15^{2}-x^{2}=13^{2}-(14 - x)^{2}$。
展开式子得$225 - x^{2}=169-(196 - 28x+x^{2})$。
去括号得$225 - x^{2}=169 - 196 + 28x - x^{2}$。
移项合并同类项得$28x = 225+(196 - 169)$。
即$28x = 252$，解得$x = 9$。
把$x = 9$代入$AD^{2}=15^{2}-x^{2}$，得$AD^{2}=15^{2}-9^{2}=225 - 81 = 144$，所以$AD = 12$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}× BC× AD$，$BC = 14$，$AD = 12$，则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×14×12 = 84$。
综上，$\triangle ABC$的面积是$84$。
设$BD = x$，则$CD = 14 - x$。
在$Rt\triangle ABD$中，根据勾股定理$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=15^{2}-x^{2}$。
在$Rt\triangle ACD$中，根据勾股定理$AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=13^{2}-(14 - x)^{2}$。
所以$15^{2}-x^{2}=13^{2}-(14 - x)^{2}$。
展开式子得$225 - x^{2}=169-(196 - 28x+x^{2})$。
去括号得$225 - x^{2}=169 - 196 + 28x - x^{2}$。
移项合并同类项得$28x = 225+(196 - 169)$。
即$28x = 252$，解得$x = 9$。
把$x = 9$代入$AD^{2}=15^{2}-x^{2}$，得$AD^{2}=15^{2}-9^{2}=225 - 81 = 144$，所以$AD = 12$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}× BC× AD$，$BC = 14$，$AD = 12$，则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×14×12 = 84$。
综上，$\triangle ABC$的面积是$84$。