3. 某校舞蹈队共16名学生,他们的身高(单位:cm)数据如下:
161,162,162,164,165,165,165,166,166,167,168,168,170,172,172,175
(1) 现将该舞蹈队中的10名学生分为甲、乙两组,各组学生的身高如下表.对于不同组的学生,如果一组学生身高的方差越小,则认为该组舞台呈现效果越好.据此推断:在甲、乙两组学生中,舞台呈现效果更好的是
|甲组学生的身高/cm|162|165|165|166|166|
|乙组学生的身高/cm|161|162|164|165|175|
(2) 该舞蹈队要选5名学生参加舞蹈比赛.已确定的3名参赛学生的身高分别为168 cm、168 cm、172 cm,他们身高的方差为$\frac{32}{9}$.另外2名学生的身高要满足以下要求:① 与已确定的3名学生所组成的5名学生的身高的方差小于$\frac{32}{9}$;② 与已确定的3名学生所组成的5名学生的身高的平均数尽可能大.则选出的另外2名学生的身高分别为
161,162,162,164,165,165,165,166,166,167,168,168,170,172,172,175
(1) 现将该舞蹈队中的10名学生分为甲、乙两组,各组学生的身高如下表.对于不同组的学生,如果一组学生身高的方差越小,则认为该组舞台呈现效果越好.据此推断:在甲、乙两组学生中,舞台呈现效果更好的是
甲
组.|甲组学生的身高/cm|162|165|165|166|166|
|乙组学生的身高/cm|161|162|164|165|175|
(2) 该舞蹈队要选5名学生参加舞蹈比赛.已确定的3名参赛学生的身高分别为168 cm、168 cm、172 cm,他们身高的方差为$\frac{32}{9}$.另外2名学生的身高要满足以下要求:① 与已确定的3名学生所组成的5名学生的身高的方差小于$\frac{32}{9}$;② 与已确定的3名学生所组成的5名学生的身高的平均数尽可能大.则选出的另外2名学生的身高分别为
170
cm和172
cm.答案：甲
170
172
170
172
解析：
（1）甲组平均身高：$\frac{162 + 165 + 165 + 166 + 166}{5} = 165$
甲组方差：$\frac{(162 - 165)^2 + (165 - 165)^2 + (165 - 165)^2 + (166 - 165)^2 + (166 - 165)^2}{5} = \frac{9 + 0 + 0 + 1 + 1}{5} = \frac{11}{5} = 2.2$
乙组平均身高：$\frac{161 + 162 + 164 + 165 + 175}{5} = 165.4$
乙组方差：$\frac{(161 - 165.4)^2 + (162 - 165.4)^2 + (164 - 165.4)^2 + (165 - 165.4)^2 + (175 - 165.4)^2}{5} = \frac{19.36 + 11.56 + 1.96 + 0.16 + 92.16}{5} = \frac{125.2}{5} = 25.04$
因为$2.2 ＜ 25.04$，所以舞台呈现效果更好的是甲组。
（2）已确定3名学生身高总和：$168 + 168 + 172 = 508$
设另外2名学生身高为$x$、$y$，5名学生平均身高$\overline{a} = \frac{508 + x + y}{5}$
方差$s^2 = \frac{(168 - \overline{a})^2 + (168 - \overline{a})^2 + (172 - \overline{a})^2 + (x - \overline{a})^2 + (y - \overline{a})^2}{5} ＜ \frac{32}{9}$
要使平均数尽可能大，优先选择较大身高：175、172、170、168、167……
尝试$x = 175$，$y = 172$：$\overline{a} = \frac{508 + 175 + 172}{5} = \frac{855}{5} = 171$
方差$s^2 = \frac{(168 - 171)^2 + (168 - 171)^2 + (172 - 171)^2 + (175 - 171)^2 + (172 - 171)^2}{5} = \frac{9 + 9 + 1 + 16 + 1}{5} = \frac{36}{5} = 7.2 ＞ \frac{32}{9} \approx 3.56$
尝试$x = 172$，$y = 172$：$\overline{a} = \frac{508 + 172 + 172}{5} = \frac{852}{5} = 170.4$
方差$s^2 = \frac{(168 - 170.4)^2 + (168 - 170.4)^2 + (172 - 170.4)^2 + (172 - 170.4)^2 + (172 - 170.4)^2}{5} = \frac{5.76 + 5.76 + 2.56 + 2.56 + 2.56}{5} = \frac{19.2}{5} = 3.84 ＞ \frac{32}{9}$
尝试$x = 170$，$y = 172$：$\overline{a} = \frac{508 + 170 + 172}{5} = \frac{850}{5} = 170$
方差$s^2 = \frac{(168 - 170)^2 + (168 - 170)^2 + (172 - 170)^2 + (170 - 170)^2 + (172 - 170)^2}{5} = \frac{4 + 4 + 4 + 0 + 4}{5} = \frac{16}{5} = 3.2 ＜ \frac{32}{9}$
所以选出的另外2名学生的身高分别为170cm和172cm。
（1）甲
（2）170，172
甲组方差：$\frac{(162 - 165)^2 + (165 - 165)^2 + (165 - 165)^2 + (166 - 165)^2 + (166 - 165)^2}{5} = \frac{9 + 0 + 0 + 1 + 1}{5} = \frac{11}{5} = 2.2$
乙组平均身高：$\frac{161 + 162 + 164 + 165 + 175}{5} = 165.4$
乙组方差：$\frac{(161 - 165.4)^2 + (162 - 165.4)^2 + (164 - 165.4)^2 + (165 - 165.4)^2 + (175 - 165.4)^2}{5} = \frac{19.36 + 11.56 + 1.96 + 0.16 + 92.16}{5} = \frac{125.2}{5} = 25.04$
因为$2.2 ＜ 25.04$，所以舞台呈现效果更好的是甲组。
（2）已确定3名学生身高总和：$168 + 168 + 172 = 508$
设另外2名学生身高为$x$、$y$，5名学生平均身高$\overline{a} = \frac{508 + x + y}{5}$
方差$s^2 = \frac{(168 - \overline{a})^2 + (168 - \overline{a})^2 + (172 - \overline{a})^2 + (x - \overline{a})^2 + (y - \overline{a})^2}{5} ＜ \frac{32}{9}$
要使平均数尽可能大，优先选择较大身高：175、172、170、168、167……
尝试$x = 175$，$y = 172$：$\overline{a} = \frac{508 + 175 + 172}{5} = \frac{855}{5} = 171$
方差$s^2 = \frac{(168 - 171)^2 + (168 - 171)^2 + (172 - 171)^2 + (175 - 171)^2 + (172 - 171)^2}{5} = \frac{9 + 9 + 1 + 16 + 1}{5} = \frac{36}{5} = 7.2 ＞ \frac{32}{9} \approx 3.56$
尝试$x = 172$，$y = 172$：$\overline{a} = \frac{508 + 172 + 172}{5} = \frac{852}{5} = 170.4$
方差$s^2 = \frac{(168 - 170.4)^2 + (168 - 170.4)^2 + (172 - 170.4)^2 + (172 - 170.4)^2 + (172 - 170.4)^2}{5} = \frac{5.76 + 5.76 + 2.56 + 2.56 + 2.56}{5} = \frac{19.2}{5} = 3.84 ＞ \frac{32}{9}$
尝试$x = 170$，$y = 172$：$\overline{a} = \frac{508 + 170 + 172}{5} = \frac{850}{5} = 170$
方差$s^2 = \frac{(168 - 170)^2 + (168 - 170)^2 + (172 - 170)^2 + (170 - 170)^2 + (172 - 170)^2}{5} = \frac{4 + 4 + 4 + 0 + 4}{5} = \frac{16}{5} = 3.2 ＜ \frac{32}{9}$
所以选出的另外2名学生的身高分别为170cm和172cm。
（1）甲
（2）170，172
4. 对某条路线的长度进行5次测量,得到5个结果(单位:km):$x_{1}= 104$,$x_{2}= 101$,$x_{3}= 102$,$x_{4}= 104$,$x_{5}= 103$.如果用$x$作为这条路线长度的近似值,要使$(x-x_{1})^{2}+(x-x_{2})^{2}+… +(x-x_{5})^{2}$的值最小,那么$x$应选取这5次测量结果的(
A.中位数
B.众数
C.平均数
D.方差
C
)A.中位数
B.众数
C.平均数
D.方差
答案：C
解析：
设$y=(x - x_{1})^{2}+(x - x_{2})^{2}+\cdots+(x - x_{5})^{2}$，展开得$y = 5x^{2}-2(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{5})x+(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{5}^{2})$。对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$（$a＞0$），当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y$取最小值。这里$a = 5$，$b=-2(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{5})$，则$x=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{5}}{5}$，即$x$为这5次测量结果的平均数。
C.
C.
1. 某超市购进一批大米,大米的标准包装为每袋 30 kg,售货员任选 6 袋进行称重检验,超过标准质量的记作“+”,不足标准质量的记作“-”,如果他记录的结果(单位：kg)是+0.5,-0.5,0,-0.5,-0.5,+1,那么这 6 袋大米质量的平均数是(
A.0 kg
B.29.5 kg
C.30 kg
D.30.5 kg
C
)A.0 kg
B.29.5 kg
C.30 kg
D.30.5 kg
答案：C
解析：
首先计算超过或不足标准质量的总和：$0.5 + (-0.5) + 0 + (-0.5) + (-0.5) + 1$
$=0.5 - 0.5 + 0 - 0.5 - 0.5 + 1$
$=0 + 0 - 1 + 1$
$=0$
平均每袋超过或不足的质量为：$0÷6 = 0$
所以这 6 袋大米质量的平均数是：$30 + 0 = 30$（kg）
C
$=0.5 - 0.5 + 0 - 0.5 - 0.5 + 1$
$=0 + 0 - 1 + 1$
$=0$
平均每袋超过或不足的质量为：$0÷6 = 0$
所以这 6 袋大米质量的平均数是：$30 + 0 = 30$（kg）
C