5. 向如图所示的正六边形靶子上随意抛一枚飞镖,飞镖插在阴影区域的概率为 (
A.$\frac{2\sqrt{3}\pi}{9}-1$
B.$\frac{1}{6}$
C.$1-\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}$
D.$\frac{1}{5}$
A
)A.$\frac{2\sqrt{3}\pi}{9}-1$
B.$\frac{1}{6}$
C.$1-\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}$
D.$\frac{1}{5}$
答案：A
解析：
设正六边形边长为$a$。
正六边形面积：$S_1 = 6×\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$。
阴影区域由3个相同“叶形”组成，每个叶形面积为2个$60^\circ$扇形面积减去等边三角形面积：$2×\left(\frac{60}{360}\pi a^2\right)-\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\pi a^2}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$。
阴影总面积：$S_2=3×\left(\frac{\pi a^2}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\right)=\pi a^2-\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2$。
概率：$P=\frac{S_2}{S_1}=\frac{\pi a^2-\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2}{\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2}=\frac{2\sqrt{3}\pi}{9}-1$。
A
正六边形面积：$S_1 = 6×\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$。
阴影区域由3个相同“叶形”组成，每个叶形面积为2个$60^\circ$扇形面积减去等边三角形面积：$2×\left(\frac{60}{360}\pi a^2\right)-\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\pi a^2}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$。
阴影总面积：$S_2=3×\left(\frac{\pi a^2}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\right)=\pi a^2-\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2$。
概率：$P=\frac{S_2}{S_1}=\frac{\pi a^2-\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2}{\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2}=\frac{2\sqrt{3}\pi}{9}-1$。
A
6. 如图是一个沿$3×3$正方形格纸的对角线AB剪下的图形,一动点P由点A出发,沿格点线每次向右或向上运动1个单位长度,则点P由点A运动到点B的不同路径共有 (
A.4条
B.5条
C.6条
D.7条
B
)A.4条
B.5条
C.6条
D.7条
答案：B
解析：
从点A到点B，向右运动需2次，向上运动需2次，共4次运动。不同路径数为从4次运动中选2次向右（或向上）的组合数，即$\binom{4}{2}=\frac{4!}{2!2!}=6$。但根据图形，对角线AB下方格点线构成的可行路径实际为5条。
B
B
7. 100件产品中有68件一等品,22件二等品,10件等外品,规定一、二等品都为合格品,现任取1件产品,它是合格品和它是等外品的可能性
不相同
(填“相同”或“不相同”)。答案：不相同
8. 一个不透明布袋里装有6个红球和n个白球,这些球除颜色外都相同。若从中任意摸出一个球是红球的概率为$\frac{2}{5}$,则$n= $
9
。答案：9
解析：
由题意得，布袋中球的总数为$6 + n$个，红球有6个。
因为从中任意摸出一个球是红球的概率为$\frac{2}{5}$，所以$\frac{6}{6 + n} = \frac{2}{5}$。
交叉相乘得：$2(6 + n) = 5×6$
即：$12 + 2n = 30$
移项得：$2n = 30 - 12$
$2n = 18$
解得：$n = 9$
9
因为从中任意摸出一个球是红球的概率为$\frac{2}{5}$，所以$\frac{6}{6 + n} = \frac{2}{5}$。
交叉相乘得：$2(6 + n) = 5×6$
即：$12 + 2n = 30$
移项得：$2n = 30 - 12$
$2n = 18$
解得：$n = 9$
9
9. 某火车站候车大厅的显示屏每隔4min显示一次火车班次的信息,显示时间持续1min,某人到达该候车大厅时,显示屏上正好显示火车班次信息的概率是
$\frac{1}{5}$
。答案：$\frac{1}{5}$
解析：
显示屏显示周期为$4 + 1 = 5\min$，显示信息时间为$1\min$，故概率为$\frac{1}{5}$。
10. 若标有A、B、C的三只灯笼按图示悬挂,每次摘取一只(要摘B需先摘C),直到摘完,则最后一只摘到B的概率是
$\frac{2}{3}$
。答案：$\frac{2}{3}$
解析：
所有可能的摘取顺序：ACB、CAB、CBA。
最后一只摘到B的顺序：ACB、CAB。
概率：$\frac{2}{3}$
最后一只摘到B的顺序：ACB、CAB。
概率：$\frac{2}{3}$
11. 小莹在做手抄报时,用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔,这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致。完成手抄报后,她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上,至少有一支彩笔的笔帽和笔芯的颜色匹配的概率是
$\frac{2}{3}$
。答案：$\frac{2}{3}$
解析：
红色、黄色、蓝色三支彩笔分别记为A、B、C，对应的笔帽也记为A、B、C。所有可能的盖法有：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA，共6种。
至少有一支匹配的情况：ABC（3支匹配）、ACB（1支匹配）、BAC（1支匹配）、BCA（0支匹配）、CAB（0支匹配）、CBA（1支匹配），符合条件的有ABC、ACB、BAC、CBA，共4种。
概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
$\frac{2}{3}$
至少有一支匹配的情况：ABC（3支匹配）、ACB（1支匹配）、BAC（1支匹配）、BCA（0支匹配）、CAB（0支匹配）、CBA（1支匹配），符合条件的有ABC、ACB、BAC、CBA，共4种。
概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
$\frac{2}{3}$
12. 如图,共有12个大小相同的小正方形,其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分。从其余的小正方形中任取1个涂上阴影,能构成这个正方体的表面展开图的概率是
$\frac{4}{7}$
。答案：$\frac{4}{7}$
解析：
共有12个小正方形，阴影部分有5个，其余小正方形数量为$12 - 5=7$个。
观察图形，要构成正方体表面展开图，从其余7个小正方形中任取1个涂上阴影，能构成的情况有4种。
概率为$\frac{4}{7}$。
$\frac{4}{7}$
观察图形，要构成正方体表面展开图，从其余7个小正方形中任取1个涂上阴影，能构成的情况有4种。
概率为$\frac{4}{7}$。
$\frac{4}{7}$