13. 智慧的中国先民发明了抽象的符号来表达丰富的含义。例如,符号“
”有刚健的含义,符号“
”有愉快的含义。符号中的“
”表示“阴”,“
”表示“阳”,类似这样自上而下排成的三行符号还有其他的含义。所有这些三行符号中,每一行只有一个“阴”或一个“阳”,且出现“阴”“阳”的可能性相同。
(1)所有这些三行符号共有______种；
(2)若随机画一个这样的三行符号,求“画出含有一个‘阴’和两个‘阳’的三行符号”的概率。
”有刚健的含义,符号“”有愉快的含义。符号中的“”表示“阴”,“ ”表示“阳”,类似这样自上而下排成的三行符号还有其他的含义。所有这些三行符号中,每一行只有一个“阴”或一个“阳”,且出现“阴”“阳”的可能性相同。(1)所有这些三行符号共有______种；
(2)若随机画一个这样的三行符号,求“画出含有一个‘阴’和两个‘阳’的三行符号”的概率。
8
解：
(2)共有8种等可能的结果，含有一个阴和两个阳的结果有3种。
∴P(含有一个阴和两个阳$)=\frac 38$
(2)共有8种等可能的结果，含有一个阴和两个阳的结果有3种。
∴P(含有一个阴和两个阳$)=\frac 38$
答案：8
解：
(2)共有8种等可能的结果，含有一个阴和两个阳的结果有3种。
∴P(含有一个阴和两个阳$)=\frac 38$
解：
(2)共有8种等可能的结果，含有一个阴和两个阳的结果有3种。
∴P(含有一个阴和两个阳$)=\frac 38$
14. 小茗在学完电学知识后,进行“点亮灯泡”的实验,设计了如图所示的电路图,电路图上有5个开关($S_1,S_2,S_3,S_4,S_5$)、一个电源和一个小灯泡,当开关$S_1$闭合时,再同时闭合开关$S_2,S_3或S_4,S_5$都可以使小灯泡发亮。
(1)当开关$S_1,S_2$闭合时,再任意闭合开关$S_3,S_4,S_5$中的一个,小灯泡能亮起来的概率是
(2)当开关$S_1$已经闭合时,再任意闭合开关$S_2,S_3,S_4,S_5$中的两个,请用列表或画树状图的方法求小灯泡能亮起来的概率。
(1)当开关$S_1,S_2$闭合时,再任意闭合开关$S_3,S_4,S_5$中的一个,小灯泡能亮起来的概率是
$\frac{1}{3}$
；(2)当开关$S_1$已经闭合时,再任意闭合开关$S_2,S_3,S_4,S_5$中的两个,请用列表或画树状图的方法求小灯泡能亮起来的概率。
设开关$S_2,S_3,S_4,S_5$分别为$A,B,C,D$。从4个开关中选2个，所有可能情况有：$(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)$，共6种。能使小灯泡亮起来的情况为$(A,B)$和$(C,D)$，共2种。所以概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
答案：1. （1）
当开关$S_1,S_2$闭合时，再任意闭合开关$S_3,S_4,S_5$中的一个，总共有$n = 3$种等可能的情况。
因为当开关$S_1$闭合时，再同时闭合开关$S_2,S_3$或$S_4,S_5$都可以使小灯泡发亮，此时闭合$S_3$能使灯亮，闭合$S_4$或$S_5$不能使灯亮，即满足条件（灯亮）的情况$m = 1$种。
根据概率公式$P=\frac{m}{n}$，可得$P=\frac{1}{3}$。
2. （2）
设开关$S_2,S_3,S_4,S_5$分别为$A,B,C,D$。
画树状图：
第一个分支：
选$A$后，第二个分支可以选$B$、$C$、$D$；
选$B$后（因为选$A,B$与选$B,A$是同一种情况，所以不重复计算），第二个分支可以选$C$、$D$；
选$C$后，第二个分支可以选$D$。
从$4$个开关中选$2$个的所有可能情况有：$(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)$，共$n = C_{4}^2=\frac{4!}{2!(4 - 2)!}=\frac{4×3×2!}{2!×2!}=6$种。
能使小灯泡亮起来的情况：$(A,B)$（即$S_1,S_2,S_3$闭合），$(C,D)$（即$S_1,S_4,S_5$闭合），共$m = 2$种。
根据概率公式$P=\frac{m}{n}$，可得$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
故答案为：（1）$\frac{1}{3}$；（2）$\frac{1}{3}$。
当开关$S_1,S_2$闭合时，再任意闭合开关$S_3,S_4,S_5$中的一个，总共有$n = 3$种等可能的情况。
因为当开关$S_1$闭合时，再同时闭合开关$S_2,S_3$或$S_4,S_5$都可以使小灯泡发亮，此时闭合$S_3$能使灯亮，闭合$S_4$或$S_5$不能使灯亮，即满足条件（灯亮）的情况$m = 1$种。
根据概率公式$P=\frac{m}{n}$，可得$P=\frac{1}{3}$。
2. （2）
设开关$S_2,S_3,S_4,S_5$分别为$A,B,C,D$。
画树状图：
第一个分支：
选$A$后，第二个分支可以选$B$、$C$、$D$；
选$B$后（因为选$A,B$与选$B,A$是同一种情况，所以不重复计算），第二个分支可以选$C$、$D$；
选$C$后，第二个分支可以选$D$。
从$4$个开关中选$2$个的所有可能情况有：$(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)$，共$n = C_{4}^2=\frac{4!}{2!(4 - 2)!}=\frac{4×3×2!}{2!×2!}=6$种。
能使小灯泡亮起来的情况：$(A,B)$（即$S_1,S_2,S_3$闭合），$(C,D)$（即$S_1,S_4,S_5$闭合），共$m = 2$种。
根据概率公式$P=\frac{m}{n}$，可得$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
故答案为：（1）$\frac{1}{3}$；（2）$\frac{1}{3}$。